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文檔簡介
論文分類思想在在初中數(shù)學(xué)中的滲透
推行素質(zhì)教育,培養(yǎng)面向新世紀(jì)的合格人才,使學(xué)生具有創(chuàng)新意識,在創(chuàng)造中學(xué)會學(xué)習(xí),教育應(yīng)更多的的關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和策略。數(shù)學(xué)家喬治。波利亞所說:“完善的思想方法猶如北極星,許多人通過它而找到正確的道路”.隨著課程改革的深入,"應(yīng)試教育“向”素質(zhì)教育“轉(zhuǎn)變的過程中,對學(xué)生的考察,不僅考查基礎(chǔ)知識,基本技能,更為重視考查能力的培養(yǎng)。如基本知識概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理的學(xué)習(xí)和探索過程中所反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法;要求學(xué)生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括;會闡述自己的思想和觀點(diǎn)。從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對學(xué)生進(jìn)行思想觀念層次上的數(shù)學(xué)教育。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維,數(shù)學(xué)探索需要通過思維來實(shí)現(xiàn),在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)思維能力,形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn),也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個切入點(diǎn)。
數(shù)學(xué)分類思想,就是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想,又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。
所謂數(shù)學(xué)分類討論方法,就是將數(shù)學(xué)對象分成幾類,分別進(jìn)行討論來解決問題的一種數(shù)學(xué)方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性,能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。
分類討論思想,貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容中。需要運(yùn)用分類討論的思想解決的數(shù)學(xué)問題,就其引起分類的原因,可歸結(jié)為:①涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的;②運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的;③求解的數(shù)學(xué)問題的結(jié)論有多種情況或多種可能;④數(shù)學(xué)問題中含有參變量,這些參變量的取值會導(dǎo)致不同結(jié)果的。應(yīng)用分類討論,往往能使復(fù)雜的問題簡單化。分類的過程,可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性,條理性,而分類討論,又促進(jìn)學(xué)生研究問題,探索規(guī)律的能力。
分類思想不象一般數(shù)學(xué)知識那樣,通過幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征,學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識水平和知識特點(diǎn),逐步滲透,螺旋上升,不斷的豐富自身的內(nèi)涵。
教學(xué)中可以從以下幾個方面,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括,形成對分類思想的主動應(yīng)用。
一、
滲透分類思想,養(yǎng)成分類的意識
每個學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識,如人群的分類、文具的分類等,我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識基礎(chǔ),把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來,在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透,挖掘教材提供的機(jī)會,把握滲透的契機(jī)。如數(shù)的分類,絕對值的意義,不等式的性質(zhì)等,都是滲透分類思想的很好機(jī)會。
整數(shù)、
分?jǐn)?shù)
正有理數(shù)
零
負(fù)有理數(shù)
分析通過移項不等式化為(a-2)x>a-3的形式,然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可分為a-2>0,a-2=0,和a-2<0三種情況分別解不等式。
當(dāng)a-2>0,即a>2時,不等式的解是x>
當(dāng),a-2=0,即a=2時,不等式的左邊=0,不等式的右邊=-1
因為01-1,所以不等式的解是一切實(shí)數(shù)。
當(dāng)a-2<0,即a<2時,不等式的解是x<
3、根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類
如三角形按角分類,有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,直線和圓根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)可分為:直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。
例如等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,底邊長為a,則其腰上的高是
.(2002年河南中考題)
分析:本題根據(jù)圖形的特征,把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD,如圖,可得腰上的高是或從幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同的位置進(jìn)行分類
在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內(nèi)部,角的外部三種不同的情況,因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上,這種最容易解決的情況,然后通過作過圓周角頂點(diǎn)的直徑,利用先證明(圓心在圓周角的一條邊上)的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據(jù)幾何圖形點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上,弦切角的內(nèi)部、弦切角的外部三種不同情況解決的。
三、引導(dǎo)分類討論,提高合理解題的能力
初中課本中有不少定理、法則、公式、習(xí)題,都需要分類討論,在教授這些內(nèi)容時,應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論的意識,讓學(xué)生認(rèn)識到這些問題,只有通過分類討論后,得到的結(jié)論才是完整的、正確的,如不分類討論,就很容易出現(xiàn)錯誤。在解題教學(xué)中,通過分類討論還有利于幫助學(xué)生概括,總結(jié)出規(guī)律性的東西,從而加強(qiáng)學(xué)生思維的條理性,縝密性。
一般來講,利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類:;其一是涉及代數(shù)式或函數(shù)或方程中,根據(jù)字母不同的取值情況,分別在不同的取值范圍內(nèi)討論解決問題。其二是根據(jù)幾何圖形的點(diǎn)和線出現(xiàn)不同位置的情況,逐一討論解決問題
例4、已知函救y=(m-1)x2+(m-2)x-1(m是實(shí)數(shù))。如果函數(shù)的圖象和x軸只有一個交點(diǎn),求m的值。
分析:這里從函數(shù)分類的角度討論,分m-1=0和m-110兩種情況來研究解決問題。
解:當(dāng)m=l時函數(shù)就是一個一次函數(shù)y=-x-1,它與x軸只有一個交點(diǎn)(-1,0)。
當(dāng)m11時,函數(shù)就是一個二次函數(shù)y=(m-1)x2+(m-2)x-1
當(dāng)△=(m-2)2+4(m-1)=0,得m=0.
拋物線y=-x2-2x-1,的頂點(diǎn)(-1,0)在x軸上
例5、函數(shù)y=x6–x5+x4-x3+x2–x+1,求證:y的值恒為正數(shù)。
分析:將y的表達(dá)式分解因式,雖可證得結(jié)論但較難。分析可發(fā)現(xiàn),若將變量x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)分類,則問題容易解決。
證明:⑴當(dāng)x≤0時
∵x5-x3-x≥0,∴y≥1恒成立;
⑵當(dāng)0<x<1時
y=x6+(x4–x5)+(x2–x3)+(x–1)
∵x4>x5,x2>x3,1>x
∴y>0成立;
⑶當(dāng)x=1時,y=1>0成立;
⑷當(dāng)x>1時
y=(x6–x5)+(x4–x3)+(x2–x)+1
∵x6>x5,x4>x3,x2>x
∴y>1成立
綜上可知,y>0成立。
例6、已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,△ACD是含30°角的直角三角形。△ABC和△ACD拼成一個凸四邊形ABCD.(1)畫出四邊形ABCD;(2)求四邊形ABCD的面積。
分析含30°角的直角三角形ACD中我們可以把AC作為斜邊、AC作為直角邊二類情況來研究。如圖1是以AC為斜邊和等邊三角形ABC拼成的四邊形ABCD(DDAC=30°和DDAC=60°這兩種圖形算出的四邊形ABCD面積相同的,故歸納為同一類)。AC為直角邊又可分為二種不同情況如圖2和3.從圖1,S四邊形ABCD=;從圖2,可算得S四邊形ABCD=;可算得S四邊形ABCD=3
由以上的幾個例子,我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得異常簡單,
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