2021高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺500題08填空-提升（50題）新高考解析版

專練08填空-提升（50題）（新高考）

1.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）（Gi—1廣'=.

【答案】-2237（1+后）

【詳解】

673

[(^i-l)(T3i-l)(V3i-l)]673

86738(>/3i+l)

（后-1廣18

亞-1(73i-l)(V3i+l)

二叫?。┮唤?可

故答案為：一22370+百°

2.（2021?廣東梅州市?高三二模）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足a“+S“=l,則

S.S,S.

qa2as

【答案】502

【詳解】

由數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和S?，且滿足an+Sn=l,

當(dāng)〃22時(shí)，G?_,+5?_,=1,

兩式相減，可得+（S〃=-a._]=0,即3-=5（〃N2）,

an-\,

令〃=1,可得q+S[=2q=1,解得q=g,

i?/1\n

所以數(shù)列｛。,｝衣示首項(xiàng)為5，公比為萬(wàn)的等比數(shù)列，所以4=T,

12J

所以工+邑+邑+L+區(qū)=(2+2?+L+28)-(l+l+L+1)

a\a2%%

2(l-28)

一8=2110=502

1-2

故答案為:502.

3.（2021?遼寧葫蘆島市?高三一模）已知數(shù)列｛%｝滿足：%=1,。用=24+1,若幺用=（〃-2。（4+1）,4=T,

且數(shù)列出｝是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

2

【答案】（-叫?

【詳解】

因?yàn)?+1=2,《,+|=24+1得。,用+1=2（4+1）,｛4,+1｝是等比數(shù)列,

所以?！?1=2",

n

%=(〃-2>2",bn=(n-l-2t)-2-',

｛%｝是遞增數(shù)列,

3

“22時(shí),(n-2z)-2">(n-l-2z)-2n-,,2t-\<n,所以2f—1<2,t<~,

2

2

又仇=2(1—2。，所以2(1-2，)>T,r<-,

綜上，t<一.

3

d，2、

故答案為：(―°°,-).

4.(2021?長(zhǎng)沙市?湖南師大附中高三二模)已知數(shù)列｛4｝中，4=；,且為/T+1=2%T，數(shù)列｛〃,｝滿足

b.=,則也｝的通項(xiàng)公式是b?=.

.一、10

【答案】n~~

3

【詳解】

.??4%+1=241，

..也可=」______1—=2%—=-一％—=%「％=],

a1

"a"-ln-i-(<??-l)(an_1-1)????-1??-|-an

4八17

又4貝1]仇=----r=

7q-13

7

數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為-;，公差為1的等差數(shù)列，

,7,10

?.仇=----\-n-\=n-----.

"33

故答案為：〃——.

5.(2021?吉林高三三模(文))在數(shù)列｛4｝中，％=2,(/+1)/+]=2(/_2〃+2)%,貝！Ja〃=.

2"

［答案］-(~T7—

(H-1)+1

【詳解】

依題意，q=2,(?+1)4用=2(〃2-2〃+2”.，

即(〃2+1,向=2［(〃-1)一+1%,3=12~-

、7L」n+1

所以一.........a\

an-\an~2a2

2[(〃一2『+1]2[(H-3)2+1]2[12+1]2[02+l]。

一(n-l)2+l(n-2)2+l22+l12+1

2"

(“-I)'+1

2"

故答案為：~727

(n-1)+1

6.(2021?四川成都市?高三三模(理))已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S,,=2"一加，數(shù)列也,｝滿足

^,=log2a?,其中“GN*，給出以下命題：

①m=1;

②若以“＞包一4對(duì)〃eN*恒成立，則，＞《；

③設(shè)/(〃)=6,+—,〃eN*,則/(〃)的最小值為12;

%

④設(shè)q,」"一"+"",〃—*若數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)義的取值范圍為3.

其中所有正確的命題的序號(hào)為.

【答案】②④

【詳解】

山｛《,｝為等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和S“=2"i—m=2-2”—加，則w=2,故①不正確；

由5“=2的一2,可得見(jiàn)=2",則a=〃，若柩“4對(duì)〃wN*恒成立，

〃一4

即f-2"＞〃-4=，＞----對(duì)〃eN*恒成立，

2"

人rz、〃一4...、n-3H-4-n+5

令/(〃)=亍，則n/(〃+1)-/(〃)=廣一亍=^^

當(dāng)1<〃<4時(shí)，，/(?+1)>/(?)；

當(dāng)〃=5時(shí)，/(5)=/(6),

當(dāng)6時(shí)，/(?+1)</(?),則/⑺皿廣/⑸二/⑹二',

則，>二-,故②正確；

32

j、36

由/(〃)=4+一,〃eN"，

a?

