專訓(xùn)5-利用三角函數(shù)解判斷說(shuō)理問(wèn)題

階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)5利用三角函數(shù)解判斷說(shuō)理問(wèn)題習(xí)題課

利用三角函數(shù)解答實(shí)際中的“判斷說(shuō)理”問(wèn)題：關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．1類型航行路線問(wèn)題1．如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A

處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏

東60°的方向上．該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此

時(shí)再測(cè)得該島在北偏東30°的方向上，已知在C島周

圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁．若繼續(xù)向正東方向航行，

該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？試說(shuō)明理由．若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無(wú)觸礁危險(xiǎn)．理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AM于點(diǎn)D.依題意，知AB＝24×＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝

，∴BD＝

CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝

，∴AD＝

CD.又∵AD＝AB＋BD，∴CD＝12＋

CD，解得CD＝6海里．∵6＞9，∴若繼續(xù)向正東方向航行，該貨船無(wú)觸礁危險(xiǎn)．解：將這道航海問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型．該貨船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)取決于島C到航線AB的距離與9海里的大小關(guān)系，因此解決本題的關(guān)鍵在于求島C到航線AB的距離．2．A，B兩市相距150千米，分別從A，B處測(cè)得國(guó)家級(jí)風(fēng)

景區(qū)中心C處的方位角如圖所示，風(fēng)景區(qū)區(qū)域是以C為

圓心、45千米為半徑的圓，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.

為了開(kāi)發(fā)旅游，有關(guān)部門設(shè)計(jì)修建連接A，B兩市的筆

直高速公路．問(wèn)連接A，B兩市的筆直高速公路會(huì)穿過(guò)

風(fēng)景區(qū)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．2類型工程規(guī)劃問(wèn)題不會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū)．理由如下：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，則在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝

＝50(千米)．∵50＞45，∴連接A，B兩市的筆直高速公路不會(huì)穿過(guò)風(fēng)景區(qū)．解：3攔截問(wèn)題類型3．【中考·荊門】如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一

條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方

在公路上的B處沿南偏西60°方向前進(jìn)實(shí)施攔截，

紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無(wú)法通行，紅

方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45°方向前進(jìn)了相同

的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到

公路的距離．(結(jié)果不取近似值)如圖，過(guò)B作AB的垂線，過(guò)C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過(guò)C作AB的垂線，過(guò)D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F，則∠E＝∠F＝90°，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA＝BE＋CF.在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝

BC＝×1000＝500(米)；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1000米，∴CF＝

CD＝500(米)．∴DA＝BE＋CF＝(500＋500)米，即攔截點(diǎn)D處到公路的距離是(500＋500)米．解：4臺(tái)風(fēng)影響問(wèn)題類型4．如圖所示，在某海濱城市O附近海面有一股強(qiáng)

臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于該城市的南

偏東20°方向200km的海面P處，并以20km/h

的速度向北偏西65°的PQ方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍是一

個(gè)圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，且圓的半徑以10km/h的

速度不斷擴(kuò)大．(1)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)4h時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大

到________km；當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)t

h時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓

形區(qū)域半徑增大到___________km.(2)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到與城市O距離最近時(shí)，這股臺(tái)風(fēng)是否

會(huì)侵襲這座海濱城市？請(qǐng)說(shuō)明理由．(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)100(60＋10t)不會(huì)，理由如下：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PQ于點(diǎn)H，如圖．在Rt△POH中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－20°＝45°，OP＝200km，∴OH＝PH＝OP·sin∠OPH＝200×sin45°＝100≈141(km)．設(shè)經(jīng)過(guò)xh時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心從P移動(dòng)到H.∵臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)速度為20km/h，∴20x＝100，∴x＝5.此時(shí)，受臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑應(yīng)為60＋10×5≈130.5(km)