重慶南桐中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

重慶南桐中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從某高中女學(xué)生中選取10名學(xué)生，根據(jù)其身高（cm）、體重（kg）數(shù)據(jù)，得到體重關(guān)于身高的回歸方程=0.85x﹣85，用來刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=0.6，則下列說法正確的是（）A．這些女學(xué)生的體重和身高具有非線性相關(guān)關(guān)系B．這些女學(xué)生的體重差異有60%是由身高引起的C．身高為170cm的學(xué)生體重一定為59.5kgD．這些女學(xué)生的身高每增加0.85cm，其體重約增加1kg參考答案：B【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】根據(jù)回歸方程=0.85x﹣85，且刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=0.6，判斷這些女學(xué)生的體重和身高具有線性相關(guān)關(guān)系，這些女學(xué)生的體重差異有60%是由身高引起，計(jì)算x=170時(shí)的即可預(yù)測(cè)結(jié)果，計(jì)算身高每增加0.85cm時(shí)體重約增加0.85×0.85=0.7225kg．【解答】解：根據(jù)回歸方程=0.85x﹣85，且刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=0.6，所以，這些女學(xué)生的體重和身高具有線性相關(guān)關(guān)系，A錯(cuò)誤；這些女學(xué)生的體重差異有60%是由身高引起，B正確；x=170時(shí)，=0.85×170﹣85=59.5，預(yù)測(cè)身高為170cm的學(xué)生體重為59.5kg，C錯(cuò)誤；這些女學(xué)生的身高每增加0.85cm，其體重約增加0.85×0.85=0.7225kg，D錯(cuò)誤．故選：B．2.若向量=（2，﹣1），=（3﹣x，2），=（4，x）滿足（6﹣）?=8，則x等于（）A．4 B．5 C．6 D．7參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】先計(jì)算6﹣的坐標(biāo)，再根據(jù)6﹣）?=8列方程解出x．【解答】解：6=（9+x，﹣8），∴（6﹣）?=4（9+x）﹣8x=36﹣4x=8，∴x=7．故選D．3.記復(fù)數(shù)z的虛部為，已知z滿足，則為（）A.－1 B.－i C.2 D.2i參考答案：A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，從而可得虛部.【詳解】由得：

本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解問題，關(guān)鍵是通過復(fù)數(shù)除法運(yùn)算得到的形式.4.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.

參考答案：C5.函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C函數(shù)的定義域?yàn)榍?，選C．6.如圖，從點(diǎn)發(fā)出的光線，沿平行于拋物線的對(duì)稱軸方向射向此拋物線上的點(diǎn)，經(jīng)拋物線反射后，穿過焦點(diǎn)射向拋物線上的點(diǎn)，再經(jīng)拋物線反射后射向直線上的點(diǎn)，經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則等于(

) A．

B．

C． D．參考答案：B7.已知直線與曲線相切(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．

B．1

C．2

D．參考答案：B8.函數(shù)y=的反函數(shù)是------------------------（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)與分析的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】函數(shù)與分析/指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)/反函數(shù).【試題分析】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為B.9.設(shè)集合，集合，則A∩B等于

(

)A.(0,2) B.(0,2] C.(－∞,2] D.R參考答案：B【分析】首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.【詳解】求解函數(shù)的值域可得，求解指數(shù)不等式可得，由交集的定義可得：，表示為區(qū)間形式即.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的表示方法，交集的定義與運(yùn)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10.函數(shù)的圖象大致是A.

B. C.

D.參考答案：C由題意，，排除A；，，，排除B；增大時(shí)，指數(shù)函數(shù)的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度，排除D，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從1，2，3，4中選取兩個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率為__________．參考答案：.【分析】列舉出從1,2,3,4中選取兩個(gè)不同數(shù)字組成的全部兩位數(shù)，數(shù)出能被3整除的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解．【詳解】從1,2,3,4中選取兩個(gè)不同的數(shù)字組成的所有兩位數(shù)為：，共計(jì)12個(gè)基本事件，其中能被3整除的有：，共有4個(gè)基本事件，所以這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中認(rèn)真審題，列舉出基本事件的總數(shù)，再得出所有事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知不等式的解集為，則

，且的值為

.參考答案：4，4.13.若，則()6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為

.參考答案：24014.展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為

.參考答案：015.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，則直線與圓的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

.

參考答案：（1，2）16.

