2024屆上海市嘉定區(qū)高考二模數(shù)學試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024年上海市嘉定區(qū)高考數(shù)學二模試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線Γ1：x24?A.焦點 B.頂點 C.漸近線 D.離心率2.已知OA=(x1,y1)，OB=(x2A.12|x1x2?y13.嘉定某學習小組開展測量太陽高度角的數(shù)學活動.太陽高度角是指某時刻太陽光線和地平面所成的角.測量時，假設太陽光線均為平行的直線，地面為水平平面.如圖，兩豎直墻面所成的二面角為120°，墻的高度均為3米.在時刻t，實地測量得在太陽光線照射下的兩面墻在地面的陰影寬度分別為1米、1.5米.在線查閱嘉定的天文資料，當天的太陽高度角和對應時間的部分數(shù)據(jù)如表所示，則時刻t最可能為(

)太陽高度角時間太陽高度角時間43.13°08：3068.53°10：3049.53°09：0074.49°11：0055.93°09：3079.60°11：3062.29°10：0082.00°12：00A.09：00 B.10：00 C.11：00 D.12：004.已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)的最小正周期是T1，函數(shù)y=g(x)(x∈R)的最小正周期是T2，且T1=kT2(k>1)，對于命題甲：函數(shù)y=f(x)+g(x)(x∈R)可能不是周期函數(shù)；

命題乙：若函數(shù)y=f(x)+g(x)(x∈R)的最小正周期是A.甲和乙均為真命題 B.甲和乙均為假命題

C.甲為真命題且乙為假命題 D.甲為假命題且乙為真命題二、填空題：本題共12小題，共54分。5.設集合A=[1,3]，B=(2,4)，則A∪B=______．6.拋物線y2=4x的準線方程為______．7.已知圓錐的母線長為2，高為1，則其體積為______．8.(x+1)5的展開式中x29.已知i是虛數(shù)單位，則|4+3i(1?2i)210.函數(shù)y=|x?1|+|x?4|的值域為______．11.數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的方差為s12，數(shù)據(jù)3、6、9、12、15的方差為s22，則s12.已知曲線y=13x3上有一點P(2,813.小張、小王兩家計劃假期來嘉定游玩，他們分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個景點中隨機選擇一個游玩，記事件A表示“兩家至少有一家選擇古猗園”，事件B表示“兩家選擇景點不同”，則概率P(B|A)=______．14.已知f(x)=2sinx+2cosx15.在平面直角坐標系xOy中，點P在圓x2+y2=1上運動，定點A、B滿足OA?OB=116.若規(guī)定集合E={0,1,2,…,n}的子集{a1,a2,a3,??,am}為三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，D是BC的中點，AC=2A1A=AB=BC=1，

(1)18.(本小題14分)

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，cos2B?sin2B=?12．

(1)求角B，并計算sin(B+π6)19.(本小題14分)

據(jù)文化和旅游部發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，2023年國內出游人次達48.91億次，總花費4.91萬億元.人們選擇的出游方式不盡相同，有自由行，也有跟團游.為了了解年齡因素是否影響出游方式的選擇，我們按年齡將成年人群分為青壯年組(大于等于14歲，小于40歲)和中老年組(大于等于40歲).現(xiàn)在S市隨機抽取170名成年市民進行調查，得到如下表的數(shù)據(jù)：青壯年中老年合計自由行6040跟團游2050合計(1)請補充2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為年齡與出游方式的選擇有關；

(2)用分層抽樣的方式從跟團游中抽取14個人，再從14個人中隨機抽取7個人，用隨機變量X表示這7個人中中老年與青壯年人數(shù)之差的絕對值，求X的分布和數(shù)學期望．α0.100.050.025P2.7063.8415.02420.(本小題18分)

如圖，已知三點A、B、P都在橢圓x24+y22=1上.

