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文檔簡介
圓錐曲線部分級基礎過關題一、橢圓部分基礎題1.橢圓的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半稱為半焦距.(2)其數(shù)學表達式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù):①若a>c,則集合P為橢圓;②若a=c,則集合P為線段;③若a<c,則集合P為空集.2.橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)圖形性質范圍-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|=2c離心率e=eq\f(c,a)∈(0,1)a,b,c的關系c2=a2-b21.橢圓及其標準方程1.如果橢圓x2100+y236=1上一點P到焦點F1【答案】14【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義PF1+PF2=2a及橢圓x2100+【詳解】解:根據(jù)橢圓的定義PF又橢圓x2100+y236=1∴6+PF2故答案:14.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及簡單性質,相對簡單.2.已知經(jīng)過橢圓x225+y216=1的右焦點F2作垂直于(1)求ΔAF(2)如果AB不垂直于x軸,ΔAF【答案】(1)20;(2)不變,理由見解析【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義ΔAF1B【詳解】(1)由橢圓的定義得:AF所以ΔAF1B(2)不變,由橢圓的定義ΔAF1B的周長為AF1+A【點睛】本題主要考查橢圓的定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.3..已知A,B兩點的坐標分別是(?1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點M的軌跡是什么?為什么?【答案】點M的軌跡是直線x=?3,并去掉點?3,0【解析】【分析】設出點M的坐標,求出直線AM,BM斜率,由kAMk【詳解】設點M的坐標為x,y,則kAM=y當y≠0時,kAMkBM所以點M的軌跡是直線x=?3,并去掉點?3,0.4.曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距,即可判斷.【詳解】解:曲線表示焦點在軸上,長軸長為10,短軸長為6,離心率為,焦距為8.曲線表示焦點在軸上,長軸長為,短軸長為,離心率為,焦距為8.對照選項,則正確.故選:.【點睛】本題考查橢圓的方程和性質,考查運算能力,屬于基礎題.5.如果點M(x,y)在運動過程中,總滿足關系式x2+(y?3)【答案】橢圓,理由見解析,x【解析】【分析】由x2+【詳解】點M的軌跡是橢圓,由M(x,y)滿足x2動點M(x,y)到定點(0,3),(0,?3)的距離之和為10,且10>6,所以動點的軌跡為橢圓.由2a=10,2c=6可得,b2焦點(0,3),(0,?3)在y軸上,所以橢圓的標準方程為:x2.橢圓的簡單幾何性質1.求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)焦點在x軸上,a=6,e=;(2)焦點在y軸上,c=3,e=.【答案】(1)x236【解析】【詳解】試題分析:(1)由離心率公式,求得c,再由a,b,c的關系,求得b,即可得到橢圓方程;(2)由離心率公式,求得a,再由a,b,c的關系,求得b,即可得到橢圓方程試題解析:(1)a=6,e=,即,解得c=2,b2=a2﹣c2=32,則橢圓的標準方程為:=1;(2)c=3,e=,即,解得,a=5,b2=a2﹣c2=25﹣9=16.則橢圓的標準方程為:=1.考點:橢圓方程及性質2.求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)經(jīng)過P(?3,0),Q(0,?2)兩點;(2)長軸長等于20,離心率等于35【答案】(1)x29+y24=1【解析】【分析】(1)設出橢圓方程,根據(jù)橢圓經(jīng)過點A?3,0,B0,?2,得出a=3b=2(2)由條件可得2a=20ca=35,【詳解】解:(1)設橢圓方程為:x2a2+y2A?3,0,B0,?2分別為左頂點和下頂點,所以得所以橢圓標準方程為x2(2)橢圓的長軸長等于20,離心率等于3依題意:2a=20ca=35,所以所以橢圓標準方程為:x2100+3.比較下列每組中橢圓的形狀,哪一個更接近于圓?為什么?(1)9x2+(2)x2+9y【答案】(1)x216+【解析】【分析】探究可得離心率e越大,橢圓越扁;e越小,橢圓越圓.