36

令r=2"，則r=f+—

t

當(dāng)f=4,”=2時(shí)，y=13,

當(dāng)，=8,〃=3時(shí)y=12.5

則/(%1,=/(3)=12.5,故③不正確；

c〃h〃，+由｛c.｝單調(diào)遞增，

2",n>4

A32<34-

—<一\If’,3),故④正確.

則〈22nL15，則--；

Z>---14

依>。4〔4

故答案為：②④

7.(2021?浙江高三二模)已知tan<2,^>=1,存在實(shí)數(shù)相>〃>0,使-〃B),則2的取值范圍

為_(kāi)__________.

【答案】[4,+8)

【詳解】

——3——-r4

*/tan<6Z,/?>=—,<?,/?>e[0,TT],cos<a,b>-—.

4

—?—?\—?2—?—?—?2

又一癡)J_(a—詢，則(a-法)?(a-nb\=a-(m+n)a?b+mnb=0.

則有“-(m+n)|cz|1^1+mn|z?|=0,

又卜4—g(m+〃)|^|W+mnWN[2>/mn-g(m+n)]雨,

當(dāng)且僅當(dāng)同=，嬴小甘，等號(hào)成立.

__2

則有y/mn--(m+ri)<0,

兩邊同除以〃得，^-|A-|<o,

解得舍）,或膽22.（由心〃>0,得”>1）

\n2Vnn

m、彳

?,—之4.

n

故答案為：［4,+8）.

8.（2021?上海高三二模）如圖，已知A3是邊長(zhǎng)為1的正六邊形的一條邊，點(diǎn)P在正六邊形內(nèi)（含邊界），則Q.麗

的取值范圍是.

【答案】一：,3

_4_

【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)。,

由已知得：OA=O3=g,則而=所+礪，PB^PO+OB^PO-OA^

■■■■*2*2*2I

:.APBP=PAPB=PO-OA=PO——.

4

以。為圓心，OT（T為邊AB的對(duì)邊NM的中點(diǎn)）為半徑作圓，

由正六邊形的性質(zhì)可知，該圓與邊相切于點(diǎn)T,且產(chǎn)點(diǎn)為M或N點(diǎn)時(shí).，PO最大,

此時(shí)OT=2xlxsin60=6.

2

OPmaK=OM=yjOT-+TM=

當(dāng)P與。重合時(shí)，00=0最小；

.-.--<Pd2--<3,即而.而的取值范圍為一!,3

44L4

故答案為：一"->3.

_4_

9.(2021?天津南開(kāi)中學(xué)高一期中)在△ABC中，角A,5,C的對(duì)邊分別為4,4c,已知〃=6，角3為銳角，向

量〃7=(2sinB,-6)與〃=(cos28,cosB)共線，siM+sinC=2V6sinAsinC，則AASC的周長(zhǎng)為

【答案】V6+V3

【詳解】

因?yàn)閙=(2sinB,-G)與〃=(cos2B,cosB)共線，

所以2sinBcos5=一岔cos26>即sin2B=-V3cos2B-

所以tan2B=-^，

因?yàn)?e(°，耳］，

所以2Be(O,;r),

則28=也，

3

71

解得8二二，

因?yàn)閆?=>/3，

2R=b=6

由正弦定理得「sin3一百一，

T

又因?yàn)閟inA+sinC=2j^sinAsinC，

由正弦定理得+=,即a+c=Jdac，

2R2R2R2R

由余弦定理得〃=a2+，-2accosB，

即一4=3,即(a+蛾-3ac=3,

所以"(a+c)2-3(a+c)-3#=0,

解得Q+C=V6,

=>/64-^3,

所以三角形的周長(zhǎng)為C△^/LcDC

故答案為：V6+V3

10.（2021?安徽高三二模（理））已知AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P為平面A8C內(nèi)一點(diǎn)，則

（麗-福）?（而+的最小值是

【答案】-6.

