專題10 圓錐曲線（選填題6種考法）（老師版）

專題10圓錐曲線（選填題6種考法）考法一直線與圓22【答案】A=25的位置關(guān)系為A．相離B．相切C．相交D．不能確定【答案】Crr2=25的位置關(guān)系為相交.故選：C.【例1-3】（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知直線y=kx+m（m為常數(shù)）與圓x2+y2=4交于點(diǎn)M，N，當(dāng)k變化時(shí)，若|MN|的最小值為2，則m=【答案】C【解析】由題可得圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心到直線的距離d=，則下列說法正確的是()A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心C(0,0)到直線l的距離d=，2a222ra222raa22則直線l與圓C相切，故A正確；則直線l與圓C相離，故B正確；則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；所以d==r，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)ZPBA最小時(shí)，PB=3D．當(dāng)ZPBA最大時(shí)，PB=3【答案】ACD2=16的圓心為M(5,5)，半徑為4，圓心M到直線AB的距離為 5+2x54 5所以，點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為一4<2，最大值為+4<10，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)ZPBA最大或最小時(shí)，PB與圓M相切，連接MP、BM，可知PMLPB，=，MP=4，由勾股定理可得BP=BM2MP2=3，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.考法二橢圓【例2-1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知F1，F(xiàn)2是橢圓MF【答案】C2【例2-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓+=1的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，M是橢圓上任意一點(diǎn)，【答案】D,y0,y0)(x008+12x002.0解法二：設(shè)M(x0,y0)，取線段AF的中點(diǎn)N，則N(一1,0)，連接MN.----2---2 MA.MF==4----2---2 MA.MF==4429020002.0,A2分別為C的,A2分別為C的------2【答案】B22，A1,A2分別為C的左右頂點(diǎn)，則A(a,0)，B為上頂點(diǎn)，所以B(0,b).------------------------所以a22【例2-4】2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)2關(guān)于直線PF1的對(duì)稱點(diǎn)為M，F(xiàn)1關(guān)于直線PF2的對(duì)稱點(diǎn)為N，當(dāng)MN最大時(shí)，則△F1PF2的面積【答案】D,0，連接PM，PN，此時(shí)ZMPF1=ZF1PF2=ZNPF2，ZMPF1+ZF1PF2+ZF2PN=180O，O，在△F1PF2中，由余弦定理可得(2c)2=PF12+PF222PF1PF2cosZF1PF2，PFPF△MF1F2為等腰三角形，則△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為()=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)．若【答案】D此時(shí)△MF1F2的面積為S=x8x2=8，2,2,(三角形內(nèi)切圓半徑公式的推導(dǎo)：S‘ABC=S‘OAB+S‘OBC+S‘OAC=r(|AB|+|BC|+|AC|))當(dāng)M點(diǎn)不在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，不妨假設(shè)在第一象限內(nèi)，此時(shí)|MF1|>|MF2|,此時(shí)|MF2|<|AF2|=6，由△MF1F2為等腰三角形，綜合可得△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為或，故選：D考法三雙曲線【例3-1】（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知F為雙曲線C:-=1的左焦點(diǎn)，P為其右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0,6)，則‘APF周長(zhǎng)的最小值為()【答案】B‘APF的周長(zhǎng)為,當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，則‘APF周長(zhǎng)的最小值為4+6．故選：B.左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若‘POF2是面積為2的正三角形，則b2的值為()【答案】C 12‘POF2是面積為2的正三角形，即S= 12A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B所以“m>2”是“方程+=1表示雙曲線”的充分不必要條件.【例3-4】（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模多選）已知雙曲線C過點(diǎn)(3列結(jié)論正確的是()A．C的方程為x2_=1C．曲線y=ex_2_1經(jīng)過C的一個(gè)焦點(diǎn)D．C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1【答案】CD【解析】因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為x士y=0，則設(shè)雙曲線C：_y2=λ(λ產(chǎn)0)，右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)F1，與雙曲線的漸近線交于點(diǎn)A，若ZF1F2A=，則雙曲線的標(biāo)【答案】C因?yàn)锳F1lF1F2且ZF1F2A則△F1F2A為等腰直角三角形，且AF1FFFFc222|考法四拋物線【答案】B【例4-2】2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）過點(diǎn)(1,2)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直【答案】B滿足要求，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y-2=k(x-1)，2當(dāng)k=0時(shí)，解得x=1,y=2，直線y=2與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；即當(dāng)k=1時(shí)，符合題意．