所以只需比較離心率的大小即可得出結果.【詳解】因為橢圓的離心率e=c所以e越大,ba越小,橢圓越扁;e越小,ba(1)橢圓9x2+y2=36即x2因為e2<e4.已知P是橢圓x25+y24=1上的一點,且以點P及焦點F【答案】152,1,?152,1【解析】【分析】設Px,y是橢圓上一點,由面積可得y=1,代入橢圓可得x【詳解】由橢圓方程可得F1設Px,y則S△PF1F2所以點P的坐標為152,1,?152,15.一動圓與圓x2+y【答案】x2【解析】【分析】利用動圓分別與兩圓的相外切和內(nèi)切的位置關系,可得動圓圓心與已知兩圓圓心間的關系,再根據(jù)它們的數(shù)量關系結合圓錐曲線的定義,即可判斷軌跡為橢圓,并求出軌跡方程.【詳解】設動圓圓心為M(x,y),半徑為R,設圓x2+y2+6x+5=0和圓x將圓的方程分別配方得:圓O1:x+3當動圓M與圓O1相外切時,有O當動圓M與圓O2相內(nèi)切時,有O將①②兩式相加,得O1∴動圓圓心M(x,y)到點O1(?3,0)和O2所以點M的軌跡是焦點為點O1(?3,0)、O2設該橢圓的長軸為2a,短軸為2b,焦距為2c;∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6∴b2∴動圓圓心軌跡方程為x2【點睛】本題以兩圓的位置關系為載體,考查橢圓的定義,考查軌跡方程,熟練掌握橢圓的定義是解題關鍵.1.動點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和M到定直線l:x=254的距離的比是常數(shù)45解:如圖,設d是點M到直線l:x=25根據(jù)題意,動點M的軌跡就是集合P=M由此得(x?4)2將上式兩邊平方,并化簡,得9x即x2所以,點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10,6的橢圓.2.如圖,已知直線l:4x?5y+m=0和橢圓C:x225+y29=1.m為何值時,直線l與橢圓圖分析:直線l與橢圓C的公共點的個數(shù)與方程組4x?5y+m=0,解的個數(shù)相對應.所以,我們可以通過判斷上述方程組解的情況得到問題的解答.解:由方程組4x?5y+m=0,消去y,得25x2+8mx+方程①的根的判別式Δ=64m由Δ>0,得?25<m<25.此時方程①有兩個不相等的實數(shù)根,直線l與橢圓C有兩個不同的公共點.由Δ=0,得m1=25,m2=?25.此時方程①有兩個相等的實數(shù)根,直線由Δ<0,得m<?25,或m>25.此時方程①沒有實數(shù)根,直線l與橢圓C沒有公共點.3..經(jīng)過橢圓x22+y2=1的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l,直線l與橢圓相交于【答案】8【解析】【分析】求出橢圓的左焦點F1(?1,0),根據(jù)點斜式設出AB方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y,利用根與系數(shù)的關系和弦長公式即可算出弦【詳解】∵橢圓方程為x2∴焦點分別為F1(?1,0),∵直線AB過左焦點F1傾斜角為60°∴直線AB的方程為y=3將AB方程與橢圓方程消去y,得7設A(x1,y1),x1+∴|因此,|AB|=1+3故答案為:8【點睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關系,考查弦長的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和計算能力.4.如圖,圓O的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一個定點,P是圓上任意一點,線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q,當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是什么?為什么?【答案】橢圓,理由見解析【解析】【分析】如圖,連接QA,由題得|QA|+|QO|=r,且r>|OA|,即得點【詳解】如圖,連接QA,則|PQ|=|QA|所以r?|OQ|=|QA|,所以|QA|+|QO|=r,且所以當點P在圓上運動時,點Q的軌跡是橢圓.【點睛】本題主要考查軌跡問題,考查橢圓的定義,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5.點Mx,y與定點F2,0的距離和它到定直線x=8的距離的比是1:2,求點【答案】x2【解析】【分析】用坐標表示已知條件,列出方程并化簡可得點M的軌跡方程.【詳解】設d是點M到直線x=8的距離,根據(jù)題意,所求軌跡就是集合P=M由此得x?22將上式兩邊平方,并化簡,得3x即點M的軌跡方程為:x26.