【詳解】

以BC為中點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

則A（0,26）,8（-2,0）,C（2,0）,

設(shè)P（x,y）,則PA=卜x,2百一y）,

方=（一2—x,—y）,PC=（2-x,-y）,

所以（麗-麗卜（而+定）=中?（而+定）

=-x.（-2x）+^G-y）（-2y）=2一+卜一6）-3,

=2x2-46y+2y2,

=2/+卜-6）-3,

當(dāng)X=0,y=后時(shí)，（方一通）?（而+卮）取得最小值-6.

故答案為：-6.

H.（2021?江西高三三模（文））已知圓（7：》2+（卜_1）2=/與'=$皿》有唯一的公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

r,2sin2a-4cosa的法4

a,則----------------的值為?

a

【答案】-4

【詳解】

圓C：/+（y_=,與y=sinx有唯一的公共點(diǎn)，則它們有公共點(diǎn)處的切線相同.

TT

以ICM心是C(O,1),因此兩曲線公共點(diǎn)在第?象限，I!0<<7<-.

2

對(duì)〉=$小工，求導(dǎo)得y'=cosa,即4=cosa,

切線方程為y-sina=cosa(x-a),即xcosa-y+sina-acosa=0,

|-l+sina-acosa|

它又是圓的切線，所以J——i=——L=r,

vcos2a+1

又(a,sina)在圓上，所以，JT+sina-,cosa)二/+.m.―1)2,

1+cos-a

化簡(jiǎn)得a=cosa(l-sina),

■…2sin2a-4cosa_4sin<7cosa-4cosa4cosa(sina-l)

所以----------------=-4.

aaa

故答案為：-4.

12.（2021?河南安陽(yáng)市?高三一模（理））已知△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若acosC+csinA=0,

則tanA+tanB的取值范圍為.

【答案】［272-2,1）

【詳解】

因?yàn)閍cosC+csinA=0,由正弦定理可得sinAcosC+sinCsinA=0,

又sinA。0，

可得cosC+sinC=0,可得tanC=-l,

37r

因?yàn)??！辏ǎǎ?兀），可得。=亍，

tanA+tanS

可得tanC=-tan(A+8)

1-tanAtanB

(71、1-tanA

可得tanA+tanB=1-tanA+tan8=1-tanAtanl彳-A=1-tanA-

1+tanA

<sin2Ai

21+———_1

1+tanAcos~Ajp

—sinf2A+7K1>|+-1,

1+tanA.sinA—sin2A+—cos2/4+—

1+--------22一2一242

cosA

.C兀]C4兀713兀、.CA兀1

因?yàn)锳E0,二，可得2A+;E,可得sin2A+—e

【4J444JI4J爭(zhēng)I

1

tanA+tanB=—j=-e[2V2-2,l)

可得V271

si,nC2AA+—+

VI4J2

故答案為：[272-2,1).

13.(2021?陜西西安市?西安中學(xué)高三其他模擬(理))將函數(shù)/(x)=sin2x+6cos2x+l的圖象向右平移已個(gè)

單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，設(shè)〃(％)=|g(x)|,下列結(jié)論正確的是.

①函數(shù)〃(X)值域?yàn)閇0,3]；

k冗兀

②函數(shù)〃(x)對(duì)稱軸為x=/-+z(左wZ)；

③函數(shù)/?(%)與y=；在[0,2句內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是10萬(wàn)；

3乃1\jT

④函數(shù)力⑺在—是增加的.

【答案】①②③

【詳解】

由〃x)=sin2x+百cos2x+l=2—sin2x4———cos2x+1

(2->

_(1._>/3C]F<

—2—sin2xH-----cos2x+1—2sin2xd—+1,

(22JI3)

/(x)的圖象向右平移已個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，

所以g(x)=2sin2X--^+―+I=2sin2x+1,

_I6J3一

當(dāng)XGR時(shí),sin2xe[-1,1],所以2sin2x+l且-1,3],

所以h(x)=(x)|=|2sin2x+1|e[0,3],故①正確;

g(x)的對(duì)稱軸為2x=+wZ)即為％=等+7(左eZ),

函數(shù)〃(x)對(duì)稱軸為》=耳+?僅eZ),故②正確；

令|2sin2x+l|=g(》€(wěn)[0,2乃])得為=普，*=詈,》=詈,*=答,

13JT7TT

如圖函數(shù)&(x)與y=5在[0,2句內(nèi)交點(diǎn)共有8個(gè)，前4個(gè)是關(guān)乎X=彳對(duì)稱的，后4個(gè)是關(guān)于X=7-對(duì)稱的，

37r17i

所以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是4*二+4、——=10萬(wàn)，所以③正確；

44

如圖由于》=今是〃(x)的一條對(duì)稱軸，所以〃(力在與，號(hào)是下降的，所以④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

14.(2021?江西九江市?高三三模(文))在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a",c,己知a+c=2人sin[C+看],

則8=.

