青島青島超銀中學(xué)選修1-2第四章《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》檢測(cè)題(答案解析)

一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第二象限 B．C．的虛部為1 D．2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)（）A． B．3C． D．3．是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則的值等于（）A．5 B．3 C．-5 D．-34．設(shè)是虛數(shù)單位，則等于()A． B． C． D．5．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中的真命題為（）;;的共軛復(fù)數(shù)為；的虛部為i.A．, B． C． D．6．已知i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，則“”是“點(diǎn)M在第四象限”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模（）．A． B． C． D．9．設(shè)，其中，是實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．10．已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．11．復(fù)數(shù)z，則|z|=()A．1 B．2 C． D．212．若是純虛數(shù)，則（）A． B．-1 C． D．-7二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足方程，則的最小值為____________．14．下面四個(gè)命題：①是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)，則是純虛數(shù)；②任何兩個(gè)負(fù)數(shù)不能比較大?。虎?，且，則；④兩個(gè)共軛虛數(shù)的差為純虛數(shù).其中正確的序號(hào)為_________；15．為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_______.16．復(fù)數(shù)的虛部為__________．17．已知復(fù)數(shù)，且，則的最大值為__________．18．若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值______．19．設(shè)，若是關(guān)于的方程的一個(gè)虛根，則的取值范圍是____.20．關(guān)于的方程的兩個(gè)根，若，則實(shí)數(shù)__________．三、解答題21．已知復(fù)數(shù)，.（1）求及并比較大??；（2）設(shè)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是什么圖形？22．試問x(x∈R)（1）是實(shí)數(shù)？（2）是虛數(shù)？（3）是純虛數(shù)？23．已知復(fù)數(shù).（I）若，求復(fù)數(shù)；（II）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，求的取值范圍.24．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.（1）設(shè)復(fù)數(shù)，求；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.25．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位，）（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一、三象限的角平分線上，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，求的值.26．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位）．（1）求復(fù)數(shù)，以及復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；（2）求復(fù)數(shù)的模．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．C解析：C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)概念判定A，B，D錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)判定正確.【詳解】解：，其對(duì)應(yīng)的復(fù)平面點(diǎn)為位于第四象限，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，虛部為1，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算技巧：（1）復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．（2）復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．2．A解析：A【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的分類及其應(yīng)用，著重考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3．C解析：C【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出的值，然后找到其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，代入到直線，即可求出的值．【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),將其代入直線得，【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義．4．B解析：B【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得到答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5．A解析：A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的虛部、復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可得答案．【詳解】∵z1+i，∴：|z|，：z2＝2i，：z的共軛復(fù)數(shù)為1-i，：z的虛部為1，∴真命題為p2，p3．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查復(fù)數(shù)運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．6．A解析：A【解析】因?yàn)?，則點(diǎn)M在第四象限時(shí)，滿足2>a>-2,因此可知“”是“點(diǎn)在第四象限”的充分而不必要條件，選A7．