(1)若點A、B、P都是橢圓的頂點，求△ABP的面積；

(2)若直線AB的斜率為1，求弦AB中點M的軌跡方程；

(3)若直線AB的斜率為2，設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB21.(本小題18分)

已知常數(shù)m∈R，設f(x)=lnx+mx．

(1)若m=1，求函數(shù)y=f(x)的最小值；

(2)是否存在0<x1<x2<x3，且x1、x2、x3依次成等比數(shù)列，使得f(x1)、f(x2)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：雙曲線Γ1：x24?y22=1的焦點為(±6,0)，頂點(±2,0)，漸近線方程為y=±22x；離心率e=62；

雙曲線2.【答案】B

【解析】解：設A到OB的距離為d，

因為OB=(x2,y2)，則OB的一個法向量n=(?y2,x2)，

則d=|OA?n|n3.【答案】B

【解析】解：如圖所示，設兩豎直墻面的交線為DE，點E被太陽光照射在地面上的影子為點B，

點A、C分別是點B在兩條墻腳線上的射影，連接AC、BD、BE，由題意可知∠DBE就是太陽高度角．

∵四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADC=120°，

∴∠ABC=360°?(∠BAD+∠BCD+∠ADC)=60°，

∴△ABC中，AC2=AB2+BC2?2AB?BCcos60°=1.52+12?2×1.5?1×12=1.75，可得AC=1.75≈1.32，

∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，BD是其外接圓直徑，

∴設△ABC的外接圓半徑為R，則BD=2R=ACsin60°≈1.53，

Rt△BDE中，tan4.【答案】A

【解析】解：取f(x)=sinx，g(x)=sinπx，則f(x)+g(x)不是周期函數(shù)，故甲命題為真命題；

若函數(shù)y=f(x)+g(x)(x∈R)的最小正周期是T3，則f(x+T3)+g(x+T3)=f(x)+g(x)，

∴T3=nT1，5.【答案】[1,4)

【解析】解：∵集合A=[1,3]，B=(2,4)，

∴A∪B=[1,4)．

故答案為：[1,4)．

直接根據(jù)補集的運算求解即可．

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．6.【答案】x=?1

【解析】解：y2=4x的準線方程為：x=?1．

故答案為：x=?1．

直接利用拋物線的標準方程求解準線方程即可．7.【答案】π

【解析】解：圓錐的母線長為l=2，高為?=1，

則底面半徑r=l2??2=3，

圓錐的體積V=8.【答案】10

【解析】解：(x+1)5的展開式的通項公式為Tr+1=C5r?x5?r，令5?r=2，求得r=3，可得展開式中x2項的系數(shù)為C53=10，

故答案為：9.【答案】1

【解析】解：i是虛數(shù)單位，

4+3i(1?2i)2=4+3i?3?4i=(4+3i)(?3+4i)(?3?4i)(?3+4i)=?2425+725i，10.【答案】[3,+∞)

【解析】解：y=|x?1|+|x?4|=2x?5,x≥43,1<x<4?2x+5,x≤1，

其大致圖象如圖所示，結合函數(shù)圖象可知，函數(shù)有最小值3，沒有最大值．

故答案為：[3,+∞)．

先對已知函數(shù)進行化簡，作出函數(shù)圖象11.【答案】9

【解析】解：數(shù)據(jù)1、2、3、4、5的平均數(shù)為1+2+3+4+55=3，

所以s12=15×[(1?3)2+(2?3)2+(3?3)2+(4?3)2+(5?3)2]=2，

數(shù)據(jù)3、6、912.【答案】4

【解析】解：根據(jù)題意，曲線y=13x3，其導數(shù)y′=x2，則y′|x=2=4，

即過P點的切線的斜率k=4．

13.【答案】45【解析】解：根據(jù)題意，兩家分別從“古猗園，秋霞圃，州橋老街”這三個景點中隨機選擇一個游玩，有3×3=9種情況，

若兩家至少有一家選擇古猗園，有9?2×2=5種情況，則P(A)=59，

若兩家選擇景點不同且至少有一家選擇古猗園，有2×2=4種情況，則P(AB)=49，

則P(B|A)=P(AB)P(A)=45．

故答案為：414.【答案】4【解析】解：因為f(x)=2sinx+2cosx=2(sinx+cosx)sinxcosx，

令t=sinx+cosx=2sin(x+π4)，

因為0<x<π2，

所以π4<x+π4<3π4，

所以22<sin(x+π4)≤1，

故1<t≤2，

由t=sinx+cosx可得，t2=1+2sinxcosx，

15.【答案】[【解析】解：根據(jù)題意，定點A、B滿足OA??OB=12且|OA|=|OB|=1，可知∠AOB=π3，

設A(1,0)，B(12,32)，圓x2+y2=1上點P坐標為(cosα,sinα)，0≤α≤2π，

則OA?OP=cosα，OB?OP=12cosα+32sinα，可得|OA?OP|+|OB?OP|=|cosα|+|12cosα+32sinα|，

由三角函數(shù)的定義與性質，可知：當0<α<π2時，cosα與12cosα+32sinα均為正數(shù)，

此時f(α)=|OA?OP16.【答案】{0,1,4,6,7}

【解析】解：因為211=20+21+24+26+27，

所以E的第17.【答案】(1)證明：因為AC=2A1A=AB=BC=1，

可得AB⊥BC，三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，

可得BB1⊥平面ABC，

以B為坐標原點，以BA，BC，BB1所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則B(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，