綜上，滿足條件的直線有2條.兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限，若△AFB為等腰直角三角形，則AF=()【答案】A【解析】解：法一由拋物線的對(duì)稱性知∠AFB為直角，且ZAFx=.易知焦點(diǎn)F(1,0)，所以直線AF的方程為y=x-1.所以A，法二由拋物線的對(duì)稱性知∠AFB為直角，且ZAFx=.P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則()A．C的準(zhǔn)線方程為x=-1B．若M(0,3)，則PM的最小值為2C．若M(3,5)，則△PMF的周長(zhǎng)的最小值為11D．在x軸上存在點(diǎn)E，使得ZPEF為鈍角【答案】BC【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在拋物線C:x2=2py上，所以22=2p，解得p=2，所以拋物線C的方程為x2=4y，所以C的準(zhǔn)線方程為y=-1，故A錯(cuò)誤；2=x0因?yàn)镸(0,3)，所以PM2=x020-2(y0-1)2當(dāng)且僅當(dāng)y0=1時(shí)等號(hào)成立，所以PMmin=2，故B正確；C選項(xiàng)：過點(diǎn)P作PN垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，則PN=PF，易知F(0,1)，M(3,5)，所以MF=所以△PMF的周長(zhǎng)為2當(dāng)且僅當(dāng)M，P，N三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以△PMF的周長(zhǎng)的最小值為11，故C正確；02x0t+y0，因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在C上，2------x------x------EF.EP之0，故ZPEF之0，故ZPEF不可能為鈍角，故D錯(cuò)誤.------EF.EP故選：BC.考法五點(diǎn)差法于y軸對(duì)稱．若直線AP,AQ的斜率之積為，則C的離心率為() 2【答案】A1_b22a1_b22a2x12.故答案為：.【解析】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)P(x1,y1)，則Q(_x1,y1) y11__x+a122x1y1a22b2a2_x12a2,所以b2a2_x12aa22+2+a1_x c ca4k=_k[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PBk=_k故kAP.kAQ=kPA._kAQ=_，由橢圓第三定義得：kPA.kAQ=_，故=在的直線方程為x+2y_3=0，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】設(shè)直線x+2y_3=0與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)，則k==2x=__2y2b2a2a2)2x=__2y2b2a2a2)c a12 2【答案】xy _a2b2=1(a>0,b>0)被斜率為4的直線截得的弦AB的中點(diǎn)y1__y2x_y1__y2x_x將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得：_=1；_=1將上述兩式相減可得：=4(x1_x1)2ab2 2a2(y1b2 2ab22所以e2故答案為：2y3y3取值范圍為.=1上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l:y=kx+4(k>0)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k的【解析】依題意，雙曲線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，2又y12=，設(shè)AB的中點(diǎn)是D(x0，y0)，00因?yàn)锳B的中點(diǎn)D在直線l:y=kx+4(k>0)上，2實(shí)數(shù)k的取值范圍為：0,u,+構(gòu)故答案為：0,u,+構(gòu).【例5-5】（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓+=1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|,|MN|=2，則l的方程為.【解析】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法12令A(yù)B的中點(diǎn)為E，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用點(diǎn)差法得到k12,再根據(jù)MN求出k、m，即可得解；即kOE.kAB12 2k2m2[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點(diǎn)E既為線段AB的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，mmm則Mk,0，N0,m，E2k,2，因?yàn)镸N2，所以O(shè)Emmmykxm聯(lián)立直線AB與橢圓方程得x2y21消掉y得(12k2)x24mkx2m2602-4(12k2)26x∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)xE12,又E,，∴xE12=∵k0，m0，∴k=-,又OE=，解得m=2所以直線AB:yx2，即xy20[方法三]：令A(yù)B的中點(diǎn)為E，因?yàn)镸ANB，所以MENE，所以0y1y2y1y21所以xxx,即kOEkAB，設(shè)直線AB:ykxm，k0，m0，mmmm令x0得ym，令y0得xk，即Mk,0，N0,m，所以E2k,2，