安徽省合肥市長豐縣下塘鎮(zhèn)實驗中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

安徽省合肥市長豐縣下塘鎮(zhèn)實驗中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數(shù)的定義域為，如果對于任意的，存在唯一的，使得成立（其中為常數(shù)），則稱函數(shù)在上的均值為，現(xiàn)在給出下列4個函數(shù)：①

②

③

④，則在其定義域上的均值為2的所有函數(shù)是下面的

（

▲

）A.①②

B.

③④

C.①③④ D.①③參考答案：D略2.已知向量⊥，|﹣|=2，定義：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，則||的最大值為(

) A． B． C．1 D．參考答案：C考點：平面向量數(shù)量積的運算；函數(shù)的最值及其幾何意義．專題：平面向量及應用．分析：畫出草圖，通過⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四點共線，結合=||cosα，可得當B、P兩點重合時||最大，計算即可．解答： 解：如圖，記=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四點共線，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影為，∴當B、P兩點重合時，||最大，此時α=，||=||=1，故選：C．點評：本題考查平面向量的幾何意義，涉及到向量的加、減法運算法則，三點共線的向量表示，向量的投影等知識，注意解題方法的積累，屬于難題．3.設a，b∈R，則“a>0，b>0，，是“”的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：D4.設向量,,則下列結論中正確的是

（

）

A．

B．

C．

D．與垂直參考答案：D5.已知函數(shù)，（m，a為實數(shù)），若存在實數(shù)a，使得對任意恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：A，則，若，可得，函數(shù)為增函數(shù)，當時，，不滿足對任意恒成立；若，由，得，則，∴當時，，當時，，∴，若對任意恒成立，則恒成立，若存在實數(shù)，使得成立，則，∴，令，則．∴當時，，當時，，則．∴．則實數(shù)的取值范圍是．6.函數(shù)，,則

（

）A．為偶函數(shù)，且在上單調遞減

B．為偶函數(shù)，且在上單調遞增C．為奇函數(shù)，且在上單調遞增

D．為奇函數(shù)，且在上單調遞減參考答案：A7.某校高三一班有學生54人，二班有學生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個班抽出16人參加視力測試，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（

）（A）8，8

（B）9，7

（C）10，6

（D）12，4參考答案：B略8.若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(

) A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞ D．＜參考答案：D考點：不等關系與不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：利用不等式的性質即可得出．解答： 解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故選：D．點評：本題考查了不等式的基本性質，屬于基礎題．9.設是定義在上的函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有．當時，.則(A)

()()

()參考答案：D略10.已知函數(shù)y=的最大值為M,最小值為m,則的值為

（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：C因為由題意，函數(shù)的定義域是[-3，1]y=由于-x2-2x+3在[-3，1]的最大值是4，最小值是0,因此可知m,和M的值分別是2，，因此可知比值為，選C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若為方程的兩個實數(shù)解，則