【答案】!TT

3

【詳解】

[因?yàn)椤?c=2/?sin(C+?],所以由正弦定理得sinA+sinC=2sinBsin(C+§,

IT

即sin(B+C)+sinC=2sinBsin(CH——),

6

/a?

IW以sinBcosC+cos5sinC+sinC=2sinB(—sinC+—cosC)=>/3sinBsinC+sinBcosC，

所以cosBsinC+sinC=V3sinBsinC?

C是三角形內(nèi)角，所以sinCwO,所以cosB+l=6sin5，2sin(B-1)=l,

sin(3—5)=!，又Bw(0,TT),所以8—乙=工，即8=工.

62663

故答案為：￡71.

3

15.(2021?河南安陽(yáng)市?高三一模(文))已知函數(shù)/(%)=$由3乂。皿(3乂+。)+4(/>0,“€/?)的圖象的相鄰

兩對(duì)稱軸之間的距離為】，且/(X)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則。=___________.

2L66

【答案】—

【詳解】

由題意，函數(shù)/(無(wú))=$拘①叩$111(6?+()+0=$皿6?;,gsinox+^^costyx+a

1.2G.1-COS2coxy/s.c

=—sincox-\-----sin69xcosGx+Q=---------------1-----sin2a)x+a

2244

-1sin2(ox--\+-1+a,

2I64

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象的相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為可得T=|^=萬(wàn)，解得。=1,

1jr1

所以/(x)=—sin(2x--)+—+?,

要使/(x)在I萼

上恰有3個(gè)零點(diǎn),

OO

1JT

則g(x)=]Sin(2x-q)與y=-]—s恰有3個(gè)交點(diǎn),

乎七-7i17744~|］時(shí),?2＞薩冗71冗13萬(wàn)，此時(shí)g7乃

6664

則----ci——，即a=—

442

故答案為：一二

2

16.(2021?黑龍江齊齊哈爾市?高三二模(文))已知函數(shù)/(x)=sin(tyx+9"0<口<4,同

用=/(爸m則”加

【答案】sin(2x-/J.

【詳解】

7兀

解：因?yàn)榱?,

目五

7ity.,

------+0=《兀

所以《12(44eZ),

77169.,

12+0=&2兀

兩式作差得=(女2—匕)兀(K，%2eZ),

則0=2(左2_4)(匕,右GZ),

又由0<⑦<4,可得@=2,

(P=kn-3k6Z),

又由冏＜￡,可得夕=_?,

26

故〃x）=sin（2九-.

故答案為：sin（2x-J

A1

17.（2021?山西呂梁市?高三三模（理））已知銳角△ABC中，AB=6cosA,AC2AB-2,sin-=-,延

22

【答案】G

【詳解】

A1

sin—=—,A=60?AB=6cosA=3?AC=2AB—2=4?

22

△ABC中，由余弦定理可知BC2=AC2+AB2-2AC?AB?cosA=13，

BC=A,

cosNCBA=Ak+BC-AC：=叵,.ZCB￡)=180_ZCBA為鈍角,

2ABBC13

.?.288是銳角，；$苗/8。。=叵，；"05/8。0=^^

2626

叵，sin/CBD;迥,

cosZCBD=cos(兀_/CBA)=-cosZCBA=

1313

h

sinO=sin(NC3r>+N8C0)=^-，

BCDC

△BCD中,由正弦定理得..DC=4,

sinD-sinNCBD

=-xBCxDCxsinNBCD=L拒x4x^~=6

?q

…".BCD2226

故答案為：百

18.（2021?廣西來(lái)賓市?高三其他模擬（理））三棱錐。一ABC中，平面ABC,直線總與平面ABC所成

角的大小為30。，AB=2。ZACB=60°,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

【答案】20乃

【詳解】

如圖，設(shè)外接球的球心為。，設(shè)AABC的外接圓圓心為

PA

因?yàn)锽4_L平面ABC,所以NPB4為直線網(wǎng)與平面ABC所成角，即NP84=30°,所以tan/PBA=二位=上

AB3

又AB=26，所以24=2,所以。。=；幺=1,

設(shè)△ABC的外接圓半徑為七則由正弦定理可得2R=———=心叵_=4,解得R=2,

sinZACBsin60°

則在RfAOOiA中，Q4=A/12+22=75-則三棱錐P—ABC的外接球表面積為4乃x(石尸=20萬(wàn).