如圖,DP⊥x軸,垂足為D,點M在DP的延長線上,且|DM||DP|=32,當點P在圓【答案】點M的軌跡方程為x24+y2【解析】【分析】設點M的坐標為x,y,點Px0,y0【詳解】設點M的坐標為x,y,點Px0,則由題可得x=x0y=∵點P在圓x2∴x即點M的軌跡方程為x24+y297.已知橢圓x225+(1)它到直線l的距離最?。孔钚【嚯x是多少?(2)它到直線l的距離最大?最大距離是多少?【答案】(1)存在點P?4,95到直線距離最小,最小值為154141;(2【解析】【分析】設橢圓上點P(5cosθ,3【詳解】設橢圓上點P(5cos則點P到直線l距離d==554(1)當cos(θ+φ)=?1時,d此時θ+φ=π+2kπ,k∈Z,即θ=π?φ+2kπ,k∈Z,所以cosθ=cos(π?φ+2kπ)=?所以存在點P?4,95(2)當cos(θ+φ)=1時,d此時θ+φ=2kπ,k∈Z,即θ=?φ+2kπ,k∈Z,所以cosθ=cos(?φ+2kπ)=所以存在點P4,?958.已知點是橢圓上一點,且在軸上方,分別是橢圓的左、右焦點,直線斜率為,求的面積.【答案】【解析】【分析】將橢圓的方程轉化為標準形式,求出兩個焦點的坐標,利用點斜式求出直線的方程,將橢圓方程與直線的方程聯(lián)立求出交點的坐標,利用三角形的面積底乘高除以2求出三角形的面積.【詳解】橢圓16x2+25y2=1600化成標準形式為.∴F1、F2是橢圓的左、右焦點,∴F1(﹣6,0),F(xiàn)2(6,0),設P(x,y)是橢圓上一點,則消去y,得19x2﹣225x+650=0,∴x1=5或x2.當x2時,代入②得與③矛盾,舍去.由x=5,得y=4.∴△PF1F2的面積S24.【點睛】本題已知橢圓上一點與右焦點連線的斜率,求該點與橢圓兩個焦點構成三角形的面積,著重考查了橢圓的標準方程與簡單性質、直線與橢圓位置關系等知識,屬于中檔題.9.從橢圓上一點向軸作垂線,垂足恰好為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且,,求此橢圓方程.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓方方程可確定點坐標,利用可構造方程求得,結合和橢圓的關系可構造方程求得,進而得到橢圓方程.【詳解】由橢圓方程可知:,,設橢圓焦點,又,則,,,,整理可得:,又,,,,,此橢圓的方程為:.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解問題,解題關鍵是能夠根據(jù)直線平行得到斜率相等關系,屬于基礎題.10.已知的兩個頂點A,B的坐標分別是,且AC,BC所在直線的斜率之積等于,試探求頂點C的軌跡.【答案】答案見解析【解析】【分析】設動點C的坐標,依題列關系,再對參數(shù)進行討論得到軌跡即可.【詳解】設點C的坐標為,由已知得:直線AC的斜率,直線BC的斜率,由題意知,整理得,當時,頂點C的軌跡是焦點在軸上的橢圓,并除去兩點;當時,頂點C的軌跡是焦點在軸上的橢圓,并除去兩點;當時,頂點C的軌跡是圓,并除去兩點;當時,頂點C的軌跡是焦點在軸上的雙曲線,并除去兩點.【點睛】本題考查了圓錐曲線軌跡方程問題,屬于中檔題.11.已知橢圓x24+(1)這組直線何時與橢圓相交?(2)當它們與橢圓相交時,證明這些線被橢圓截得的線段的中點在同一條直線上.【答案】(1)縱截距在(?32,32)時【解析】【分析】(1)設出平行直線的方程:y=32x+m,代入橢圓方程,消去y,由判別式大于0(2)運用中點坐標公式和參數(shù)方程,消去m,即可得到所求的結論.【詳解】(1)設一組平行直線的方程為y=3代入橢圓方程,可得9x即為18x由判別式大于0,可得144m解得?32則這組平行直線的縱截距在(?32,3(2)證明:由(1)直線和橢圓方程聯(lián)立,可得18x即有x1代入直線方程可得截得弦的中點為(?13m由x=?13my=1則這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線y=?3二、雙曲線部分基礎題1.雙曲線的定義(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.(2)其數(shù)學表達式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.①若a<c,則集合P為雙曲線;②若a=c,則集合P為兩條射線;③若a>c,則集合P為空集.2.雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a>0,b>0)eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a>0,b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)漸近線y=±eq\f(b,a)xy=±eq\f(a,b)x離心率e=eq\f(c,a),e∈(1,+∞)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸,它的長度|A1A2|=2a;線段B1B2叫做雙曲線的虛軸,它的長度|B1B2|=2b;a叫做雙曲線的實半軸長,b叫做雙曲線的虛半軸長a,b,c的關系c2=a2+b21.