浙江2+2考試-高等數(shù)學不定積分重點難點復習例題講解

不定積分

一、基本要求

1.理解原函數(shù)概念，理解不定積分的概念及性質。

2.掌握不定積分的基本公式、換元法、分部積分。

3.了解有理函數(shù)及可化為有理函數(shù)的積分方法。

二、主要內容

I.原函數(shù)與不定積分概念

1.原函數(shù)

設在區(qū)間I上尸(X)可導，且F'(x)=/(x)(或dF(x)=/(x)dx)就稱P(x)為/(X)在

I的一個原函數(shù)。

2.不定積分

在區(qū)間I上函數(shù)/(x)的所有原函數(shù)的集合，成為/(x)在區(qū)間I上的不定積分，

記作J/(x)dx.

j/(x)Jx=F(x)+C

其中尸(x)為/(x)在I上的一個原函數(shù)，C為任意常數(shù).

n.不定積分的性質

1.dJ/(x)dx=f(x)dx(或(J7(x)dx)'=/(x))

2.j#(x)=/(x)+C(或/(x)dx=/(x)+C)

3.kf(x)dx=k\f(x)dx其中k為非零常數(shù).

4-J"(x)+g(x)]dx=J/(x)dx+g(x)dx.

m.基本積分公式

1.^kdx=kx+C(人為常數(shù))

2.\xudx=-xu+'+C

3.^—dx-ln|x|+C

rdx八

4A.---------arctanx+C

Jl+x2

「fdx.八

o.I-,r—urcsinx+C

6.jcosxdx=sinx+C

7.jsinxdx=-cosx+C

8.jsec2xdx=tanx+C

9.jcsc2xdx=-cot^+C

10.jsecxtanxdx=secx+C

11.jcscxcotA,tir=-CSCX+C

12.^exdx=ex-vC

13.\axdx^-ax+C

JIna

14.^shxdx=chx+C

15.^chxdx=shx+C

16.jtanxdx=-ln|cosx|+C

17.jcotxdx=ln|sinx|+C

18.jsecxdx=ln|secx4-tanx|+C

19.jcscxdx=ln|cscx-cotx|+C

“tdx1x「

20.—........---arctan—+C

Ja~+xaa

dx1.\x-a\「

———7=——In----+C

x-a2a|x+a|

rdx?x八

22.一丁一-=arcsin—+C

JJ/a

24.——==ln(x+yjx2-a2)+C

IV.換元積分法

1.第一類換元法.(湊微分法)

(x)dx==F(M)+C=/[“(x)]+C(〃=0(x))

(其中0(x)可導，F(xiàn)(M)為J/(x)的一個原函數(shù)).

2.第二類換元法

\fMdx=J"。"⑺力=尸⑺+C=F[(p-'(x)]+C(x=c(f))

(其中x=夕⑴單調可導,且夕?)wo,產a)為/[9⑺]“⑺的一個原函數(shù))

V.分部積分法

J“(x)dv(x)=?(x)v(x)-jv(x)i/?(x)

(其中?(x)v(x)具有連續(xù)導數(shù))

VI.有理函數(shù)與三角函數(shù)有理式的積分

兩個多項式的商所表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)，有理函數(shù)總可以化為多項式與真分式的代

數(shù)和，而真分式總可以分解為部分分式的代數(shù)和，所以有理函數(shù)的積分可化為整式和下列四

種部分分式的積分.

⑴[―1—6/X⑵[——dx

x-aJ(x-a)"

/c、rbx+c,/,\rbx+c,

⑶---------dx(4)------------dx

Jx+px+qJ(x+px+q)”

而求這四種積分也可用湊微分法或第二類換元法.

x

三角函數(shù)有理式的積分，總可用萬能代換〃=tan上將原不定積分化為“為積分變量的

2

有理函數(shù)的積分，但對有些三角有理式的積分，有時用三角公式轉化，再用前所述的基本公

式或積分方法求解，可能更簡便些.

