高數(shù)曲線凹凸與圖形

高數(shù)曲線凹凸與圖形定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱為I上的上凹函數(shù);(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上內(nèi)點(diǎn)的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.一、函數(shù)的凹凸與拐點(diǎn)為I上的上凸函數(shù);自學(xué)定義，定理1、2.

第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天定理1*.(凹凸判定法)(1)在

I上則為I

上的上凹函數(shù);(2)在

I上則為

I

上的上凸函數(shù).證:利用一階泰勒公式可得兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在是上凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例2.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天無漸近線.點(diǎn)M

與某一直線L的距離趨于0,二、曲線的漸近線定義.

若曲線

C上的點(diǎn)M

沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),則稱直線L為曲線C

的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線或?yàn)椤翱v坐標(biāo)差”第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例4.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天2.斜漸近線斜漸近線若第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例5.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線.第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天三、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);4.求漸近線;5.確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn);并考察其對(duì)稱性及周第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例6.

描繪的圖形.解:1)定義域?yàn)闊o對(duì)稱性及周期性.2)3)(極大)(拐點(diǎn)）(極小)4)第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例7.描繪方程的圖形.解:1)定義域?yàn)?)求關(guān)鍵點(diǎn)第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為鉛直漸近線無定義第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天又因即5)求特殊點(diǎn)為斜漸近線第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點(diǎn)無定義第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例8.描繪函數(shù)的圖形.解:1)定義域?yàn)閳D形對(duì)稱于

y

軸.2)求關(guān)鍵點(diǎn)3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(極大)(拐點(diǎn))為水平漸近線5)作圖4)求漸近線第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減1.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn)2.曲線漸近線的求法水平漸近線;垂直漸近線;

斜漸近線3.函數(shù)圖形的描繪---按作圖步驟進(jìn)行第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天思考與練習(xí)

1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:作業(yè)P130

1(6);2(2);3;

5;7(3),(5)第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天證明:當(dāng)時(shí)，有證明:令,則是凸函數(shù)即

2.(自證)第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天拐點(diǎn)為

,凸區(qū)間是

,3.

曲線的凹區(qū)間是

,提