求適合下列條件的雙曲線的標準方程:(1)焦點在x軸上,,;(2)焦點在x軸上,經(jīng)過點,(3)焦點為,,且經(jīng)過點.【答案】(1);(2);(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)條件,代入方程,即可得答案;(2)根據(jù)焦點在x軸上,設雙曲線方程為,將點坐標代入,聯(lián)立求解,即可得,即可得答案;(3)根據(jù)焦點坐標,可得c值及焦點在y軸,根據(jù)雙曲線定義,可得a值,根據(jù)a,b,c的關系,可得,即可得答案.【詳解】(1)因為焦點在x軸上,設雙曲線方程為,因為,,所以雙曲線方程為;(2)因為焦點在x軸上,設雙曲線方程為,因為經(jīng)過點,,代入可得,令,可得,解得,所以,所以雙曲線方程為:;(3)因為焦點為,,所以c=6,且交點在y軸,因為過點且經(jīng)過點,根據(jù)雙曲線定義可得,解得,又,所以雙曲線方程為:;2.已知方程表示雙曲線,求m的取值范圍.【答案】【解析】【分析】根據(jù)方程表示雙曲線即可得到,解得即可;【詳解】解:因為方程表示雙曲線,所以,解得或,即3.雙曲線的兩個焦點分別是與,焦距為8;M是雙曲線上的一點,且,求的值.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)焦距,可得c值,根據(jù)a,b,c的關系,可得a值,根據(jù)雙曲線定義,分類討論,即可求得答案.【詳解】由題意得,焦距,可得,在雙曲線中,所以,解得,根據(jù)雙曲線定義可得,所以,解得或,當時,不滿足題意,故舍去,當時,,滿足題意,所以4.雙曲線上的一點到一個焦點的距離等于1,那么點到另一個焦點的距離為_________.【答案】17.【解析】【詳解】試題分析:首先將已知的雙曲線方程轉化為標準方程,然后根據(jù)雙曲線的定義知雙曲線上的點到兩個焦點的距離之差的絕對值為,即可求出點到另一個焦點的距離為17.考點:雙曲線的定義.5.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在軸上,,經(jīng)過點;(2)經(jīng)過、兩點.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)可設雙曲線的方程為,將點的坐標代入雙曲線的方程,求得的值,即可得出雙曲線的標準方程;(2)設雙曲線的方程為,將點、的坐標代入雙曲線方程,求出、的值,即可求得雙曲線的標準方程.【詳解】(1)因為,且雙曲線的焦點在軸上,可設雙曲線的標準方程為,將點的坐標代入雙曲線的方程得,解得,因此,雙曲線的標準方程為;(2)設雙曲線的方程為,將點、的坐標代入雙曲線方程可得,解得,因此,雙曲線的標準方程為.1.求符合下列條件的雙曲線的標準方程:(1)頂點在x軸上,兩頂點間的距離是8,;(2)焦點在y軸上,焦距是16,.【答案】(1);(2)1.【解析】【分析】(1)利用兩頂點間的距離及離心率求得,從而求得雙曲線方程;(2)利用焦距和離心率求得,從而求得雙曲線方程.【詳解】解:(1)頂點在x軸上,兩頂點間的距離是8,e,則a=4,c=5,b=3,∴雙曲線的標準方程為;(2)焦點在y軸上,焦距是16,e,則c=8,a=6,b2,∴雙曲線的標準方程為1.2.對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的一個焦點是,求雙曲線的標準方程和漸近線方程.【答案】;【解析】【分析】根據(jù)焦點坐標及題意,設方程為,根據(jù)焦點坐標,可求得,即可得答案.【詳解】因為一個焦點是,所以,且焦點在x軸,所以設等軸雙曲線方程為,所以,解得,所以雙曲線標準方程為,漸近線方程為.3.雙曲線的漸近線方程是,虛軸長為4,求雙曲線的標準方程.【答案】或【解析】【分析】若雙曲線焦點在x軸,設方程為,根據(jù)題意可得,即可求得a,b的值,即可得答案;若雙曲線焦點在y軸,設方程,根據(jù)題意,可得,即可求得a,b的值,即可得答案.【詳解】若雙曲線焦點在x軸,設方程為,則漸近線方程為,所以,解得,所以雙曲線標準方程為:;若雙曲線焦點在y軸,設方程,則漸近線方程為,所以,解得,所以雙曲線標準方程為:;所以雙曲線標準方程為或4.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上,實軸長10,虛軸長8.(2)焦點在y軸上,焦距是10,虛軸長8.(3)離心率,經(jīng)過點.