三、重點與難點

原函數(shù)與基本積分公式

換元法、分部積分法等基本積分方法

抽象函數(shù)的積分

四、例題解析

I、選擇題

例1若]7(x)的導數(shù)是COSX,則/(X)有一個原函數(shù)為()

(A)1+cosx(B)1-cosx(C)1+sinx(D)1-sinx

解應選(B).因為(1一cosx)=sinx,而(sinx)=cosx

例2設J/(x)有原函數(shù)xlnx,則Jxlnxdx=()

/、11

(A)x2(—+—Inx+C)(B)x~(—l—Inx+C)

2442

(C)x2(---lnx+C)(D)x2(———Inx+C)

4224

1

而/(x)=(xlnx)=Inx+Lf(x)=—,故

x

2

f.xrx,X2X2X2X2.人

Ixfr/(^xx)clx——(Z1Inx+11)X—J—dx——(z|Inx+1lx)-----FC=---1---Inx4-C

222442

所以應選(B).

II、填空題

例3設/(x)為定義區(qū)間上單調連續(xù)可微函數(shù)，/T(X)為相應的反函數(shù)，若

j7(x)dx=P(x)+C,則]7T(x)dx為

解\f-'(x)dx=xf-'M-\xdf-'(x)

=尸(加團尸(切曠代)

^xf-\x)-F[f-\x)]+C

皿、討論題

例4解下列各題，并比較其解法：

(1)[-----rdx(2)f-----rdx(3)f-----^dx(4)[----,dx

J2+x2J2+x2i2+x212+x2

122

解⑴t/(2+x)=^ln(2+x)+C.

32+x2

(2+3—22

⑵dx=|(1-)dx

2+x22+x2

-X-42arctan+C.

V2

2+X2-2

⑶「小和)dx2

2+x2

,1

=-(x2-21n(2+x2))+C

x，4+42

(4)dx=j(x-2+242)dx

上2+x“2J」2+x2

了31

------2x+2^/2arctan--+C

3V2

比較上述四題，發(fā)現(xiàn)各小題的被積函數(shù)很相似，但解法卻不盡相同。注意觀察被積函數(shù)的特

點，第一題中分子的次數(shù)比分母低一次，正好可湊微分使變量一致；第二題中分子與分母同次,

需要拆項，使分子次數(shù)低于分母，即被積函數(shù)成為多項式與真分式的代數(shù)和才可積分；第三題中

分子次數(shù)高于分母一次，湊微分后分子分母同次，再仿第二題求解；第四題中分子次數(shù)高于分母

二次，湊微分則無效，只能根據(jù)分母情況拆項傷第二題的方法求解。由此可見在不定積分的計算

過程中需針對具體情況選擇適當方法求解。

例5討論利用第一類換元法求積的幾種類型(設/(〃)+。)

(1)^f(ax+b)dx=—^f(ax+h)d(ax+b')

=—^f(u)du(〃=)

=-F(M)+C

a

=—F(ax-^-h)+C

a

(2)[f(axn+b)xn~}dx=—\f{axn+b)d(axn+。)

Jan

=—[f(u)du(u-axn+h)

an」

=—F(w)+C

an

—F(axn+b)+C

an

x3

如求fr—上』dx

J(cosx4)2

解原式，f——=；tan(/)+C

4J(cos

(3)j/(lnx)—Jx=j/(lnx)Jlnx==F(u)+C=/(lnx)+C

(w=inx)

,_pfV2+lnx

如n求---------dx

Jx

3—

解原式=R2+ln"(2+lnx)=：(2+lnx)3+C

(4)j/(sinx)cosxdx=j/(sinx)dsinx

F(sinx)+C

^f(coxx)sinxdx=j/(cosx)dcosx

=-F(cosx)+C

[/(tanx)-----dx=f/(tanx)dtanx

Jcoxx」

=F(tanx)+C

,?rcosx,

如求------T—dx

J3+cosx

解原式=f------1~—Jsinx

J3+l-sin2x

=[-----------dsinx

J4-sinx

1r11”?