D解析：D【分析】直接由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【詳解】復(fù)數(shù).對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．8．B解析：B【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求解.詳解：，．故選．點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為9．D解析：D【解析】分析：首先應(yīng)用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則，將求出來，之后應(yīng)用復(fù)數(shù)相等的條件，得到所滿足的等量關(guān)系式，求得的值，接著利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求得結(jié)果.詳解：因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，即，所以，則，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等的條件以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，屬于簡(jiǎn)單題目.10．D解析：D【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可知：，為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可知.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11．A解析：A【解析】【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則,先計(jì)算出的表達(dá)式,然后再計(jì)算出.【詳解】由題意復(fù)數(shù)z得,所以.故選【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式,并能求出復(fù)數(shù)的模,需要掌握其計(jì)算法則,較為基礎(chǔ).12．D解析：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得到，，故，展開計(jì)算得到答案.【詳解】是純虛數(shù)，則且，故，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.二、填空題13．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知的軌跡為圓；再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及的幾何意義即可求得點(diǎn)到圓上距離的最小值即為的最小值【詳解】復(fù)數(shù)滿足方程設(shè)（）則在復(fù)平面內(nèi)軌跡是以為圓心以2為半徑的圓；意義為圓解析：【分析】設(shè)復(fù)數(shù)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知的軌跡為圓；再根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，及的幾何意義即可求得點(diǎn)到圓上距離的最小值，即為的最小值.【詳解】復(fù)數(shù)滿足方程，設(shè)（），則，在復(fù)平面內(nèi)軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓；，意義為圓上的點(diǎn)到的距離，由點(diǎn)與圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及距離最值的求法，屬于中檔題.14．④【分析】①采用特殊值法當(dāng)都是零時(shí)來判斷②通過負(fù)數(shù)也是實(shí)數(shù)來判斷③采用特殊值法當(dāng)時(shí)來判斷④根據(jù)題意是兩個(gè)共軛虛數(shù)則虛部不為零來判斷【詳解】當(dāng)時(shí)則不是純虛數(shù)故錯(cuò)誤②因?yàn)樨?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)可以比較大小故錯(cuò)誤解析：④【分析】①采用特殊值法，當(dāng)都是零時(shí)來判斷.②通過負(fù)數(shù)也是實(shí)數(shù)來判斷.③采用特殊值法，當(dāng)時(shí)來判斷.④根據(jù)題意，是兩個(gè)共軛虛數(shù)，則虛部不為零來判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，不是純虛數(shù)，故錯(cuò)誤.②因?yàn)樨?fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)可以比較大小，故錯(cuò)誤.③當(dāng)時(shí)，符合，且，而不成立，故錯(cuò)誤.④因?yàn)槭莾蓚€(gè)共軛虛數(shù)，所以設(shè)，其共軛復(fù)數(shù)是，則所以是純虛數(shù)，故正確.故答案為：④【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.15．-3【解析】分析：利用純虛數(shù)的定義直接求解詳解：∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)解得故答案為-3點(diǎn)睛：本題考實(shí)數(shù)值的求法是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題注意純虛數(shù)的定義的合理運(yùn)用解析：-3【解析】分析：利用純虛數(shù)的定義直接求解．詳解：∵復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得．故答案為-3．點(diǎn)睛：本題考實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意純虛數(shù)的定義的合理運(yùn)用．16．【解析】分析：利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為的形式即可得到復(fù)數(shù)虛部詳解：則復(fù)數(shù)的虛部故答案為點(diǎn)睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法除法運(yùn)算屬于中檔題解題時(shí)一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解析：【解析】分析：利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為的形式，即可得到復(fù)數(shù)虛部.詳解：，則復(fù)數(shù)的虛部，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.17．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)z的幾何意義以及的幾何意義由圖象得出最大值【詳解】復(fù)數(shù)且復(fù)數(shù)z的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心為半徑的圓的幾何意義是圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率由圖可知：即的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】解析：【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)z的幾何意義以及的幾何意義，由圖象得出最大值.