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,得到的值,結合雙曲線焦點所在軸,求得雙曲線的標準方程;(2)根據(jù)題意,得到的值,利用雙曲線中的關系,求得的值,根據(jù)雙曲線焦點所在軸,求得雙曲線的標準方程;(3)根據(jù)題意,得到雙曲線為等軸雙曲線,設出方程,利用點在曲線上,點的坐標滿足曲線的方程,求得結果.【詳解】(1)根據(jù)題意,所求雙曲線的實軸長10,虛軸長8,可得,則有,又因為雙曲線的焦點在x軸上,所以雙曲線的標準方程為:;(2)根據(jù)題意,雙曲線的焦距是10,虛軸長為8,可得,則,所以,又因為雙曲線的焦點在y軸上,所以雙曲線的標準方程為:;(3)根據(jù)題意,雙曲線的離心率,即,則有,所以,所以該雙曲線為等軸雙曲線,設其方程為,又因為雙曲線經(jīng)過點,則有,則,所以雙曲線的標準方程為:.【點睛】該題考查的是有關雙曲線的問題,涉及到的知識點有雙曲線的標準方程的求法,屬于基礎題目.5.求經(jīng)過點,并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)等軸雙曲線可設為,點代入直接求解即可.【詳解】設所求的等軸雙曲線的方程為:,將代入得:,即,所以等軸雙曲線的標準方程:6.m,n為何值時,方程表示下列曲線:(1)圓;(2)橢圓;(3)雙曲線?【答案】(1);(2),,且;(3)【解析】【分析】(1)若方程表示圓,則,即可得答案.(2)若方程表示橢圓,則,,且,即可得答案;(3)若方程表示雙曲線,則,即可得答案.【詳解】(1)若方程表示圓,則,所以當時,方程為圓;(2)若方程表示橢圓,則,,且,所以當,,且時,方程為橢圓;(3)若方程表示雙曲線,則,所以當時,方程為雙曲線.7.求與橢圓有公共焦點,且離心率的雙曲線的方程.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意雙曲線方程可設為,可得關于a,b的方程組,進而求出a,b的數(shù)值即可求出雙曲線的方程.【詳解】依題意,雙曲線的焦點坐標是,,故雙曲線方程可設為,又雙曲線的離心率,∴解之得,故雙曲線的方程為.【點睛】思路點睛:該題考查圓錐曲線的綜合,解題方法如下:(1)根據(jù)橢圓方程,求得橢圓的焦點;(2)設出雙曲線的方程,根據(jù)雙曲線的離心率,以及橢圓中的關系,列出方程組,求出a,b的值;(3)最后寫出雙曲線的方程.8.當m變化時,指出方程表示的曲線的形狀.【答案】,當時,表示軸;當時,表示軸;時,方程表示以原點為圓心的單位圓;或時,方程表示雙曲線;且時,方程表示橢圓;【解析】【分析】根據(jù)題意,分類討論求解即可得答案;【詳解】解:對于方程,當時,方程為,即,表示軸;當時,方程為,即,表示軸;當且時,方程為,若,即時,方程為圓,,表示以原點為圓心的單位圓;若,即或時,方程表示雙曲線;若且時,即且時,方程表示橢圓;綜上,當時,表示軸;當時,表示軸;時,方程表示以原點為圓心的單位圓;或時,方程表示雙曲線;且時,方程表示橢圓;9.相距1400m的A,B兩個哨所,聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s,已知聲速是340m/s,問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上,并求出曲線的方程.【答案】炮彈爆炸點在雙曲線上,方程為.【解析】【分析】在適當位置建系,根據(jù)題意,可得,根據(jù)雙曲線定義,可得a,c,進而可得b,即可得點M的方程.【詳解】以AB所在直線為x軸,AB垂直平分線為y軸,建立直角坐標系,則,設爆炸點為,則,根據(jù)雙曲線的定義可得,M在雙曲線上,且,所以,所以,所以點M的軌跡方程為:.1.動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù),求動點M的軌跡.解:設d是點M到直線l的距離,根據(jù)題意,動點M的軌跡就是點的集合,由此得.將上式兩邊平方,并化簡,得,即.所以,點M的軌跡是焦點在x軸上,實軸長為6、虛軸長為的雙曲線(圖).圖2.如圖,過雙曲線的右焦點,傾斜角為30°的直線交雙曲線于A,B兩點,求.圖解:由雙曲線的標準方程可知,雙曲線的焦點分別為,.因為直線的傾斜角是30°,且經(jīng)過右焦點,所以直線的方程為.①由消去y,得.解方程,得,.將,的值分別代入①,得,于是,A,B兩點的坐標分別為,.所以.3.已知A,B兩點的坐標分別是,,直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積是.求點M的軌跡方程,并判斷軌跡的形狀.【答案】點M的軌跡方程為,軌跡為焦點在軸上的雙曲線,不含左右頂點.【解析】【分析】設,根據(jù)斜率之積是即可得出方程,判定形狀.【詳解】設,因為,所以,整理得,故點M的軌跡方程為,軌跡為焦點在軸上的雙曲線,不含左右頂點.4.直線與雙曲線相交于A,B兩點,且A,B兩點的橫坐標之積為,求離心率e.【答案】.