故答案為：20乃

19.(2021?內(nèi)蒙古赤峰市?高三二模(文))△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若

sin(2A+看)=；/+c=4,則“的最小值為_(kāi)_______.

【答案】2

【詳解】

77(7T137r1

解：因?yàn)锳G(0,〃)，所以2A+we二,丁，

o166)

因?yàn)閟in(2A+[]=[，所以2A+^=紅，解得A=工，

16J2663

由余弦定理得儂」+黑J；,則。"-心兒，

所以/=〃+C?-=S+C)2-3bc,

因?yàn)樨癱W（方+2=4,b+c=4,

一4

所以16—3機(jī)'24,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)，

所以/24,解得。22,當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=2時(shí)取等號(hào)，

所以”的最小值為2,

故答案為：2

20.（2021?天津市新華中學(xué)高三月考）已知lg（x+2y）=lg+lg（2y）,則町+：+2工的最小值為

【答案】273+2

【詳解】

12

因?yàn)?g（尤+2y）=lgx+lg2y,所以x>O,y>0,x+2y=2盯，則一+—=2,

yx

所以孫+J+2）'；J+2y+2=出（+直=亙+至+2226+2,

V>21yMy2yx

,3￡=2Z[=21

當(dāng)<27-T,即，/時(shí)取等號(hào)，

x+2y=2xyy=蟲(chóng)+1

所以更正22二的最小值為2出+2

y

故答案為：2j^+2.

21.（2021?浙江紹興市?高三二模）已知x>0,y>0,若/（y+l）=2,則x-1的最大值為

y

【答案】3-272

【詳解】

由條件可知y=2-1="'，則’=大匚

xxy2-x

1X-X2+X

：.X—=X--------=----------■.-x=-,x>0,y>0,

y2-x2-x>+1

.-.0<x<2,設(shè)2-尤=re（0,2）,

1-（2-t）2+（2-t）_-2+3t-2

..x——-------------------------t-----------

ytt

2廠

當(dāng)，=—,即r=血時(shí)，等號(hào)成立,

所以x-亍的最大值是3-2血.

故答案為：3-2夜

22.(2021?四川雅安市?高三三模(文))如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8C。-44GA中，點(diǎn)尸在線段A"上

運(yùn)動(dòng)，給出以下命題:

①異面直線CP與所成的角不為定值；

②平面\CP1平面DBC]；

③二面角P-B.c-D的大小為定值；

④三棱錐D-BP&的體積為定值

其中真命題的序號(hào)為.

【答案】②③④

【詳解】

對(duì)于①：因?yàn)樵诶忾L(zhǎng)為1的正方體ABCD—AgG。中，

點(diǎn)/'在線段A。上運(yùn)動(dòng)，由正方體的性質(zhì)可知：C.Z),1B.C,由正方形的性質(zhì)可知：BC}±B.C,而

RGnqB=G，RG，GBu平面ABGR,所以qCL平面A5G2,

而Cfu平面ABG。，所以4c_LC/,

故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值90°，所以①不正確；

對(duì)于②：由正方體的性質(zhì)可知：AA]±AC,由正方形的性質(zhì)可知：BDLAC，而MC\AC=A,所以￡)8_L

平面A4C，而4Cu平面AA.C,所以。6,A。，

同理CQ_LAC，而DBCBCI=B,DB,BC]U平面DBC1,所以4。_L平面,

而ACU平面ACP,所以有平面A,cp1平面DBC],故②正確;

對(duì)于③：因?yàn)槎娼荘-BG-。的大小，實(shí)質(zhì)為平面ABG。與平面BDG所成的二面角而這兩的平面為固定的

不變的平面所以?shī)A角也為定值，故③正確；

對(duì)于④：三棱錐。-BP3的體積還等于三棱錐的體積尸-DBG的體積，

而平面為固定平面且大小一定，又因?yàn)镻eA?,而A。"/平面BOQ,

所以點(diǎn)A到平面08G的距離即為點(diǎn)P到該平面的距離，

所以三棱錐的體積為定值，故④正確.