mmmm即k，解得k或k（舍去2又MN2，即MNm22m2，解得m2或m2（舍去2所以直線AB:yx2，即xy20；由橢圓C1長(zhǎng)軸一端點(diǎn)P和短軸一端點(diǎn)Q分別向橢圓C2引切線PR和QT，若兩切線斜率之積等于-，則橢【答案】【解析】由題可知P(-a,0)，Q(0,b)，2ka2+b2)x2+2ka3x+ka4-ta2b2=0，2ka4-ta2b2)=0，整理可得k=(1ta2，PFPF+PF2ka2+b2)x2+2k2a2bx+a2b2-ta2b2=0，2a2b2-ta2b2)=0，整理可得k=(2又兩切線斜率之積等于-，考法六離心率【例6-1】（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且【答案】A-------------------Q在橢圓C上，若=PF-------------------Q在橢圓C上，若=PF-PF2【答案】A------------------【解析】由PF1+PF2=PF1-PF2，得PF1LPF2，則點(diǎn)P是以F1F2------------------點(diǎn)P在第一象限，如圖22 -a2b2焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若CD=|AB|．則雙曲線的離心率為()【答案】A22【解析】設(shè)雙曲線xy【解析】設(shè)雙曲線 -a2b2=2px(p>0)的公共焦點(diǎn)為(c,0)，則拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為x=-c，2bcaCD=2又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為2bcaCD=22-b2..a故選：A.,滿足|PB|<2b，則C的離心率的取值范圍是()PBPB【答案】C2=x02=x00-b)2(y0-b)2=-y0+2+22，22maxPB2maxPB等式不成立.22maxPB222maxPB2b4222b4222c0，顯然該不過F1的直線與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)Q，與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若線段PQ的垂直平分線恰好過右焦點(diǎn)F2，則雙曲線C的離心率為()【答案】A由題意過F1的直線與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)Q，連接OQ,則OQLF1P,連接PF2,設(shè)M為PQ的中點(diǎn)，則MF2LPQ,:MF2LPF1,則OQⅡMF2,則|MQ|=b，由于M為PQ的中點(diǎn)，所以|MP|=b,2222在雙曲線=1中，P在右支上，有|PF1PF2|=2所以|PF2=3b2a，又|MF22+MF2所以在Rt‘F2MP2+MF22,即4a22故雙曲線的離心率為e=c aa4=222【例6-6】（2023·【例6-6】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C: a2b2直線與C的左、右兩支分別交于點(diǎn)M,N，且F1M:F2N:|【答案】Db2m2a2)y22mcb2y+b4=0，b42mcb2y12m2a2,y1.y2=b2m2b42mcb2由F所以MN= (y124y1.y22b24a2=4a，aa22a12021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為，則p=()【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,0，其到直線x-y+1=0的距離：d=解得：p=2(p=-6舍去)p-2p-22021·北京·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線C:-=1離心率為2，過點(diǎn)(,)，則該雙曲線的方程為()222A．2x2-y2=1B．x2-y=1C．5x2-3y2=1D．x-y=1【答案】B因此，雙曲線的方程為x2-=1.故選：B32021·全國(guó)·高考真題）點(diǎn)(3,0)到雙曲線-=1的一條漸近線的距離為()【答案】A【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：x2542021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)B是橢圓x25=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則PB的最大值為()A.52B.66C.55【答案】A2x 05【解析】設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，因?yàn)锽(0,2x 051-y0-12<1，所以當(dāng)y0=-時(shí)，PB的最大值為．故選：A.圓C內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)Q(a,b)在雙曲線E：-=1上，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得PA+PF2=8，則a的取值范圍是()【答案】A【解析】點(diǎn)Q(a,b)在雙曲線E：-=1上，所以a2-b2=4.所以橢圓左焦點(diǎn)F1坐標(biāo)為(-2,0). b2,a2a2-4A因?yàn)閍2-b2=4，所以b b2,a2a2-4A則“m>2”是“直線l與圓C一定相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】Al-x-3y+4=0l-x-3y+4=0所以如果m>2，則l與C必定相交，如果l與C相交，不一定能得到m>2也可能是m=2，所以“m>2”是“直線l與圓C一定相交”的充分不必要條件；故選：A.72023·全國(guó)·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，在橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)P，使得ZF1PF2=60。，設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為r，則r的值為()【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，所以a=2 PFF上存在一點(diǎn)M，使得F1F22=|MF1|.