高三數(shù)學(xué)數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

高三數(shù)學(xué)數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式知識(shí)體系第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）.2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).3.會(huì)用觀察法、遞推法等求數(shù)列的通項(xiàng)公式.第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.以下關(guān)于數(shù)列的敘述：①數(shù)列是以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)；②數(shù)列都有通項(xiàng)，且是惟一的；③數(shù)列只能用通項(xiàng)公式的方法來表示；④既不是遞增也不是遞減的數(shù)列,則為常數(shù)列;⑤數(shù)列1,1,2,3,5,8與數(shù)列8,5,3,2,1,1是同一數(shù)列;⑥對(duì)所有的n∈N*，都有an+3=an，則數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列.其中正確的結(jié)論有()BA.0個(gè)B.1個(gè)C.3個(gè)D.5個(gè)第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

本題是考查數(shù)列及相關(guān)概念的題，在解題過程中，每一個(gè)敘述都有可能判斷錯(cuò)誤，故需一一給予剖析：命題①，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數(shù)；命題②，不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，有的數(shù)列不存在通項(xiàng)；另外，有通項(xiàng)公式的數(shù)列，通項(xiàng)公式也不一定惟一；命題③，數(shù)列除了用通項(xiàng)公式表示外還可以用列表法和圖象法表示；命題④，數(shù)列存在遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列，還有擺動(dòng)數(shù)列；命題⑤，數(shù)列是有序的；⑥正確.第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天2.數(shù)列-1,7,-13,19，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=

.(-1)n(6n-5)

符號(hào)問題可通過(-1)n或(-1)n+1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比它前面數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5).第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天3.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=n2，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是

.an=2n-1

a1=S1=1，所以a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-1.經(jīng)檢驗(yàn)，a1符合上式，所以an=2n-1.第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天4.在數(shù)列{an}中，若an+1=，a1=1，則a6=

.

因?yàn)閍n+1=a2==,a3==，a4==，a5==，a6==.第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天5.已知數(shù)列{an}(n∈N*)滿足an+1=an-t(an≥t)

t+2-an(an<t),且t<a1<t+1,其中t>2，若an+k=an(k∈N*)，則實(shí)數(shù)k的最小值是

.4

因?yàn)閠<a1<t+1，所以a2=a1-t<1<t，故a3=t+2-a2=2t+2-a1>t,a4=a3-t=t+2-a1<t，a5=t+2-a4=a1，所以最小正周期為4，故k的最小值為4.第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.數(shù)列的概念(1)數(shù)列是按一定①

排列的一列數(shù)，記作a1,a2,a3,…,an,…，簡(jiǎn)記{an}.(2)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系若能用一個(gè)公式an=f(n)給出，則這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的②

.順序通項(xiàng)公式第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(3)數(shù)列可以看做定義域?yàn)镹*(或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖象是一群③

.2.數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項(xiàng)公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）.孤立的點(diǎn)第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天3.數(shù)列分類(1)按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分④

、

.(2)按照任何一項(xiàng)的絕對(duì)值是否超過某一正常數(shù)分:⑤

、

.(3)從函數(shù)單調(diào)性角度考慮分：遞增數(shù)列、⑥

、常數(shù)列、⑦

.4.數(shù)列通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系(1)Sn=a1+a2+a3+…+an；(2)an=⑧

.有窮數(shù)列無窮數(shù)列有界數(shù)列無界數(shù)列遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2)第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天題型一觀察法寫數(shù)列的通項(xiàng)公式例1

求下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1,-1,1,-1,…;(2)3,5,9,17,33,…;(3),2,,8,,…;(4)1,0,-1,0,1,0,-1,0,….第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

(1)an=(-1)n+1或an=cos(n+1)π.(2)an=2n+1.(3)an=.(4)an=sin.

已知數(shù)列的前n項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要從以下幾個(gè)方面來考慮：

(1)符號(hào)用(-1)n與(-1)n+1(或(-1)n-1)來調(diào)節(jié)，這是因?yàn)閚和n+1奇偶交錯(cuò).第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(2)分式形式的數(shù)列，分子找通項(xiàng)，分母找通項(xiàng)，要充分借助分子、分母的關(guān)系.(3)對(duì)于比較復(fù)雜的通項(xiàng)公式，要借助等差數(shù)列、等比數(shù)列（后面將學(xué)到）和其他方法來解決.(4)此類問題雖無固定模式，但也有其規(guī)律可循，主要靠觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知的數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列）等方法.第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天題型二利用數(shù)列前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)例2

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，分別求其通項(xiàng)公式.

(1)Sn=3n-2；

(2)Sn=(an+2)2(an>0).第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天

(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n-2-（3n-1-2）

=2·3n-1.由于a1=1不適合上式，因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

1（n=1）

2·3n-1（n∈N*，且n≥2）.an=第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=(a1+2)2，解得a1=2.當(dāng)n≥2時(shí),Sn=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,所以(an-2)2-(an-1+2)2=0，所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0，又an>0，所以an-an-1=4，可知{an}為等差數(shù)列，公差為4,所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·4=4n-2,a1=2也適合上式，故an=4n-2.第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天S1(n=1)

Sn-Sn-1(n≥2)求數(shù)列的通項(xiàng)，特別要注意驗(yàn)證a1的值是否滿足“n≥2”的通項(xiàng)公式；同時(shí)認(rèn)清“an+1-an=d（常數(shù)）(n≥2)”與“an-an-1=d（d為常數(shù)，n≥2）”的細(xì)微差別.本例的關(guān)鍵是應(yīng)用an=第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天題型三利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)例3

根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式：（1）a1=2，an+1=an+n；（2）a1=1，an-1=2n-1an.

（1）將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式累加，即“累加法”.（2）將遞推關(guān)系寫成n-1個(gè)等式相乘，即“累積法”或用逐項(xiàng)迭代法.第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(1)(方法一)an+1=an+n，所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,an=an-1+(n-1),所以a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，所以an=+2=.第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(方法二)因?yàn)閍n+1-an=n，所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+2=+2=.第22頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(2)(方法一)因?yàn)閍n=

,所a2=,a3=,a4=,…,a