故答案為：②③④

23.（2021?四川宜賓市?高三二模（理））在三棱錐O-ABC中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形且平面ABC_L

平面若三棱錐D-A3C的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該球的表面積為20不，則三棱維O-ABC體積

的最大值為.

【答案】3名

【詳解】

取A8的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，設(shè)。'為AABC的中心，則。在直線CE上，

因?yàn)槠矫鍭BC_L平面平面A8CD平面A3￡>=AB，CEu平面ABC，所以CE_L平面,

設(shè)△A3。所在的截面圓的圓心為。1,

過(guò)0］作CE的平行線，過(guò)。'作0田的平行線，兩平行線交于點(diǎn)。，

則0為外接球的球心，連結(jié)0C.

設(shè)外接球的半徑為R,則有4乃川=20乃，故/?=逐，即0。=行

在等邊AABC中，CE=2百x曰=3,所以C0'=[cE=2,

在&ACO'O中，00'=yJC02-C0'2=^（V5）2-22=1-故。E=l,

在Rt\EOxB中，0出=y/EB?+EO；='（可+F=2，

所以△ABQ所在的截面圓的半徑為r=2.

故點(diǎn)D到直線AB距離的最大值為0田+r=1+2=3,

所以三棱維D-ABC體積的最大值為V=；?5小腿?3=k乎x（26『x3=.

故答案為：3g.

24.（2021?內(nèi)蒙古赤峰市?高三二模（文））如圖是一個(gè)由正方體截得八面體的平面展開(kāi)圖，它由六個(gè)等腰直角三

角形和兩個(gè)正三角形構(gòu)成，若正三角形的邊長(zhǎng)為則這個(gè)八面體中有下列結(jié)論：①平面A8C//平面4月G；

②多面體ABC-是三棱柱；③直線AB與直線A4所成的角為60。；④棱所在直線與平面ABC所成

【答案】①③

【詳解】

根據(jù)平面展開(kāi)圖結(jié)合正方體可得如圖所示的幾何體（如左圖所示）.

在正方體中，因?yàn)槎?四0平面ABC，BCu平面ABC,

故A瓦〃平面ABC,同理G§i〃平面ABC,而ABICBIG=B-

故平面ABC//平面AB|G,故①正確，

根據(jù)棱柱的定義可知，多面體ABC-4與G不是三棱柱，故②錯(cuò)誤，

因?yàn)锳4〃BC,且NCB4=60°，

故直線A3與直線4M所成的角為NCB4=6（）°，故③正確，

因?yàn)锽BJRC,故BBt與平面4BC所成的角為即為A.C與平面ABC所成的角，

因?yàn)殓?=45。且平面CAA與平面ABC不垂直，

故4。與平面ABC所成的角小于幺。4,故④錯(cuò)誤.

故答案為：①③

25.（2021?安徽宿州市?高三三模（理））在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉疆.已知

在鱉臊A—中，滿足43,平面8CQ,且3C=CD=4,當(dāng)該鱉腌的內(nèi)切球的半徑為2（、萬(wàn)-1）時(shí)，則此時(shí)

它外接球的體積為.

【答案】32目兆

【詳解】由題意可知：鱉襦如圖：設(shè)48=〃，利用等體積轉(zhuǎn)換：

V=-x—x4x4x/z=-x|—x4x4+—x4x/i+—x4\/2x/i+—x4xJ16+/??]x2（0-1）

323（2222）v>

解得：/i=4或/?=0（舍去）

故外接球的半徑為：R=-V/Z2+32=2G.

2

故V=g萬(wàn)（2&『=32岳

故答案為：32岳.

26.（2021?全國(guó)高三其他模擬（理））在三棱錐中，AB=26,BC=AC=2'且尸點(diǎn)在底面ABC內(nèi)

的射影恰好為AABC的重心O,尸0=4,將"BP繞著AB旋轉(zhuǎn)，使尸點(diǎn)落在平面ABC上的點(diǎn)尸'處（如圖所示），

則直線CP與直線AP’所成的角的余弦值為.