|MF2|，則橢圓C的離心率的取值范圍是()【答案】A所以a24c2=2mn292023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）以雙曲線一=1(a>0,b>0)的實(shí)軸為直徑的圓與該雙曲線的漸近線分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，若四邊形ABCD的面積為a2，則該雙曲線的離心率為()【答案】B【解析】依題意，根據(jù)雙曲線與圓的對(duì)稱性，可得四邊形ABCD為矩形，如圖，不放設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)(x0>0,y0>0)位于第一象限，則SABCD=2x0x2y0=4x0y0，所以所以以雙曲線22xy a2b22=a2=a=a=a,將將y00=x0a=a=a2x2，a22022.x=a0a22，22，則4ab=c2,,截得的弦長(zhǎng)之比為1:，則圓C的面積為()B. π5D. π5【答案】B由題意可得 555112023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值λ(λ>0，且λ子1)的點(diǎn)的軌 43PAPB=4 43PAPB=4，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段AD上PB跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2,0),B(4,0)，點(diǎn)P滿足=.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．C的方程為(x+4)2+y2=16B．當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，則ZAPO=ZBPOC．在C上存在點(diǎn)M，使得PBPD的最小值為4【答案】C2x-4【解析】設(shè)P(x,y)2x-4【解析】設(shè)P(x,y)，由2PAPB12當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，,所以POPAPB12當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，所以C上不存在點(diǎn)M，使得|MO|=2|MA|，故C錯(cuò)誤；23,PDPAPDAD時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：C.122023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓,F2，點(diǎn)122023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓 PFPF若離心率e=,則橢圓C PFPF若離心率e=2()「)()「)0,2-1【答案】DPF PFPFPF PFPFe=22PF2PF2橢圓存在一點(diǎn)P，若ZF1PF2=120。，則橢圓的離心率取值范圍為()【答案】Cr2，所以4a24c2<a2，所以3a2<4c2，142023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，F(xiàn)1,F2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過F2的直線交雙曲線于B,D兩點(diǎn)，且F2D=3F2B，E為線段DF1的中點(diǎn)，若對(duì)于線段DF1上的任意點(diǎn)P，都有PF1.PB之EF1.EB成立，則雙曲線的離心率是()【答案】D【解析】取F1B中點(diǎn)Q，連接PQ,EQ,DQ，222:2一222，則22，:之恒成立，:EQLDF1，又EQ//BD，:BDLDF1，-------設(shè)BF2-------22，:m=a，，:20a2=4c2，:e2==5，則離心率e=.故選：D.152022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過點(diǎn)A．C的準(zhǔn)線為y=1B．直線AB與C相切【答案】BCD【解析】將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2p，所以拋物線方程為x2=y，故準(zhǔn)線方程為y=一，A錯(cuò)誤；kABlx=ylx=y2x22y2+y222x22y2+y22又設(shè)過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，22kx2x1212x12y1+y12，故C正確；2162022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|，則()【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易得F(,0)，由AF=AM可得點(diǎn)A在FM的垂42對(duì)于B，由斜率為2可得直線AB的方程為x=y+，聯(lián)立拋物線方程得y2一py一p2=0，B(,)，2172022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題多選）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且cosZF1NF2=，則C的離心率為()A.52B.32C.2D.2【答案】AC【解析】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點(diǎn)為B，所以O(shè)BLF1N，因?yàn)閏osZF1NF2=>0，所以N在雙曲線的左支，5 a25選A2情況二若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)閏os經(jīng)F1NF2=>0，所以N在雙曲線的右支，=a，aa+2b-a=2a，A選項(xiàng)e=特值雙曲線特值雙曲線，過F1且與圓相切的一條直線為y=x+)，：兩交點(diǎn)在左右兩支，N在右支，:N,，:NF2=[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點(diǎn)為G，若M,N分別在左右支，因?yàn)镺GlNF1，且cos經(jīng)F1NF2=>0，所以N在雙曲線的右支，=a，經(jīng)F2F1N=β, 所以sinacosβ+cosasinβ-sinβ=sina，a所以雙曲線的離心率22NFsinβ=sinβ=而cosa=22a若M,N均在左支上，cosβ=-，同理有sinβ==，cosβ=-，同理有代入cosa=，sinβ=，sina=，整理得到：=，2182023·山東菏澤·統(tǒng)考一模多選）已知雙曲線E:x2的直線l與雙曲線E的左、右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，下列命題正確的有()A．