已知函數(shù)f（x）=，給出下列命題：①f（x）必是偶函數(shù)；

②當(dāng)f（0）=f（2）時(shí)f（x）的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱；③若，則f（x）在區(qū)間[a，+）上是增函數(shù)；④f（x）有最大值。其中正確命題的序號(hào)是 。參考答案：答案：③17.已知雙曲線的漸近線與圓有公共點(diǎn)，則該雙曲線離心率的取值范圍是__________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+b（a＞0）．（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=x﹣1，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）在（1）的b下，當(dāng)a≥2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；54：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程可得f（1）=0，f′（1）=1，解方程可得a，b的值；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，討論a=2，a＞2，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得單調(diào)區(qū)間，由f（1）=0，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到所求結(jié)論．解：（1）函數(shù)f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax﹣（a+2）+，可得函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1，由切線方程y=x﹣1，可得a﹣1=1，解得a=2；由f（1）=a﹣a﹣2+0+b=0，解得b=2．（2）f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+2（x＞0，a≥2），導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax﹣（a+2）+==，當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增，由f（1）=a﹣a﹣2+0+2=0，可得f（x）此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＞2，即0＜＜時(shí)，由f′（x）＞0可得x＞或0＜x＜；由f′（x）＜0可得＜x＜．即有f（x）的增區(qū)間為（0，），（，+∞），減區(qū)間為（，），由f（1）=0，可得f（x）在（，+∞）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且f（）＜0．f（）=1﹣lna﹣，設(shè)g（x）=1﹣﹣lnx（x＞2），g′（x）=＜0（x＞2），可得g（x）在（2，+∞）遞減，可得g（x）＜g（2）=1﹣﹣ln2=ln＜0，于是f（）＜0，f（x）在（0，）無零點(diǎn)，故a＞2時(shí)，f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可得，a≥2時(shí)，f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．19.已知函數(shù)f（x）=﹣lnx+ax2+（1﹣a）x+2．（Ⅰ）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，試比較f（1+x）與f（1﹣x）的大??；（Ⅱ）若斜率為k的直線與y=f（x）的圖象交于不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f′（x0）＞k．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）利用作差法得出f（1+x）﹣f（1﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，構(gòu)造函數(shù)令g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，通過求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，得出結(jié)論．（2）求出k和f'（x0），利用分析法得出只需證＜ln，構(gòu)造函數(shù)h（t）=+lnt，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性證得2＜+lnt．【解答】解：（1）f（1+x）﹣f（1﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x令g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，∴g′（x）=∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減∴g（x）＜g（0）=0．∴f（1+x）＜f（1﹣x）；（2）不妨設(shè)x2＞x1k==﹣+a（x2+x1）+1﹣af'（x0）=﹣+ax0+1﹣a=﹣+a（x1+x2）+1﹣a要證f′（x0）＞k只需證＜即證＜ln令t=

t＞1∴＜lnt即2＜+lnt令h（t）=+lnt∴h'（t）=＞0，h（t）遞增∴h（t）＞h（1）=2∴2＜+lnt成立故f′（x0）＞k．【點(diǎn)評(píng)】考察了作差比較法和導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性；難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性證明問題．20.已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）+x2+2x，曲線y=f（x）經(jīng)過點(diǎn)P（0，1），且在點(diǎn)P處的切線為l：y=4x+1．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)k，使得x∈[﹣2，﹣1]時(shí)f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率，以及函數(shù)值得到，即可求a，b的值；（Ⅱ）x∈[﹣2，﹣1]，f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，推出k的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求出區(qū)間上的最值，即可求k的取值范圍．【解答】解：（I）f'（x）=ex（ax+a+b）+2x+2…依題意，，即，解得．…（II）由f（x）≥x2+2（k+1）x+k得：ex（x+1）≥k（2x+1）．∵x∈[﹣2，﹣1]時(shí)，2x+1＜0，∴f（x）≥x2+2（k+1）x+k即ex（x+1）≥k（2x+1）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)…設(shè)，由g'（x）=0得…當(dāng)；當(dāng)∴上的最大值為：…所以常數(shù)k的取值范圍為…【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程，閉區(qū)間是函數(shù)的最值的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，難度比較大，是高考?？碱}型．21.(本小題滿分10分)已知直線的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)），曲線：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同長度單位。(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)在曲線上是否存在一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最大?若存在，求出距離最大值及點(diǎn).若不存在，請(qǐng)說明理由。參考答案：(1)（1）:

：

……5分（2）由題意可知(其中為參數(shù))

……6分

到得距離為

……7分，

……8分此時(shí)，，

……9分，

即.

……10分22.一家公司計(jì)劃生產(chǎn)某種小型產(chǎn)品的月固定成本為1萬元，每生產(chǎn)1萬件需要再投入2萬元．設(shè)該公司一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)該小型產(chǎn)品萬件并全部銷售完，每萬件的銷