【解析】【分析】聯(lián)立,設,,由得.進而可得離心率.【詳解】聯(lián)立,得,設,,則,解得.所以,離心率.5.如圖,圓O的半徑為定長r,A是圓O外一個定點,P是圓O上任意一點.線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點Q,當點P在圓O上運動時,點Q的軌跡是什么?為什么?【答案】點Q的軌跡是以O,A為焦點,r為實軸的雙曲線,證明見解析.【解析】【分析】連接QA,由題意可得,所以,根據(jù)雙曲線的定義,即可得答案.【詳解】連接QA,如圖所示:因為l為PA的垂直平分線,所以,所以為定值,又因為點A在圓外,所以,根據(jù)雙曲線定義,點Q的軌跡是以O,A為焦點,r為實軸的雙曲線.6.設動點M與定點的距離和M到定直線的距離的比是,求動點M的軌跡方程,并說明軌跡的形狀.【答案】動點M的軌跡方程為,為焦點在x軸,長軸為2a,短軸為2b的橢圓.【解析】【分析】設動點,設d為點M到直線l的距離,根據(jù)題意可得,化簡整理,令,即可得動點M的軌跡方程,即可得答案.【詳解】設動點,設d為點M到直線l的距離,由題意得,即,左右同時平方,化簡可得,所以,令,所以,即,所以動點M的軌跡方程為,為焦點在x軸,長軸為2a,短軸為2b的橢圓.7.M是一個動點,MA與直線垂直,垂足A位于第一象限,MB與直線垂直,垂足B位于第四象限.若四邊形OAMB(O為原點)的面積為3,求動點M的軌跡方程.【答案】.【解析】【分析】首先利用點到直線的距離求,,利用面積為3,列式求軌跡方程.【詳解】設,根據(jù)題意可知點在和相交的右側區(qū)域,所以點到直線的距離,到直線的距離,即所以動點M的軌跡方程:.8.從橢圓上一點向軸作垂線,垂足恰好為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且,,求此橢圓方程.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓方方程可確定點坐標,利用可構造方程求得,結合和橢圓的關系可構造方程求得,進而得到橢圓方程.【詳解】由橢圓方程可知:,,設橢圓焦點,又,則,,,,整理可得:,又,,,,,此橢圓的方程為:.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求解問題,解題關鍵是能夠根據(jù)直線平行得到斜率相等關系,屬于基礎題.9.設橢圓與雙曲線的離心率分別為,,雙曲線的漸近線的斜率小于,求和的取值范圍.【答案】,【解析】【分析】根據(jù)題意,可得范圍,進而可得的范圍,根據(jù)橢圓、雙曲線離心率的公式,化簡整理,即可得答案.【詳解】設橢圓和雙曲線的焦半徑分別為,由題意得雙曲線的漸近線方程為,所以,則,所以,10.已知雙曲線,過點的直線l與雙曲線相交于A,B兩點,P能否是線段AB的中點?為什么?【答案】不能,證明見解析.【解析】【分析】當直線l垂直x軸時,可得直線l方程,經(jīng)檢驗不符合題意;當直線l不垂直x軸時,設,利用點差法,假設點為線段AB的中點,可得直線l的斜率,進而可得直線l的方程,與雙曲線聯(lián)立,判別式,方程無解,l不存在,綜合即可得答案.【詳解】當直線l垂直x軸時,因為過點,所以直線l方程為x=1,又雙曲線,右頂點為(1,0)在直線l上所以直線l與雙曲線只有一個交點,不滿足題意;當直線l不垂直x軸時,斜率存在,設,且,因為A、B在雙曲線上,所以,兩式相減可得,所以,若點為線段AB的中點,則,即,代入上式,所以,則直線l的斜率,所以直線l的方程為,即,將直線l與雙曲線聯(lián)立,可得,,故方程無解所以不存在這樣的直線l,綜上,點P不能是線段AB的中點.11.已知雙曲線與直線有唯一的公共點M,過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于,兩點.當點M運動時,求點的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.如果推廣到一般雙曲線,能得到什么相應的結論?【答案】答案見解析【解析】【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程,利用可得,求得點坐標,得出過點M且與l垂直的直線方程,即可表示出點,得出軌跡方程.【詳解】聯(lián)立方程可得,因為有唯一公共點且,則,整理得,可解得點坐標為,即,其中,于是,過點M且與l垂直的直線為,可得,即,則,即,其中,所以點的軌跡方程是(),軌跡是焦點在軸上,實軸長為20,虛軸長為10的雙曲線(去掉兩個頂點),如果將此題推廣到一般雙曲線,直線,其它條件不變,可得點的軌跡方程是,軌跡是焦點在軸上,實軸長為,虛軸長為的雙曲線(去掉兩個頂點).三、拋物線部分的基礎題1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點FF叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.