當(dāng)點(diǎn)C為線段PQ的中點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率為B．若A(1,0)，則ZQF2A=2ZQAF22.PF22【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A：設(shè)P(x1,y),Q(x2,y2)，代入雙曲線得，2y|x13：tanZQF2A=tan2ZQAF2，又：ZQF2A,ZQAF2E(0,π)ZQF2A=2ZQAF2，故B正確；1PF=12 2PF222.PF2.PF2，故C正確；2 2∴點(diǎn)B與點(diǎn)F2關(guān)于直線l對(duì)稱，：PB+QB=PF2+QF2，：PF1+QF1=PB+QB，故D正確；故選：BCD.192023·山東臨沂·統(tǒng)考一模多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C:y2=2x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線l1從點(diǎn)P(m,2)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn))反射后，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)B(x2,y2)反射后，沿直線l2射出，經(jīng)過點(diǎn)Q，則()B．延長(zhǎng)AO交直線x=一于點(diǎn)D，則D，B，Q三點(diǎn)D．若PB平分ZABQ，則m=94【答案】AB【解析】由題意知，點(diǎn)F,0，A(x1,2)，如圖：4(1)424(1)42x2=，又x2=所以x1x28828,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又知直線BQ∥x軸，且B,-，則直線BQ的方程為y=-，又A(2,2)，所以直線AO的方程為y=x，令x=-2，解得y=-2，即D（|-2,-2所以D，B，Q三點(diǎn)共線，所以B選項(xiàng)正確；設(shè)直線PB的傾斜角為θ(θE0,斜率為k0，直線AB的傾斜角為a，0故選：AB.20（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模多選）已知圓C:x2+y2-6x+8=0，點(diǎn)A(0,4)，點(diǎn)P在圓C上，O為坐標(biāo)A．線段AP長(zhǎng)的最大值為6B．當(dāng)直線AP與圓C相切時(shí)，|AP|=2C．以線段AP為直徑的圓不可能過原點(diǎn)OD．.的最大值為2022【答案】ABD【解析】根據(jù)題意可知C:(x一3)2+y2=1的圓心C(3,0)，半徑r=1，如下圖所示：易知AP<AC+CP=+1=6，當(dāng)且確；若以線段AP為直徑的圓過原點(diǎn)O，由直徑所對(duì)圓周角為直角可得ZAOP=90o，易知當(dāng)P在x軸上時(shí)，滿足題意；所以以線段AP為直徑的圓可能過原點(diǎn)O，即C錯(cuò)誤；,y04)故選：ABD21（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)多選）已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是() π 3ABMN的最小值為C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，MN的最小值為D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切【答案】BC(p)p(p)p當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線l:x=+my，與y2=2px聯(lián)立得：y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm,y1y2=-p2，則x1x22x21y2=2-p2=-12，解得：p=4，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?3，所以A,F,B三點(diǎn)共線，即直線l經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線l:x=+my，與y2=2px聯(lián)立得：y2-2pmy-p2=0，故y1+y2=2pm,y1y2=-p2，=-3y2，代入y1+y2=2pm,y1y2=-p2中，得到y(tǒng)2=-pm,-3y=-p2，即m2=，故直線l的斜率為=，設(shè)直線l的傾斜角為θ(0<θ<π)，則tanθ=，解得：θ=，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)AF=m,BF=n，過點(diǎn)A作AQ⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BP⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)P，因?yàn)橐訟B為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以AF⊥BF，則AB=，22222，D選項(xiàng)，當(dāng)直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)F,0時(shí)，設(shè)AF=m,BF=n，由三角形三邊關(guān)系可知：AF+BF>AB，22由拋物線定義可知結(jié)合C選項(xiàng)可知：AF+BF=2MN>AB，即MN>，若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相離，D錯(cuò)誤.故選：BC222023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)多選）已知橢圓C:+=1（a>b>0）的離心率為，橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)F1,F2所形成的三角形面積最大值為，下列說法正確的是()B．直線l:3x+4y7=0與橢圓C無公共點(diǎn)C．若A，B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且OALOB，過O作OHLAB，H為垂足，則點(diǎn)H所在軌跡為圓，且圓D．