【詳解】復(fù)數(shù)且，復(fù)數(shù)z的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率由圖可知：即的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.18．【分析】設(shè)復(fù)數(shù)由可得即將轉(zhuǎn)化為和到拋物線動(dòng)點(diǎn)距離和根據(jù)拋物線性質(zhì)即可求得最小值【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)即整理得:是以焦點(diǎn)為的拋物線化簡(jiǎn)為:轉(zhuǎn)化為和到拋物線動(dòng)點(diǎn)距離和如圖由過作垂線交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)交拋物線于點(diǎn)根解析：【分析】設(shè)復(fù)數(shù),由可得,即.將轉(zhuǎn)化為和到拋物線動(dòng)點(diǎn)距離和,根據(jù)拋物線性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)即整理得:是以焦點(diǎn)為的拋物線.化簡(jiǎn)為:轉(zhuǎn)化為和到拋物線動(dòng)點(diǎn)距離和.如圖.由過作垂線,交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn).交拋物線于點(diǎn)根據(jù)拋物線定義可知,,根據(jù)點(diǎn)到直線,垂線段最短,可得:的最小值為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查與復(fù)數(shù)相關(guān)的點(diǎn)的軌跡問題,解本題的關(guān)鍵在于確定出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡,利用數(shù)形結(jié)合思想求解,考查分析問題的和解決問題的能力.19．【解析】【分析】設(shè)z=a+bi(ab∈R)則也是此方程的一個(gè)虛根由方程有虛根可知判別式為負(fù)數(shù)據(jù)此可求出m的范圍再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得從而求出結(jié)果【詳解】設(shè)z=a+bi(ab∈R)則也是此方程的一個(gè)解析：【解析】【分析】設(shè)z=a+bi，(a,b∈R)，則也是此方程的一個(gè)虛根，由方程有虛根可知，判別式為負(fù)數(shù)，據(jù)此可求出m的范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)z=a+bi，(a,b∈R)，則也是此方程的一個(gè)虛根，z是關(guān)于x的方程x2+mx+m2?1=0的一個(gè)虛根，可得，即，則由根與系數(shù)的關(guān)系，，則，所以的取值范圍是：.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對(duì)定理，以及復(fù)數(shù)的模的求解，屬中檔題.20．【解析】分析：根據(jù)所給的方程當(dāng)判別式不小于0時(shí)和小于0時(shí)用求根公式表示出兩個(gè)根的差根據(jù)差的絕對(duì)值的值做出字母p的值詳解：當(dāng)即或由求根公式得得當(dāng)即由求根公式得|得綜上所述或故答案為點(diǎn)睛：本題考查一元二解析：【解析】分析：根據(jù)所給的方程，當(dāng)判別式不小于0時(shí)和小于0時(shí)，用求根公式表示出兩個(gè)根的差，根據(jù)差的絕對(duì)值的值做出字母p的值．詳解：當(dāng)，即或，由求根公式得，得當(dāng)，即，由求根公式得|得綜上所述，或．故答案為．點(diǎn)睛：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于判別式與0的關(guān)系的討論，方程有實(shí)根和沒有實(shí)根時(shí)，兩個(gè)根的表示形式不同，本題是一個(gè)易錯(cuò)題．三、解答題21．(1)=2,=1,(2)以為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)（包含圓周）【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出、即可解答.（2）根據(jù)的幾何意義及（1）中所求的模、可知的軌跡.【詳解】解：（1），，∴.（2）由及（1）知.因?yàn)榈膸缀我饬x就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以表示所表示的圓外部所有點(diǎn)組成的集合，表示所表示的圓內(nèi)部所有點(diǎn)組成的集合，故符合題設(shè)條件點(diǎn)的集合是以為圓心，以1和2為半徑的兩圓之間的圓環(huán)（包含圓周），如圖所示．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.22．（1）x=1或x=-2（2）x≠1且x≠-2（3）x=-1【解析】分析：⑴由定義可知當(dāng)x2⑵由虛數(shù)定義可知x2⑶滿足條件x2+3x+2=0詳解：（1）由條件x2+x-2=0，解得x=1（2）由條件x2+x-2≠0，解得x≠1（3）由條件x2+3x+2=0點(diǎn)睛：本題考查了在復(fù)數(shù)域內(nèi)實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念來求值，只要掌握概念即可得到滿足題意得算式，求出結(jié)果．23．（1）；（2）.【解析】試題分析：(1)由題意計(jì)算可得,若，則，.(2)結(jié)合(1)的計(jì)算結(jié)果得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，求解不等式可得的取值范圍為.試題（1）,若，則，∴，∴.（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則且，解得，即的取值范圍為.24．（I）；（Ⅱ）.【詳解】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念及其分類，求解．（1）求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，即可求解；（2）由（1）可求得，根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，列出方程組，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：∵z=1+mi，∴．∴又∵為純虛數(shù)，∴，解得m=﹣3．∴z=1﹣3i．（Ⅰ），∴；（Ⅱ）∵z=1﹣3i，∴．又∵復(fù)數(shù)z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第1象限，∴，．∴．點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算則