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文檔簡介

在這里，沒有考不上的研究生?？缈寄Ч砑枲I0高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（三）考研數(shù)學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹?shù)膶Υ龜?shù)學的態(tài)度，一切定理的推導過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學畢竟不是數(shù)學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復(fù)習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。14）單調(diào)性定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導。如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞增。如果在上有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減?！军c評】：這個定理利用導數(shù)與切線斜率的關(guān)系很容易理解，但實際證明中卻不能用圖形來解釋，需要更嚴密的證明過程。證明：僅證明的情形，的情形類似。，假定則利用拉個朗日中值定理可得，使得。由于，因此。由的任意性，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增。15）(極值第一充分條件)設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，并在的某去心鄰域內(nèi)可導。?。┤魰r，而時，則在處取得極大值ⅱ）若時，而時，則在處取得極小值；ⅲ）若時，符號保持不變，則在處沒有極值；【點評】：單調(diào)性定理的推論，具體證明過程見教材。16）(極值第二充分條件)設(shè)函數(shù)在處存在二階導數(shù)且，那么?。┤魟t在處取得極小值；ⅱ）若則在處取得極大值?！军c評】：這個定理是判斷極值點最常用的方法，證明過程需要用到泰勒公式。證明：僅證明的情形，的情形類似。由于在處存在二階導數(shù)，由帶皮亞諾余項的泰勒公式得。在的某領(lǐng)域內(nèi)成立由于，因此由高階無窮小的定義可知，當時，有，又由于，因此在的某領(lǐng)域內(nèi)成立。進一步，我們有。也即，在的某領(lǐng)域內(nèi)成立。由極值點的定義可知在處取得極小值。

16）洛必達法則設(shè)函數(shù)在的空心鄰域內(nèi)可導，，且則有，其中可以是有限數(shù)，也可以是?！军c評】：洛必達法則是計算極限時最常用的方法，但它的證明卻很少有人關(guān)注。洛必達法則是拉格朗

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