若過點(diǎn)Q(3,2)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則kAB=一【答案】AC成立，所以S‘PFF的最大值為c2，依題意可得c2=，所以c2=1，c=1，a=2，b=，所以橢圓C的方242x+124x2112因?yàn)镾!AOB+4y7=0與橢圓C有公共點(diǎn)，故B不正確；222，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y12，++12，2y1=2y1=12k212k2112+12若OA的斜率不存在或者為0，則A,B為橢圓的頂點(diǎn)（一個(gè)為長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，一個(gè)為短軸的頂點(diǎn)則2設(shè)H(x,y)，則x2+y2=，則點(diǎn)H所在軌跡為圓，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，.7且圓的半徑r滿足r2=，故C正確.2所以切線QA的斜率為-，切線QA的方程為y-y1=-(x-x1)，由9x1所以直線AB的方程為9x+8y-12=0，則kAB=-.故D不正確.故選：AC232023·全國(guó)·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)多選）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，kPF1，kPF表示直線PF1，PF2的斜率，則下列說法正確的是()C．存在點(diǎn)P，使得kPF=7kPF成立D．存在點(diǎn)P，使得.=7成立【答案】ABDll2xy=0所以直線l過定點(diǎn)P(1,2)，所以存在點(diǎn)P，使得PF1=7成立，故選項(xiàng)A正確；------對(duì)于C，因?yàn)閗PF=，kPF=x0y04，若kPF=7kPF，則(3x0+16)y0=0，因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在第一象限內(nèi)，使得kPF=7kPF成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；項(xiàng)D正確，故選：ABD.2線l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)A，B，則下列說法正確的是()C．若r的值固定不變，則ΔABC的面積的最大值為r2【答案】BD因?yàn)橹本€l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以r>PC=，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)P(1,2)，所以當(dāng)lLPC時(shí)，∠ACB最小，因?yàn)閗PC=2，所以此時(shí)直線l的斜率為，C選項(xiàng)：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則‘ABC的面積S=.d.AB=drr2d2d42d2rr2)2r4(|d2(,2綜上‘ABC2=時(shí)，‘ABC的面積最大，且Smax=；,即r>，則函數(shù)S隨著d的增大而增大的面積的最大值為r2或5r2一25，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)知，當(dāng)d2r29時(shí)‘ABCa4b22922故選：BD.252023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考一模多選）F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上且MF=5，則直線MF的方程可能為()【答案】BD【解析】拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，準(zhǔn)線為x=一1，設(shè)M(x0,y0)，MF0故選：BD26（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)多選）已知F是拋物線W:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(1,2)在拋物線W上，過點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線l1，l2分別與拋物線W交于B，C和D，E，過點(diǎn)A分別作l1，l2的垂線，垂足分別為M，N，則()A．四邊形AMFN面積的最大值為2B．四邊形AMFN周長(zhǎng)的最大值為2D．四邊形BDCE面積的最小值為32【答案】ACD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A(1,2)在拋物線y2=2px上，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，所以|AM|.|AN|<2，當(dāng)且僅當(dāng)|AM|=|AN|=時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形AMFN面積的最大值為2，故A正確.當(dāng)且僅當(dāng)|AM|=|AN|=時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形AMFN周長(zhǎng)的最大值為4，故B不正確.2，321+|BC|+|BC|.故選：ACD.272023·云南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)A1(-,0)和A2(,0)連線的斜率之積等于，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E，則()C．E的漸近線與圓(x-2)2+y2=1相切D．過點(diǎn)M(1,2)作曲線E的切線僅有2條【答案】ACD【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y)，由已知得.=，整理得-y2=1，圓(x-2)2+y2=1的圓心(2,0)到曲線E的漸近線y=士x的距離為則過點(diǎn)M(1,2)作曲線E的切線僅有2條故D正確.故選：ACD282023·山東菏澤·統(tǒng)考一模多選）已知圓O:x2+y2=4，下列說法正確有()A．對(duì)于vmER，直線(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0與圓O都有兩個(gè)公共點(diǎn)B．