(2)其數(shù)學表達式:{M||MF|=d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質圖形標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離性質頂點O(0,0)對稱軸y=0x=0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(p,2)))離心率e=1準線方程x=-eq\f(p,2)x=eq\f(p,2)y=-eq\f(p,2)y=eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下1.根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程:(1)焦點是;(2)準線方程是;(3)焦點到準線的距離是.【答案】(1);(2);(3)或.【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦點坐標可寫出拋物線的標準方程;(2)根據(jù)拋物線的準線方程可寫出拋物線的標準方程;(3)根據(jù)拋物線的焦點到準線的距離可寫出拋物線的標準方程.【詳解】(1)由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上,設拋物線的標準方程為,則,可得,所以,拋物線的標準方程為;(2)由題意可知拋物線的焦點在軸的正半軸上,設拋物線的標準方程為,則,可得,因此,拋物線的標準方程為;(3)拋物線的焦點到準線的距離為,所以,拋物線的標準方程為或.2.填空(1)拋物線上一點M與焦點的距離是,則點M到準線的距離是________,點M的橫坐標是________;(2)拋物線上與焦點的距離等于9的點的坐標是________.【答案】①.a②.③.或【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義可得點M到準線的距離,寫出準線方程即可得解;(2)寫出拋物線的準線方程,設出所求點的坐標,列式即可作答.【詳解】(1)由已知結合拋物線定義得點M到準線的距離是a;拋物線的準線方程為,設的橫坐標,于是有,即,所以點M到準線的距離是a;點M的橫坐標是;(2)拋物線的準線,設所求點坐標為,由(1)知,此時,即,所以所求點坐標這或.故答案為:(1)a;;(2)或3.填空題(1)準線方程為的拋物線的標準方程是________.(2)拋物線上與焦點的距離等于6的點的坐標是________.【答案】①.②.【解析】【分析】(1)利用拋物線的性質得,得,從而求得拋物線方程.(2)利用焦半徑公式求得該點坐標.【詳解】解:(1)準線方程為,則,得,且焦點在軸上,故拋物線方程為;(2)設所求的點坐標為,拋物線上與焦點的距離等于6,則,得,代入拋物線方程得,故所求點坐標為.1.求適合下列條件的拋物線的標準方程:(1)關于x軸對稱,并且經(jīng)過點;(2)關于y軸對稱,準線經(jīng)過點;(3)準線在y軸的右側,頂點到準線的距離是4;(4)焦點F在y軸負半軸上,經(jīng)過橫坐標為16的點P,且FP平行于準線.【答案】(1).(2).(3).(4).【解析】【分析】(1)設出拋物線方程代入點的坐標即可求得拋物線方程.(2)先求得準線方程,利用準線方程求得的值,求得拋物線方程.(3)利用拋物線的幾何性質求得,求得拋物線方程.(4)利用焦半徑公式及拋物線的幾何性質求解即可.【詳解】(1)由題可設拋物線的標準方程為,.∵拋物線過點M(5,4),∴,則拋物線的標準方程為.(2)∵拋物線關于y軸對稱,且準線過點E(5,5),∴拋物線的焦點在y軸正半軸上,設拋物線的標準方程為,由題知,拋物線的準線方程為,所以,得,拋物線的標準方程為.(3)拋物線的準線在y軸右側,∴可設拋物線的方程為,∵拋物線頂點到準線的距離是4,所以,得,∴拋物線的標準方程為.(4)拋物線的焦點F在y軸負半軸,∴可設拋物線的方程為,∵拋物線經(jīng)過橫坐標為16的點,∴又FP平行于準線,∴∴∴拋物線的標準方程為.2.過點作斜率為1的直線l,交拋物線于A,B兩點,求AB.【答案】【解析】【分析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立,結合韋達定理,利用弦長公式,計算求值.【詳解】直線與拋物線方程聯(lián)立,得,,設,得,,所以.3.垂直于x軸的直線交拋物線于A,B兩點,且,求直線AB的方程.【答案】x=3【解析】【分析】先根據(jù)弦長求得A,B的坐標,代入拋物線方程可得.【詳解】解:∵垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B兩點,且|AB|=4,∴A(x,2),B(x,),代入拋物線方程可得:12=4x,x=3∴直線AB的方程為x=3.4.