．參考答案：12.（幾何證明選講選做題）極坐標方程分別為和的兩個圓的圓心距為

．參考答案：13.已知向量，則____________．參考答案：5略14.已知集合，則

▲

。參考答案：略15.α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內的射影在同一條直線上；④AC∥EF．其中能成為增加條件的序號是．參考答案：①或③【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】將每一個條件作為已知條件進行分析證明，得出結論．【解答】解：①因為AC⊥α，且EF?α，所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF?α，所以EF⊥AB．因為AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因為BD?平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成為增加的條件．②AC與α，β所成的角相等，AC與EF不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．所以②不可以成為增加的條件．③AC與CD在β內的射影在同一條直線上因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．所以EF與CD在β內的射影垂直，AC與CD在β內的射影在同一條直線上所以EF⊥AC，因為AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成為增加的條件．④若AC∥EF，則AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以④不可以成為增加的條件．故答案為：①③．16.已知x，y∈R，滿足x2+2xy+4y2=6，則z=x2+4y2的取值范圍為．參考答案：[4，12]【考點】三角函數(shù)的最值．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質；不等式的解法及應用．【分析】x2+2xy+4y2=6變形為=6，設，，θ∈[0，2π）．代入z=x2+4y2，利用同角三角函數(shù)基本關系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式化簡整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2=6變形為=6，設，，θ∈[0，2π）．∴y=sinθ，x=，∴z=x2+4y2==+6=2×（1﹣cos2θ）﹣+6=，∵∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故答案為：[4，12]．【點評】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．17.將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為________.參考答案：設數(shù)學書為A，B，語文書為C，則不同的排法共有（A，B，C），（A，C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6種排列方法，其中2本數(shù)學書相鄰的情況有4種情況，故所求概率為.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函數(shù)，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式．參考答案：解設g(x)＝ax＋b(a≠0)，則f[g(x)]＝(ax＋b)2－2(ax＋b)＋1＝a2x2＋(2ab－2a)x＋b2－2b＋1＝4x2.∴解得a＝±2，b＝1.∴g(x)＝2x＋1或g(x)＝－2x＋1.19.（2014?濮陽二模）已知函數(shù)f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：．參考答案：【考點】不等式的證明；絕對值不等式；絕對值不等式的解法．【專題】不等式．【分析】（Ⅰ）根據(jù)絕對值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可；（Ⅱ）利用分析法進行證明不等式．【解答】解：（I）∵f（x）=|x﹣1|．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等價|x﹣2|+|x+2|≥6，若當x≥2時，不等式等價為x﹣2+x+2≥6，即2x≥6，解得x≥3．當﹣2＜x＜2時，不等式等價為2﹣x+x+2≥6，即4≥6，此時不成立．當x≤﹣2時，不等式等價為2﹣x﹣x﹣2≥6，即2x≤﹣6，即x≤﹣3．綜上不等式的解集為（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（II）要證，只需證|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需證（ab﹣1）2＞（b﹣a）2而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2＜1，b2＜1，即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，從而原不等式成立．【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，要注意進行分段討論．20.（本小題滿分12分）在中，邊a,b,c的對角分別為A,B,C；且，面積.（I）求a的值；（II）設，將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）得到的圖象，求的單調增區(qū)間.參考答案：又∵∴……6分

∴，…………8分將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到，………?分所以的單調增區(qū)間為…………10分即…………11分的單調區(qū)間為…………12分21.已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥2；（2）若存在實數(shù)x，使得成立，試求a的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；絕對值不等式的解法．【分析】（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，運用函數(shù)的零點分區(qū)間，討論當x≥3時，當﹣1≤x＜3時，當x＜﹣1時，化簡不等式求解，最后求并集即可；（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運用絕對值不等式的性質可得最大值，再令其大于等于，即可解出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）若a=﹣1，則f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，若x≥3，由f（x）≥2，得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式顯然成立，若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．若x＜﹣1，由f（x）≥2，得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．∴不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}．綜上所述，不等式f（x）≥2的解集為{x|x≥2}；（2）不等式即|x﹣a|﹣|x﹣3|．|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=﹣|a﹣3|，若a＞3，等號成立當且僅當x≥3，若a=3，等號成立當且僅當x∈R，若a＜3，等號成立當且僅當x≤3．∴﹣|a﹣3|，即|a﹣3|，若a≥3，則（a﹣3），解得a≥6．若a＜3，則﹣（a﹣3），解得a≤2．∴a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．22.已知函數(shù)f（x）=﹣alnx+（a+1）x﹣x2（a＞0）．（1）討論f（x）的單調性；（2）若f（x）≥﹣x2+ax+b恒成立，求實數(shù)ab的最大值．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）求出f（x）的導數(shù)，通過a=1，0＜a＜1，a＞1的討論，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由題意可得alnx﹣x+b≤0恒成立，令g（x）=alnx﹣x+b，求出導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，可得函數(shù)的最值，即可得到結論．【解答】解：（1）f′（x）=﹣+a+1﹣x=﹣，（a＞0，x＞0），①a=1時，f′（x）=﹣≤0，∴f（x）在（0，+∞）遞減；②0＜a＜1時，由f′（x）＞0，解得：a＜x＜1，∴f（x）在（a，1）遞增，在（0，a），（1，+∞）遞減；③a＞1時，同理f（x）在（1，a）遞