圓O與動(dòng)圓C:(x-k)2+(y-k)2=4有四條公切線的充要條件是k>2C．過直線x+y-4=0上任意一點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA,PB（A,B為切點(diǎn)則四邊形PAOB的面積的最小值為4D．圓O上存在三點(diǎn)到直線x+y-2=0距離均為1【答案】BC又因?yàn)?2+12>4，所以定點(diǎn)(3,1)在圓O外，所以直線(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0與圓O可能相交、相切、相離，即交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0個(gè)、1個(gè)、2個(gè).故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閳AO與動(dòng)圓C有4條公切線，所以圓O與圓C相離，又因?yàn)閳AO的圓心O(0,0)，半徑r1=2，圓C的圓心C(k,k)，半徑r2=2，224， 所以四邊形PAOB的面積的最小值為2(22)2一4=4.故選項(xiàng)C正確；22=2<1，所以圓O上存在兩點(diǎn)到直線x+y2=0的距離為1.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.22故選：BC.,A．當(dāng)‘PAB的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)C．若點(diǎn)P不在x軸上，則OP平分ZAPBD．當(dāng)直線BP與圓C相切時(shí)，APLAB【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：由‘PAB的面積S=AB.yP=yP，所以，要使得‘PAB的面積最大，只需yP最大，yPmax2yPmax所以‘PAB的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,士2)，所以A不正確；PAPBPAPB x222x 2所以PB=2PA，所以B不正確；延長(zhǎng)BP到Q，使PQ=AP，連接AQ，PA PBPQPB所以=，所以O(shè)P//PA PBPQPB所以所以ZOPB=ZQ,ZOPA=ZQAP，所以ZOPB=ZOPA，即OP平分ZAPB，所以C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：設(shè)直線BP的方程為y=k(x+2)，由直線BP與圓C相切得=2所以，聯(lián)立方程〈322，顯然有APlAB，所以D正確.302023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)多選）已知雙曲線C：點(diǎn)F1到雙曲線C的漸近線的距離為，直線l與雙曲線C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點(diǎn)，則()A．雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1B．若直線l過點(diǎn)(2,0)，且A，B兩點(diǎn)都在雙曲線C的右支上，則AB>6)為雙曲線C上的一點(diǎn)，則直線PA，PB的斜率之積為D．若點(diǎn)M(-1,0)，直線l的斜率存在且過點(diǎn)F2，則MAlMB13【答案】ABD不妨取雙曲線C的一條漸近線y=x，即bx一ay=0，則由點(diǎn)F1到漸近線的距離為，得2ba22故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2一=1，所以A正確.B選項(xiàng)：易知直線l過F2(2,0)，易知當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，AB取得最小值，22y1一y022xx10322y1一y022xx103，代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)，得xx=xx=k3y22(x1222)k22k212故選：ABD橢圓C交于點(diǎn)M，N（M在第一象限MF+NF=4，P為x軸上一點(diǎn)，MPLOP，ΔOMP面積的最大值為1，且直線NP與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，則當(dāng)ΔOMP的面積最大時(shí)，下列結(jié)論正確的是()12LMQADB．12LMQADB．點(diǎn)P為橢圓C的右焦點(diǎn)D.△MNQ的面積為C．MN【答案】【解析】如圖，取橢圓的右焦點(diǎn)為H，連接MH..88k222k 8k2 8k22=0，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為2b2又MN==2，點(diǎn)Q到直線y=x的距離為，故△MNQ的面積為x2x=綜上可知A，D正確，B，C錯(cuò)誤；故選：AD.線與C交于A,B兩點(diǎn),若AB=4BF1,BF2=AF2,則()A．tanZAF2B=B．橢圓C的離心率為C．若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,則橢圓C的方程為+y2=1D．直線BF2的斜率的絕對(duì)值為【答案】AC【解析】解:由題知AB=4BF1,BF2=AF2,所以BF25m,AF2=3m,顯然BF22=AF22+AB2,AB4m4AF3m3所以ΔAF2B是以ZF2AB為直角的直角三角形,所以tanZAF2B==AB4m4AF3m32所以在△AF1F2中,由勾股定理知:(2c)2=a2+a2,解得a=c,故離心率e=,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;故橢圓方程為:+y2=1,故選項(xiàng)C正確;根據(jù)對(duì)頂角相等可知ZBF2F1等于直線BF2的傾斜角,F2在△BF1F2中,BF2=5m,BF1=m,所以由余弦定理可得:F所以tanZBF2F1=故選:AC332023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)多選）若橢圓+=1(m>0)的某兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為4，則m的可能取值有()【答案】BCD若這兩個(gè)頂點(diǎn)為長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，2=4,m=；若這兩個(gè)頂點(diǎn)為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，2m=4,m=2；若一個(gè)頂點(diǎn)短軸的端點(diǎn)，另一個(gè)為長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，=4,m=；故選：BCD22342023·福建漳州342023·福建漳州·統(tǒng)考二模多選）已知F1(一2,0),F2(2,0)是雙曲線C: a2b2且F2到C的一條漸近線的距離為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M(1,)，P為C右支上的一點(diǎn)，則()A．