=7I(7—：—+--：—)dsinx

4J2-sinx2+sinx

112+sinx-

=-ln-----；—+C

42-sinx

其它一些類型，例如J/(arctanx)[1^/x,Jf(arcsinx)不上與dx,^f(ex)exdx等,

請同學們自己加以總結.

V.計算題

2

廠arctanx.

例6求------8~ax

1+x2

分析此題先把被積函數(shù)寫成

x2arctanx1+x2—1i1

-------1—=------；—arctanx=arctanx-------arctanx

l+x21+x21+x2

拆成兩項再進行積分較方便.

ANrxarctanx,1,

解-------；~ax=(1------)xarctanxax

J1+x2J1+x2

r,rarctanx,

Jarctanxax-J—----dx

=xarctanx-[x-----dx-farctanxdarctanx

J1+x2J

112

=xarctanx——ln(l+x2)——(arctanx)+C

22

rxcx

例7求fxe"x

J?-If

rxe,rx,

解11----idx=-；----Tdex

J("—I)?2—

=———+f(l-——x+lnle-'-ll+C

exJex-1ex11

例8求JJl/Ot

解令工=5布￡,則dx=COS/力

2

rVl-x,rcosz,f2,

---z—dx=———costdt=cottdt

Jx2Jsin2r」

=j(csc21-X)dt=-cotr-r+C

-----------arcsinx+C

x

例9求J—---dx

>+ex

三2

解令e"=t,即x=21nf,dx=—dt

r1,ri2.2,

-------dx=----T—dt=r-------dt

J[rh+ft」產(1+f)

e2+e

2

"(l+f)

=2(-y-ln|f|+ln|l+r|)+C

XX

=21n(l+/)—2e《—x+C

―人分fxarctanx,

例10求J-------Tdx

(l+，)5

解令x=tant,dx-sec2tdt

xarctanx,ftanr-r,

--------dx=----sec2tdt

:Jsec*t

(1+x92)2

-psintdt--p^cosr=-[rcosr-jcosrJr]

.-XIc

=smf-tcosf+C=———■arctanx+C

7i+%2VriT%1

例11求|■(上')2/公

J1+x

1-2x+x2

解Ye'dx=]exdx

1(￡(1+x2)2

r2xex

dx

J(1+x2)2

e,ere,e八

--------rdx+--------r---------rax+C

1+x-1+%-J1+%-----------1+x

注：最后一步等號成立是因為可設——的一個原函數(shù)為尸（X）,于是

1+x

fe.ere,

--------ax+--------7---------7ax

}\+X21+X2+X2

3G+15m+GX&+C

求f—5—dx的遞推公式

例12

Jsin"x

解記I,”=[—--dx,貝UI〕=Inlcscx-cotx|+C.

Jsin"'x

當加22時，

I=\^-11

——-dx—dcotx

m：m-2

Jsinsin"?%,sinsinx

cotx/c、rcosx.

-(m-2)cotx-----------ax

sin?-2xJsinx

cosx/八、rcos2x,

一（〃「2）J赤公

sin"Ix

i?2

cosx1-sinx,

--------------ax

sin"ixsin"'x

"-(一『

—dx

sinxJsin*2x

cosx/c、T/z

-^--(W-2)Iw+(m-2)Iffl_2

cosx—2T

即一+-----1m-2

(1-m)sin^-1xm-\

例13求[--------丁二-------dx

JX(X-2)2(X2+X+1)

血1ABiB,Cx^D

x(x—2)(x~+x+1)x(x—2)~x—2廠+x+l

去分母后，再比較兩邊同次幕的系數(shù)得

A=~,B.=一，B,=—,C

41142196*。=4

1

于是dx

x(x—2)~(x~+x+1)

17Jx-f.(8.r+3)

dx

心+『196(x-2),49(x2+x+l)

