高一上學(xué)期中復(fù)習(xí)講義01集合

期中復(fù)習(xí)專題01：集合及其集合運算解析版考點一：集合的概念【知識點梳理】元素三個特性：互異性、確定性、無序性.元素與集合的關(guān)系：屬于（∈），不屬于（?）.常見數(shù)集及其符號表示名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法或集合重要兩種表示方法列舉法描述法【典例例題】例1.（2022·新疆喀什市地區(qū)高中聯(lián)考）已知集合，若，則__________.【答案】1或2；【解析】【分析】由，可得或，注意要滿足集合元素互異性，即可得解.【詳解】由，，若，，，此時，符合題意；若，則，，當(dāng)時，，不符題意，當(dāng)時，，符合題意，綜上可得：或.故答案為：1或2.【變式訓(xùn)練】1.（2022·海南農(nóng)墾實驗中學(xué)期中）（多選）設(shè)，，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系判斷即可得解.【詳解】因為，所以，所以，.故選：BC.2.（2023春·河北保定·高三?？计谥校┮阎现杏星覂H有一個元素，那么的可能取值為（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】對進行分類討論，結(jié)合判別式求得正確答案.【詳解】或，當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)時，，不符合題意.當(dāng)時，要使集合有且僅有一個元素，則需，解得或（舍去）綜上所述，的可能取值為或，C選項符合.故選：C3．（2022春·廣東深圳·高二?？计谥校┒x集合運算:.設(shè),,則集合的所有元素之和為（）A．0 B．2 C．3 D．6【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進而可得答案解：根據(jù)題意，設(shè)A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又由集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．考點：元素的互異點評：解題時，注意結(jié)合集合元素的互異性，對所得集合的元素的分析，對其進行取舍4．（2022秋·江蘇南通·高一校考期中）已知集合，，若，則a等于（

）A．－1或3 B．0或1C．3 D．－1【答案】C【分析】根據(jù)集合相等即元素相同解出a，再根據(jù)集合元素互異性求出a值.【詳解】由有，解得，.當(dāng)時，與集合元素的互異性矛盾，舍去.當(dāng)時，，滿足題意.故選：C.考點二：集合間的關(guān)系【知識點梳理】1、子集：集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：集合A是集合B的真子集，記作AB或(BA).3、集合相等：集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么集合A=B.4、空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記為，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．5、子集的性質(zhì)：（1）規(guī)定：空集是任意一個集合的子集．也就是說，對任意集合A，都有??A.（2）任何一個集合A都是它本身的子集，即A?A.（3）如果A?B，B?C，則A?C.（4）如果AB，BC，則AC.6、子集的個數(shù)：集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數(shù)有個．（2）A的非空子集的個數(shù)有1個．（3）A的真子集的個數(shù)有1個．（4）A的非空真子集的個數(shù)有2個．【典例例題】例1.（2022·黑龍江佳木斯第八中學(xué)期中）集合的真子集的個數(shù)是（）A.16 B.8 C.7 D.4【答案】C【解析】【分析】先用列舉法寫出集合，再寫出其真子集即可.【詳解】解：∵，的真子集為：共7個．故選：C．例2.（2022·湖北黃岡市博雅中學(xué)期中）設(shè)集合或，，．（1）求和；（2）若，求；（3）若，求實數(shù)的取值范圍．解析：（1）或，，；；（2）若，則，，所以；（3），，或，即或，實數(shù)的取值范圍是：或；【變式訓(xùn)練】1.（2022·海南農(nóng)墾實驗中學(xué)期中）集合的子集個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，利用集合子集個數(shù)公式可得結(jié)果.【詳解】因為，因此，集合的子集個數(shù)為.故選：B.2.（2022·新疆喀什市地區(qū)高中聯(lián)考）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)子集的定義求解．【詳解】因為，，，所以．故答案為：．3．（2023春·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期中）已知集合，，則滿足的集合的個數(shù)為（

）A．4 B．8 C．7 D．16【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)列舉法表示出集合，再由集合的包含關(guān)系，判斷元素與集合的關(guān)系得只需討論元素是否為集合的元素研究集合即可.【詳解】由題設(shè)，，又，所以，只需討論元素是否為集合的元素研究集合的個數(shù)，即可得結(jié)果，所以集合的個數(shù)為.故選：B4．（2020秋·湖南張家界·高一統(tǒng)考期中）已知集合，則的非空真子集的個數(shù)（

