廣東省東莞市金石中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

廣東省東莞市金石中學(xué)高三數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.的值為（

）

A．1

B．

C．-1

D．參考答案：B因?yàn)?，所以選B.2.已知函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則的圖像向左平移（

）個(gè)單位，可以得到的圖像（

）.A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)條件確定關(guān)系，再化簡，最后根據(jù)誘導(dǎo)公式確定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對稱，所以，，即，因此，從而,選D.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖象變換，考查基本分析識(shí)別能力，屬中檔題.3.函數(shù)圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱的點(diǎn)有n對，則n=（）A．3 B．4 C．5 D．無數(shù)參考答案：B【考點(diǎn)】奇偶函數(shù)圖象的對稱性；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】要求函數(shù)圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則有f（﹣x）=﹣f（x），轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，再用數(shù)形結(jié)合法求解．【解答】解：當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=cos，則關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象為y=﹣cos，x＞0，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)x=10時(shí)，y=lg11＞1，y=﹣cos=1，x＞0，則由圖象可知兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)有4個(gè)，故n=4，故選：B．4.若函數(shù)|在區(qū)間[－3,0]上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－3,0)∪(0,9)

B．(－9,0)∪(0,3)C．(－9,3)

D．(－3,9)參考答案：B5.已知球的球面上有四點(diǎn)，其中四點(diǎn)共面，是邊長的等邊三角形，且，則三棱錐體積的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知命題：①函數(shù)y=2x（﹣1≤x≤1）的值域是[，2]；②為了得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度；③當(dāng)n=0或n=1時(shí)，冪函數(shù)y=xn的圖象都是一條直線；④已知函數(shù)f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（2，4）．其中正確的命題是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．②根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷．③根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．④根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷．【解答】解：①∵y=2x是增函數(shù)，∴當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，函數(shù)的值域是[，2]；故①正確，②函數(shù)y=sin2x圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，則y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣，則無法得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象，故②錯(cuò)誤，③當(dāng)n=0時(shí)，y=x0=1，（x≠0）是兩條射線，當(dāng)n=1時(shí)，冪函數(shù)y=x的圖象都是一條直線；故③錯(cuò)誤，④作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，∴f（x）在（0，1]上遞減，在（1，2）上遞增，在（2，+∞）單調(diào)遞減，又∵a，b，c互不相等，∴a，b，c在（0，2]上有兩個(gè)，在（2，+∞）上有一個(gè)，不妨設(shè)a∈（0，1]，b∈（1，2），c∈（2，+∞），則log2a+log2b=0，即ab=1，則abc的取值范圍是c的取值范圍，∵由﹣x+2=0，得x=4，則2＜c＜4，則2＜abc＜4，即abc的取值范圍是（2，4）．故④正確，故選：B．7.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則

A．-1 B．

C．

D．1

參考答案：D略8.如圖，在矩形內(nèi)：記拋物線與直線圍成的區(qū)域?yàn)椋▓D中陰影部分）．隨機(jī)往矩形內(nèi)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率是A．

B． C．

D．參考答案：B9.若實(shí)數(shù)x，y滿足，且M（x，﹣2），N（1，y），則?的最大值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積關(guān)系結(jié)合線性規(guī)劃的內(nèi)容進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵M(jìn)（x，﹣2），N（1，y），則?=x﹣2y，設(shè)z=x﹣2y，則y=x﹣z，平移直線y=x﹣z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣x+z經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣1）時(shí)，直線y=x﹣z的截距最小，此時(shí)z最大．代入目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y得z=1+2=3．即?的最大值為3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．10.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D由題意知，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)是，位于第四象限.故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),設(shè)a∈R,若關(guān)于x的不等式在R上恒成立,則a的取值范圍是___________.參考答案：12.為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量.產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為，，由此得到頻率分布直方圖如圖3，則這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在的人數(shù)是.