【答案】叵

10

【詳解】

如圖，設(shè)。為A8的中點(diǎn)，連接CO,OA,。及因?yàn)?。為AABC1的重心，力為48的中點(diǎn)，所以易知C,O,D三

點(diǎn)共線，又因?yàn)锳8=20,BC=AC=2石，即人46c為等腰三角形，所以所以

O￡>=gcD=gjAC2-A￡>、=920-2=夜.因?yàn)椤?=4,即點(diǎn)尸到平面ABC的距離等于4,AO=>]AD2+OD2=2^

所以PA=PB=\l*=2后，PC=J/3。？+OC?=2而，從而可知/<4=。3=26，所以四邊形CA/^B為菱形,

所以8C〃AP,所以N8CP或其補(bǔ)角即為直線CP與直線AP'所成的角，在ABCP中，由余弦定理得

八…BC-+PC2-PB2（2石尸+（2#尸一（2后廣

cosZ.BCP=---------------=----------7=----7=-----

2BCPC2x275x276

_>/30

~~W

故答案為：眄.

10

27.（2021?山東高三其他模擬）如圖所示的由4個(gè)直角三角形組成的各邊長(zhǎng)均為1的六邊形是某棱錐的側(cè)面展開(kāi)

圖，則該棱錐的內(nèi)切球半徑為.

【答案】1—也

2

【詳解】

將圖形還原得四棱錐尸-A3CD，如圖，設(shè)內(nèi)切球的球心為0,半徑為廣,

則\J^p-ABCD~^O-ABCD+^O-PAB+^O-PBC+^O-PAD+^O-PDC，

r

即gX1XS四邊形.a）=（際邊形A8CD+S4PAB+§△尸5c+§△尸AO+*^APDC）,，

解得r=1一立.

2

故答案為：1-也

2

28.（2021?貴州畢節(jié)市?高三三模（文））如圖，在三棱錐O-ABC中，三條棱。4,。8,。。兩兩垂直,

OA=4,OB=3,OC=2.分別經(jīng)過(guò)三條棱0408,0C作截面平分三棱錐的體積，則這三個(gè)截面的面積的最大值

【答案】V13

【詳解】

如圖，將三棱錐放在長(zhǎng)方體中,

經(jīng)過(guò)0A的截面交BC于K,則K定為中點(diǎn)，因?yàn)榇藭r(shí)K到平面AOB的距離是C到平面AOB的距離的一半,

VK.AOB=^VC-AOB，符合題意?截面AOK的面積為：

222222

S,=SAnK=~OAOK^-OA-y]OB+OC=-OA\/OB+0C=-x4x^3+2=713；

I“OK22244

222

同理可得，經(jīng)過(guò)OB的截面面積為S2=^OB-y/o^+OC=；x3xV4+2=當(dāng)；

經(jīng)過(guò)OC的截面面積為5=；OC?yJo^+OB2=；x2xJ42+32=I.

所以耳>S2>S3,三個(gè)截面的面積的最大值為耳=舊

故答案為：V13.

29.(2021?貴州畢節(jié)市?高三三模(理))C：o-小+G；-品+…+/一。：：=(用數(shù)字作答).

【答案】1

【詳解】

C-C2C3-C4o_.o_lO!_JO!_10!__10￡@

%4+%10++CKlCl°=1!9!2!8!3!7!4!6!9!1!

=10-45+120-210+252-210+12—45+10-1-1

30.(2021?安徽蚌埠市?高三其他模擬(理))(x-2y+3z)s的展開(kāi)式中孫3z的系數(shù)為

【答案】-480

【詳解】

(x—2y+3z)5的展開(kāi)式通項(xiàng)為A,5=C05-r(_2y+3z)',

(―2y+3z)’的展開(kāi)式通項(xiàng)為紇+1=C>(—2y)T(3z)*=C；?(—2)13及廣"，其中k、reN,

所以，(x—2y+3zf的展開(kāi)式通項(xiàng)為刀,拓+1C?(-2)^3kx5-ry'-kzk,

5-r=l

r=4

由題意可得〈r-k=3,解得，

k=l

k=l

因此，(x—2y+3z)s的展開(kāi)式中xy3z的系數(shù)為C；C；(―x3=-480.

故答案為：-480.

31.（2021?全國(guó)高三二模（文））在區(qū)間［-8,4］上任取一個(gè)數(shù)X,則事件“sin子W當(dāng)“發(fā)生的概率為.