C(0,1,0)，C1(0,1,1)，

因為D為BC的中點，所以D(0,12,0)，

則BA1=(1,0,1)，AD=(?1,12,0)，AC1=(?1,1,1)，

設平面ADC1的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AD=0n?AC1=0，即?x+12y=0?x+y+z=0，令y=2，

可得n=(1,2,?1)，

所以BA1?n=1×1+0×2+1×(?1)=0，

【解析】(1)由題意建立空間直角坐標系，求出平面ADC1的法向量n的坐標，可得BA1⊥n，再由BA1?平面ADC18.【答案】解：(1)因為cos2B?sin2B=?12=cos2B且B為三角形內角，

所以B=π3或B=2π3，

當B=π3時，sin(B+π6)=sinπ2=1，

當B=2π3時，sin(B+π6)=sin5π6=12；

(2)由題意結合(1)得A+C=2π3，

所以0<A<π20<2π3?A<π【解析】(1)由已知結合二倍角公式進行化簡可求cos2B，進而可求；

(2)由已知銳角三角形可先求出A的范圍，然后結合正弦定理可表示a+2c，然后結合和差角公式及輔助角公式進行化簡，再由正弦函數(shù)的性質即可求解．

本題主要考查了二倍角公式，和差角公式及輔助角公式的應用，還考查了正弦定理在求解三角形中的應用，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)補充2×2列聯(lián)表：青壯年中老年合計自由行6040100跟團游205070合計8090170K2=170×(60×50?40×20)2100×70×80×90≈16.3>3.841，

因此有95%的把握認為年齡與出游方式的選擇有關；

(2)用分層抽樣的方式從跟團游中抽取14個人，則從青壯年組中抽取2070×14=4人，從中老年組中抽取5070×14=10人，

再從14個人中隨機抽取7個人，這7個人中中老年與青壯年人數(shù)分別為a，7?a，則a=0，1，2，3，4，相應的7?a=7，6，5，4，3．

則X=|a?(7?a)=|2a?7|=7，5，3，1．

則P(X=1)=X1357P4063355E(X)=1×40143【解析】(1)利用已知數(shù)據(jù)即可補充2×2列聯(lián)表，利用K2計算公式可得K2，進而得出結論．

(2)用分層抽樣的方式從跟團游中抽取14個人，可得從青壯年組中與從中老年組中抽取的人數(shù)，再從14個人中隨機抽取7個人，這7個人中中老年與青壯年人數(shù)分別為a，7?a，可得a=0，1，2，3，4，相應的7?a=7，6，5，4，3.于是X=|a?(7?a)=|2a?7|=7，5，3，1.利用超幾何分布列可得X的分布列為的分布列與E(X)．20.【答案】解：(1)因為點A、B、P都是橢圓x24+y22=1的頂點，

所以△ABP的面積為S=12×2a×b=ab=22；

(2)設A(x1,y1)，B(x2,y1)，因為直線AB的斜率為1，所以設直線AB的方程為y=x+m，

由y=x+mx24+y22=1，消去y，整理得3x2+4mx+2m2?4=0，

由根與系數(shù)的關系知，x1+x2=?4m3，x1x2=2m2?43，

設弦AB中點M(x,y)，則x=x1+x22=?2m3，y=y1+y22=(x1+m)+(x2+m)2=?43m+2m2=m3，

消去m，得y=?12x，由Δ=16【解析】(1)根據(jù)點A、B、P都是橢圓x24+y22=1的頂點，計算△ABP的面積即可；

(2)設A(x1,y1)，B(x2,y1)，直線AB的方程為y=x+m，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，利用根與系數(shù)的關系得出x1+x2，根據(jù)AB中點坐標公式，求解即可；

(3)設A(21.【答案】解：(1)f(x)=lnx+1x(x>0)，

f′(x)=1x?1x2=x?1x2，

令f′(x)=0，得x=1，

所以在(0,1)上f′(x)<0，f(x)單調遞減，

在(1,+∞)上