參考答案：【解析】,故答案為13答案：1313.已知三棱錐P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，點(diǎn)M、S分別為PB、BC的中點(diǎn)，則SN與平面CMN所成角的大小為．參考答案：45°考點(diǎn)：直線與平面所成的角．

專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求直線和平面所成的角．解答：解：以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖．則C（0，1，0），M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0），=（﹣，﹣，0）設(shè)=（x，y，z）為平面CMN的法向量，∵=（1，﹣1，），=（，﹣1，0），∴∴可得平面CMN的一個(gè)法向量=（2，1，﹣2），設(shè)直線SN與平面CMN所成角為θ，∵sinθ=|cos＜，＞|=，∴SN與平面CMN所成角為45°．故答案為：45°．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線所成角的大小求法，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法是解決此類問題比較簡潔的方法．14.已知函數(shù)，則不等式的解集為_______．

參考答案：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則x>0時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增，且，則為偶函數(shù),即有，則不等式,即為，即為，則,即,解得，即解集為

15.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，得，綜上有．考點(diǎn)：函數(shù)的定義域．【名師點(diǎn)晴】本題表面上考查函數(shù)的定義域，實(shí)質(zhì)是考查不等式恒成立問題，即恒成立，這里易錯(cuò)的地方是只是利用判別式，求得，沒有討論二次項(xiàng)系數(shù)為0的情形．16.已知數(shù)列,，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則n=

.參考答案：18因?yàn)?，所以?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以。又，所以，解得?！敬鸢浮柯?7.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）時(shí)，f（x）=2x+，則f（2017）=

．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性求出f（2017）=f（1）=﹣f（1），代入函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)值即可．【解答】解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=﹣f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函數(shù)f（x）為周期為4是周期函數(shù)，∴f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣1﹣=﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、周期性問題，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）（2015?陜西校級(jí)二模）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1，其中a為實(shí)數(shù)，（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍；（3）設(shè)ak，bk（k=1，2…，n）均為正數(shù)，且a1b1+a2b2…anbn≤b1+b2…bn，求證：＜1．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（1）求出f'（x）=ex﹣1，由f'（x）=0得x=0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；（2）先求出f'（x）=ex﹣a（0＜x≤2），再討論①當(dāng)a≤1時(shí)，②當(dāng)a≥e2時(shí)，③當(dāng)1＜a＜e2時(shí)的情況，從而求出a的范圍；（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ex＞x+1，得bklnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n），求和得從而問題得證．解：（1）f'（x）=ex﹣1，由f'（x）=0得x=0當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)遞增；當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)遞減；故函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值f（1）=0．（2）f'（x）=ex﹣a（0＜x≤2）①當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞增；f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無實(shí)數(shù)解；②當(dāng)a≥e2時(shí)，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞減；f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無實(shí)數(shù)解；③當(dāng)1＜a＜e2時(shí)，由f'（x）=0，得x=lna，當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)lna＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；又f（0）=0，f（2）=e2﹣2a﹣1由f（2）=e2﹣2a﹣1≥0得故a的取值范圍為（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，ex＞x+1，即ln（x+1）＜x．∵ak，bk＞0，從而有l(wèi)nak＜ak﹣1，得bklnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n），求和得即，故．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．19.（本小題12分）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，且，數(shù)列與滿足如下關(guān)系：(1)求的解析式；

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：對任意的有參考答案：（1）；（2）；（3）證明見解析．

(3)證明：由(2)要證明的問題即為

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

∴則故則得證考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，基本不等式求最值，由遞推公式求通項(xiàng)公式，歸納法，放縮法證明不等式．20.（本小題滿分10分）選修4—1；幾何證明選講．如圖，交圓于兩點(diǎn)，切圓于，為上一點(diǎn)，且，連接并延長交圓于點(diǎn)，作弦垂直，垂足為.（1）求證：為圓的直徑；（2）若，求證：.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；與圓有關(guān)的比例線段．菁N1

【答案解析】（1）見解析（2）見解析解析：（1）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD為切線，∴∠PDA=∠DBA，∵∠PGD=∠EGA，∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BDA，∴∠NDA=∠PFA，∵AF⊥EP，∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB為圓的直徑；（2）連接BC，DC，則∵AB為圓的直徑，∴∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，∴DC∥AB，∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∴∠DCE為直角，∴ED為圓的直徑，∵AB為圓的直徑，∴AB=ED．【思路點(diǎn)撥】（1）證明AB為圓的直徑，只需證明∠BDA=90°；（2）證明Rt△BDA≌Rt△ACB，再證明∠DCE為直