QQ

Qq_(2x+1)+(3—)

而一產-dx

X+X+1JX+x+\

d(x+g)

d(x2+X+1)r2

=42

X+x+lJ,1、23

24

“/21、22x4-1

4ln(x+x+1)—尸arctan—尸—FC

V3V3

1

從而dx

x(x—2)~(x~+x+1)

1117,,74.222x+1

=；噸一--------Inx-2-—ln(x-+x+1)H-------尸arctan—尸—FC

14x-2196149496V3

例14求-dx

(1-x2)5

分析被積函數(shù)為有理函數(shù)，但若直接將被積函數(shù)轉化為部分分式，計算較繁，因此可考慮采用

較靈活的基本積分方法.此題利用換元法計算較簡便.

解令》=5布/,dx=cos/Jr

.7

rSint,r72」

-7dx------costdt=tantsec-tdt

(I*)'JCOStJ

|tan7ft/tanf=tanst+C

X8

+C.

8(1-x2)4

例15求—---------r—dx

sinxcosx

分析對于三角函數(shù)有理式的積分，除了用“萬能代換令M=tanX4”之外，往往可考慮用前面

2

的基本積分方法.

sin*2x+cos2x.

解f——J-公二----------z----dx

Jsinxcosxsinxcosx

1

-1dx

sinxcosx

r1

13cosx+-dtanx

JCOS'XtanA-

1

+ln|tanx\+C.

2cos2x

sinx,

例16求--------ax

J2-sin2x

sinx,1r(sinx-cosx)+(sinx+cosx)

解J--------ax=--------------------------------------dx

2-sin2x22-sin2x

-J(sinx+cosx)fd(sinx-cosx)

23-(sinx+cox?1+(sinx-cosx)2

-d(sinx+cosx)J(sinx-cosx)

+

2+sinx+cosx)(V3-sinx-cosx)1+(sinx-cosx)2

11sinx+cosx-V3

In+arctan(sinx-cosx)+C.

2273sinx+cosx+V3

i—,fsinxrcosx,

例17求I=-------------；—dxf,7r=-------------；—dx.

xJ2cosx+3sinx2~J2cosx+3sinx

解3/1+2,2Jdx=x+G

-2Z+3Z=「2sinx+3cosx公=詞2cosx+3sin+g

12J2cosx+3sinx

由此得

/,^^[3x-21n|2cosx+3sinx|]+C

7,=^[2x+31n|2cosx+3sinx|]+C.

例18求[J-^—=dx

叫l(wèi)+?

解令而忑=t,x=(r3*-I)2,貝ijdx=6J?3—i)df.

=j^6t2(t3-l)dt=j6t(t3-l)dt

-t5-3t2+C

5

6

=|(l+Vx)士5-3(l+?"—+C.

例19計算下列各題

⑴13)("叫"

」17'(幻[八X)fJ

⑵設尸(cosx+2)=sin?+tan?x,求/(x).

設/(Inx)=-n(1+-^,求J/(x)dx.

⑶

2

(4)已知/'(sinx)=cosx-1且/(0)=0,求Jcos^(sinx)t/x.

f(x)[fXx)]2-f\x)f(x)

解⑴原式=Jdx

"'(X)]3

:/(r)[f'M]2-/(X)/〃(x)

=J;(x)dx

喘T給+c

1-cos2x

(2)設cosx+2=r,則sin2x+tan2x=1-cos2A-+

cos2x

——\-----cos2x=——1---(r-2)2

cos-(x)(，-2)-

即/()=―J-"2)2.

”-2)-

/(x)=]7'(x)dx=f[-~?-^--(x-2)2]t/x,

JJ(x-2)

11R

即fM=——---(X-2)3+C.

x-23

⑶/(Inx)即有

J/(x)dx=4(I：，)dx=-jln(l+")加一‘

=-e-x\n(l+ex)+

J1+e'

=x—(l+eT)ln(l+/)+C.

(4)/'(sinx)