已知拋物線上一點M與焦點F的距離,求點M的坐標.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義可M點的橫坐標,代入拋物線方程求出M的坐標,再利用斜率公式求解即可.【詳解】因為拋物線上一點M與焦點F的距離,所以,所以,進而有,所以點M的坐標為:當點M的坐標為時,直線MF的斜率為當點M的坐標為時,直線MF的斜率為綜上可知直線線MF的斜率為或.故答案為:或5.從拋物線上各點向x軸作垂線段,求垂線段的中點的軌跡方程,并說明它是什么曲線.【答案】;頂點在原點,焦點為,開口向右的拋物線.【解析】【分析】設出拋物線上的點M(x0,y0)及它向x軸所作垂線段的中點P的坐標,再探求出它們的關系即可作答.【詳解】設拋物線上的點M(x0,y0),過M作MQ⊥x軸于Q,設線段MQ中點P(x,y),于是有,而,即,從而得,當M為拋物線頂點時,可視為過M作x軸垂線的垂足Q與點M重合,其中點P與M重合,坐標也滿足上述方程,所以垂線段的中點的軌跡方程是,它是頂點在原點,焦點為,開口向右的拋物線.6.正三角形的一個頂點位于坐標原點,另外兩個頂點在拋物線()上,求這個正三角形的邊長.【答案】【解析】【分析】設另外兩個頂點的坐標分別為、,由圖形的對稱性可以得到,解此方程得到的值,從而可得結果.【詳解】設正三角形的頂點、在拋物線上,且設點、,則,,又,∴,即,∴,又∵,,,∴,由此可得,即線段關于軸對稱,∵軸垂直于,且,∴,∵,∴,∴.7.已知拋物線的方程為,直線l繞點旋轉,討論直線l與拋物線的公共點個數(shù),并回答下列問題:(1)畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關系,從圖中你發(fā)現(xiàn)直線l與拋物線只有一個公共點時是什么情況?(2)與直線l的方程組成的方程組解的個數(shù)與公共點的個數(shù)是什么關系?【答案】(1)相切或相交于一點;(2)相等.【解析】【分析】(1)在同一坐標系下,作出拋物線,再作過點P的一系列直線,觀察所畫圖形即可得解;(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程組,討論方程組解的情況與觀察圖形所得交點個數(shù)比對即可得解.【詳解】(1)直線l與拋物線的位置關系有相交、相切、相離三種,如圖:其中相交時有相交于兩個公共點和相交只有一個公共點(圖中直線l0),觀察圖形知,直線l與拋物線只有一個公共點時,直線l與拋物線相切(圖中直線l1,l2)和相交于一個公共點(圖中直線l0與x軸平行);(2)直線l的斜率存在時,設直線l的斜率為k,方程為,即,由消去x得:,k=0時,y=1,,方程組只有一個解,由圖知直線l與拋物線相交,只有一個公共點,直線l的斜率為0;時,,或時,方程組有兩個相同的實數(shù)解,由圖知直線l與拋物線相切,只有一個公共點,直線l的斜率分別為;時,方程組有兩個不同的實數(shù)解,由圖知直線l與拋物線交于兩點,直線l的斜率;時,方程組沒有實數(shù)解,由圖知直線l與拋物線相離,沒有公共點,直線l的斜率;直線l的斜率不存在時,l的方程為x=2,顯然方程組沒有實數(shù)解,由圖知直線l與拋物線相離,沒有公共點,直線l的斜率不存在,所以拋物線與直線l的方程組成的方程組解的個數(shù)與拋物線與直線l公共點的個數(shù)相等.1.經(jīng)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D,求證:直線平行于拋物線的對稱軸.分析:我們用坐標法證明這個結論,即通過建立拋物線及直線的方程,運用方程研究直線與拋物線對稱軸之間的位置關系.建立如圖所示的直角坐標系,只要證明點D的縱坐標與點B的縱坐標相等即可.圖證明:如圖,以拋物線的對稱軸為x軸,拋物線的頂點為原點,建立平面直角坐標系.設拋物線的方程為,①點A的坐標為,則直線的方程為,②拋物線的準線方程是.③聯(lián)立②③,可得點D的縱坐標為.因為焦點F的坐標是,當時,直線的方程為.④聯(lián)立①④,消去x,可得,即,可得點B的縱坐標為,與點D的縱坐標相等,于是平行于x軸.當時,易知結論成立.所以,直線平行于拋物線的對稱軸.2.如圖,已知定點,軸于點C,M是線段上任意一點,軸于點D,D,于點E,與相交于點P,求點P的軌跡方程.圖336解:設點,,其中,則點E的坐標為.由題意,直線的方程為.①因為點M在上,將點M的坐標代入①,得,②所以點P的橫坐標x滿足②.直線的方程為;③因為點P在上,所以點P的坐標滿足③.將②代入③,消去m,得,即點P的軌跡方程.3..點在拋物線上,F(xiàn)為焦點,直線MF與準線相交于點N,求.【答案】15【解析】【分析】先求出點M坐標,再求出直線MF方程,進而求出點N坐標即可得解.【詳解】因點在拋物線上,則,即,而焦點,直線MF:
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