a(chǎn)=b=B．過點(diǎn)M且斜率為1的直線與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)2【答案】ACD【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為c=2，一條漸近線為：y=x常bx一ay=0因?yàn)镕2到C的一條漸近線的距離為，對(duì)于B，雙曲線的漸近線的斜率為1，所以過點(diǎn)M且斜率為1的直線為y=x ,消去y得：x=,y=1，只有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，,所以PF1PF2+PF2PF2PFPF.PF2PF因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，P為C右支上的一點(diǎn)，3PF+PFFF3PF+PFFF22Y22222在△F1PF2中，由余弦定理得：2PF.2PF.PF2222222即PO2=PF12+PF22)F1F222PF1.PF2+8)x16=PF1.P對(duì)于D，當(dāng)P,M,F1,F2四點(diǎn)共圓時(shí)，所在的圓方程為x2+y2=4，,P，所以ZMF1F2=30o， 3 333。，故選：ACD.112Δ【答案】222，由勾股定理可得2+2=3，因?yàn)閙>0，解故答案為：2.離心率為．過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|D c a2+4y2-12c2=,∴a=2c，∴b2=a2-c2=3c2，∴橢圓的方程為不妨設(shè)左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，如圖所示，=c，a=2c，∴ZAF2O=，∴△AF1F2為正三角形過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，DE為線段AF2的垂直平分線，∴直線DE的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線DE的方程：x=y-c，代入橢圓方程3x2+4y2-12c2=0，整理化簡(jiǎn)得到：13y2-6cy-9c2=0，2222，∴DE=2y-∴DE=：DE為線段AF2的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DF2，AE=EF2，∴VADE的周長(zhǎng)等于△F2DE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到△F2DE周長(zhǎng)為DF2x2m2372022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線x2m2m=._________33依題意圓心(0,2)到漸近線x+my3322382022·浙江382022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線 -a2b2 4a 4a的直線交雙曲線于點(diǎn)A(x1,y1)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(x2,y2)且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，則雙曲線的離心率是._________【答案】【解析】過F且斜率為的直線AB:y=(x+c)，漸近線l2:y=x，而點(diǎn)A在雙曲線上，于是821，解得所以離心率e34.故答案為：4392022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)A(2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于ya對(duì)稱的直線與圓(x3)2(y2)21有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.【解析】A2,3關(guān)于ya對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A2,2a3，B0,a在直線ya上，所以AB所在直線即為直線l，所以直線l為yxa，即a3x2y2a0；圓C:x32y221，圓心C3,2依題意圓心到直線l的距離d222222;y2b2x2a240y2b2x2a21(a0,b0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值.【答案】2（滿足1e皆可）by2b21(a0,by2b21(a0,b0)，所以C的漸近線方程為y x,a結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需02，即4，可滿足條件“直線y2x與C無公共點(diǎn)”ll412022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y一1=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。M上，則。M的方程為.(x1)2+(y+1)2=5【解析】[方法一]：三點(diǎn)共圓∴設(shè)點(diǎn)M為(a,1一2a)，又因?yàn)辄c(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。M上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，2222[方法二]：圓的幾何性質(zhì)222422022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(一1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為.(y3)222+y2=或x22【解析】[方法一]：圓的一般方程