衡水名師卷2023-2024高考模擬壓軸卷（二）數(shù)學(xué) 含解析

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學(xué)（二）本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號碼?考場號?座位號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整?筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液?修正帶?刮紙刀.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點在焦點為的拋物線上，若，則（）A.3B.6C.9D.122.電影《孤注一鄭》的上映引發(fā)了電信詐騙問題的熱議，也加大了各個社區(qū)反電信詐騙的宣傳力度.已知某社區(qū)共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年齡進(jìn)行分層隨機抽樣，共抽取36人作為代表，則中年人比青少年多（）A.6人B.9人C.12人D.18人3.已知，則下列說法一定正確的是（）A.B.C.D.4.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A.B.C.D.5.已知某正六棱柱的體積為，其外接球體積為，若該六棱柱的高為整數(shù)，則其表面積為（）A.B.C.D.6.已知甲?乙兩地之間的路線圖如圖所示，其可大致認(rèn)為是的圖像.某日小明和小紅分別從甲?乙兩地同時出發(fā)沿著路線相向而行，當(dāng)小明到達(dá)乙地時，小紅也停止前行.若將小明行走軌跡的點記為，小紅行走軌跡的點記為，且滿足，函數(shù)，則的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.7.已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上但不在坐標(biāo)軸上，且是等腰三角形，其中一個內(nèi)角的余弦值為，則（）A.4B.5C.6D.88.已知函數(shù)的定義域為，若存在零點，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A.的虛部為-1B.是純虛數(shù)C.在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第一象限D(zhuǎn).10.已知，則（）A.B.C.D.11.設(shè)是定義在上的奇因函數(shù)，是指的最大奇因數(shù)，比如：，，則（）A.對B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則__________；若，則的取值范圍為__________.13.某校擬開設(shè)“生活中的數(shù)學(xué)”“音樂中的數(shù)學(xué)”“邏輯推理論”“彩票中的數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)建?！?門研究性學(xué)習(xí)課程，要求每位同學(xué)選擇其中2門進(jìn)行研修，記事件為甲?乙兩人至多有1門相同，且甲必須選擇“音樂中的數(shù)學(xué)”，則__________.14.定義：對于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖像的最低點為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項為1的數(shù)列滿足，記的前項和為，則數(shù)列的最小值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，其中，且.（1）求；（2）求的取值范圍.16.（15分）已知函數(shù).（1）討論的最值；（2）若，且，求的取值范圍.17.（15分）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過點作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點，連接.（1）求證：平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.18.（17分）某汽車銷售公司為了提升公司的業(yè)績，現(xiàn)將最近300個工作日每日的汽車銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計，如圖所示.（1）求的值以及該公司這300個工作日每日汽車銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）以頻率估計概率，若在所有工作日中隨機選擇4天，記汽車銷售量在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）為增加銷售量，公司規(guī)定顧客每購買一輛汽車可以進(jìn)行一次抽獎活動，規(guī)則如下：抽獎區(qū)有兩個盒子，其中盒中放有9張金卡?1張銀卡，盒中放有2張金卡?8張銀卡，顧客在不知情的情況下隨機選擇其中一個盒子進(jìn)行抽獎，直到抽到金卡則抽獎結(jié)束（每次抽出一張卡，然后放回原來的盒中，再進(jìn)行下次抽獎，中途可更換盒子），卡片結(jié)果的排列對應(yīng)相應(yīng)的禮品.已知顧客小明每次抽獎選擇兩個盒子的概率相同，求小明在首次抽獎抽出銀卡的條件下，第二次從另外一個盒子中抽獎抽出金卡的概率.19.（17分）已知雙曲線的左頂點為，直線與的一條漸近線平行，且與交于點，直線的斜率為.（1）求的方程；（2）已知直線與交于兩點，問：是否存在滿足的點？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.數(shù)學(xué)（二）一?選擇題1.A【解析】由拋物線的定義可知，解得.故選A項.2.B【解析】設(shè)中年人抽取人，青少年抽取人，由分層隨機抽樣可知，解得，故中年人比青少年多9人.故選B項.3.D【解析】當(dāng)時，，且，故，C項錯誤；因為，，所以，故B項錯誤；，故D項正確.故選D項.4.C【解析】由題意得，則在方向上的投影向量為，故選C項.5.D【解析】設(shè)該正六棱柱的底面邊長為，高為，其外接球的半徑為，易知，則①，且②，聯(lián)立①②，因為，解得，所以正六棱柱的表面積.故選D項.6.A【解析】依題意得，且解得，則，令，則，因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.故選項.7.B【解析】依題意得，設(shè)，不妨設(shè)點在第一象限，則，則，故或，解得或，又9，所以.故選B項.8.C【解析】由題意得，令，則.令，易知單調(diào)遞增，所以，即，即.令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，所以，解得.故選C項.二?多選題9.BC【解析】的虛部為1，故A項錯誤；為純虛數(shù)，故B項正確；，其在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第一象限，故C項正確；，，故D項錯誤.故選項.10.AC【解析】依題意得，所以945，故A項正確；令，得，令，得，所以，故B項錯誤；令，得①，又②，由①+②可得，故C項正確；同理，由②-①得，故D項錯誤.故選AC項.11.ABD【解析】由題意得，故B項正確；，故A項正確；，所以，故D項正確；，故C項錯誤.故選ABD項.三?填空題12.【解析】集合或，所以.若，結(jié)合數(shù)軸可知，故的取值范圍為.13.【解析】若甲?乙兩人的選課都不相同則共有種；若甲?乙兩人的選課有1門相同，則共有種.故.14.-【解析】由題意知，又，所以，則.由題意得，由，得，即，又，所以，則，即，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.令.，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.四?解答題15.解：（1）因為，所以，由正弦定理得因為，所以，則，又，所以.（2）由余弦定理得，因為，所以即.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.又，且，所以.綜上，的取值范圍為.16.解：（1）由題意得的定義域為，當(dāng)時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，無最值；當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.故當(dāng)時，取得最小值，且最小值為，無最大值.綜上，當(dāng)時，無最值；當(dāng)時，的最小值為，無最大值.（2）當(dāng)時，由，得，整理得，即.令，則，由（1）知，當(dāng)時，的最小值為，即恒成立，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.故當(dāng)時，取得最大值，即，故的取值范圍為.17.（1）證明：連接交于點，連接.在菱形中，，因為平面平面，所以，又平面，所以平面.因為分別為的中點，所以，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）解：在菱形中，因為，所以和都是正三角形，取的中點，連接，則，又平面，所以，即兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則則，.設(shè)平面的法向量為，則取，則.記直線與平面所成角為，則.解得，即的值為2.18.解：（1）依題意得解得.所求平均數(shù)為.（2）依題意得，則，01234故.（3）設(shè)“選到盒”為事件，“選到盒”為事件，，摸到金卡”為事件，，摸到銀卡”為事件，因為是對立事件，所以.由題意得，所以則.故所求的概