【答案】:2

3

【詳解】

由sin生,，立，得一旦+2總啜。x-+2k7r,keZ,

42444

即一5+8磷l+8k（keZ）,

結(jié)合x(chóng)e-8,4],得xe[—8,-7]|J[-5T1]|J[3,4],

又在區(qū)間［-8,4］上任意取一個(gè)數(shù)X,

故事件』二,,變”發(fā)生的概率為尸="—二分鏟+4-3=：

424一（-8）3

2

故答案為：一

3

32.（2021?浙江嘉興市?高三二模）為滿足北京環(huán)球度假區(qū)游客綠色出行需求，國(guó)網(wǎng)北京電力在該度假區(qū)停車樓建

成了目前國(guó)內(nèi)規(guī)模最大的集中式智慧有序充電站，充電站共建設(shè)901個(gè)充電樁，其中包括861個(gè)新型交流有序充電

樁、37個(gè)直流充電樁以及3個(gè)專門(mén)滿足新能源大巴快速補(bǔ)電需求的大功率直流充電樁.現(xiàn)有A、B、C、D、E、

產(chǎn)六輛新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3個(gè)新能源大巴大功率直流充電樁充電，每個(gè)

充電樁在上午和下午均只安排一輛大巴充電，若要求A、3兩車不能同時(shí)在上午充電，而C車只能在下午充電，

且戶車不能在甲充電樁充電，則不同的充電方案一共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】168

【詳解】

先排F車,

第一種方案，尸車在上午充電，有C；種可能,

此時(shí)再排c,c車在下午充電，有C種可能，

再排A、3,乂分A、5同在下午和一個(gè)匕午一個(gè)下午兩種情況,

有用可能，

第二種方案，尸車在下午充電，有C；種可能，

此時(shí)再排C，。車在下午充電，有C；種可能，

再排A、B,只能一個(gè)上午一個(gè)下午，

有C；C；可能，

最后再排剩下的兩輛車，有A；種可能,

最后共有(否+C\C\C'2)+段=[(2x3xl0)+24]x2=84x2=168.

故答案為：168.

33.(2021?江蘇南通市?高三月考)某公司根據(jù)上年度業(yè)績(jī)篩選出業(yè)績(jī)出色的A,B,C,。四人，欲從此4人中

選擇1人晉升該公司某部門(mén)經(jīng)理一職，現(xiàn)進(jìn)入最后一個(gè)環(huán)節(jié)：A,B,C,。四人每人有1票，必須投給除自己

以外的一個(gè)人，并且每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅A一人獲得最高得票的概率為.

【答案】三

27

【詳解】

隨機(jī)事件的概率計(jì)算

由題意可知，每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅A?人獲得最高得票有如下兩種情況：①若A得3

票，其概率為②若A得2票，其概率為所以最終

145

僅A一人獲得最高得票的概率為+—+—=—

故答案為：—.

27

34.(2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))A,B,C,D,E,尸六名同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，決出第一到第六的名次.A,B,C

三人去詢問(wèn)比賽結(jié)果，裁判對(duì)A說(shuō)：“你和5都不是第一名”；對(duì)5說(shuō)：“你不是最差的”；對(duì)C說(shuō)：“你比A,5的

成績(jī)都好”，據(jù)此回答分析：六人的名次有一種不同情況.

【答案】180

【詳解】

根據(jù)題意，B不是第一名，也不是最后一名，則B可以為第二、三、四、五名，據(jù)此分4種情況討論：

①3為第二名，。必須為第一名，剩下4人，安排在第三、四、五、六名，有A：=24種情況,

②5為第三名，若C為第一名，A有4種情況，剩下3人有禺=6種情況，止匕時(shí)有4x6=24種情況,

若。為第二名，A有3種情況，剩下3人有用=6種情況，此時(shí)有3x6=18種情況，此時(shí)有24+18=42種情況,

③3為第四名，若C為第一名，A有4種情況，剩下3人有&=6種情況，此時(shí)有4x6=24種情況,

若C為第二名,A有3種情況，剩下3人有段=6種情況，此時(shí)有3x6=18種情況,

若C為第三名，A有2種情況，剩卜3人有用=6種情況，此時(shí)有2x6=12種情況，此時(shí)有24+18+12=54種情

況，

④5為第五名，若。為第一名，A有4種情況，剩下3人有用=6種情況，此時(shí)有4x6=24種情況，

若C為第二名，A有3種情況，剩下3人有國(guó)=6種情況，此時(shí)有3x6=18種情況，

若C為第三名，A有2種情況，剩卜3人有A；=6種情況，此時(shí)有2x6=12種情況,

若C為第四名，A有1種情況，剩下3人有羯=6種情況，此時(shí)有1x6=6種情況，此時(shí)有24+18+12+6=60種

情