）A．5 B．30 C．31 D．32【答案】B【分析】用列舉法表示集合，即可得到集合的元素個數(shù)，再根據(jù)含有個元素的集合，其非空真子集有個計算可得；【詳解】解：因為，所以集合含有個元素，所以集合的非空真子集有個；故選：B5．（2022春·江西吉安·高二校聯(lián)考期中）已知全集，集合，，則使成立的實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】分類討論或兩種情況，求出，再根據(jù)子集的定義分析求解即可.【詳解】當(dāng)時，即，解得：，此時，所以當(dāng)時，，當(dāng)，即，解得：，此時或，因為，所以或，解得：或，又，所以，綜上，使成立的實數(shù)m的取值范圍是或，故選：D.6.（2022秋·廣東東莞·高一東莞實驗中學(xué)?？计谥校┰O(shè)集合.(1)當(dāng)時，求的非空真子集的個數(shù)；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)254(2)【分析】（1）由題得即可解決.（2）根據(jù)得，即可解決.【詳解】（1）由題知，，當(dāng)時，共8個元素，的非空真子集的個數(shù)為個；（2）由題知，顯然，因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.考點三：集合的基本運算【知識點梳理】1、并集概念：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”2、并集的符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、并集的圖形語言：陰影部分為A∪B4、并集的運算性質(zhì)：，,，5、交集概念：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”.6、交集符號語言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}7、交集圖形語言：陰影部分為A∩B8、交集的運算性質(zhì)：，若，則，.9、補集（1）文字語言：若集合A是全集U的一個子集，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作.（2）符號語言：（3）符號語言：【典例例題】例1.（2022·東莞市萬江中學(xué)期中）已知全集，集合，集合.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）先求得，再求得.【小問1詳解】由可得：，所以不等式的解集為，又由可得：，所以不等式的解集為.所以.【小問2詳解】因為或，所以或.【變式訓(xùn)練】1.（2022·東莞市萬江中學(xué)期中）已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集子集的概念即可得到答案【詳解】∵集合，，∴．故選:A．2.（2022·東莞市七校聯(lián)考）已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合交集的概念運算即可.【詳解】因為，所以.故選：C.3.（2022·廣東省揭陽市第一中學(xué)期中）已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的交運算即可求解.【詳解】由得，所以，故選：D4.（2022·廣東省揭陽市第一中學(xué)期中）設(shè)集合，，若，則實數(shù)t的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】由可知，討論與，即可求出答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)時：，滿足題意；當(dāng)時：，無解；所以實數(shù)t的取值范圍為.故答案為：5.（2022·廣東省揭陽市第一中學(xué)期中）設(shè)集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求解集合，當(dāng)時，得集合，直接求解交集即可；（2）利用集合之間的關(guān)系確定，分類討論當(dāng)時，當(dāng)時，分別滿足，得的取值范圍.【小問1詳解】解：由題意得.當(dāng)時，集合，則.【小問2詳解】解：因為，所以.①當(dāng)時，則，解得；②當(dāng)時，則，解得.綜上，取值范圍為.6．（2022秋·北京·高一?？计谥校┮阎希?，全集.(1)求；(2)求；(3)如果，且，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)或；(3).【詳解】（1）集合，，所以.（2）集合，，則，而全集，所以或}.（3）由，，得，所以a的取值范圍是.一、單項選擇題（10道）1.（2022·吉林省外國語學(xué)校期中）已知集合，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合P，Q，再由并集定義即可求出.【詳解】，.故選：A.2.（2022秋·江蘇常州·高一常州市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“※”如下：當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時，；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，，則在此定義下，集合中的元素個數(shù)是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】根據(jù)定義結(jié)合已知條件，對分都是正偶數(shù)，都是正奇數(shù)，一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)三種情況討論即可求解【詳解】（1）m，n都是正偶數(shù)時：m從2，4，6任取一個有3種取法，而對應(yīng)的n有一種取法；∴有3種取法，即這種情況下集合M有3個元素；（2）m，n都為正奇數(shù)時：m從1，3，5，7任取一個有4種取法，而對應(yīng)的n有一種取法；∴有4種取法，即這種情況下集合M有4個元素；（3）當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時：當(dāng)m=8，n=1，和m=1，n=8，即這種情況下集合M有兩個元素；∴集合M的元素個數(shù)是3+4+2=9．故選：B．3．（2022秋·湖南邵陽·高一?？计谥校┫铝嘘P(guān)系中正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系分析判斷.【詳解】對①：為有理數(shù)，則成立，①正確；對②：為實數(shù)，則不成立，②錯誤；對③：為自然數(shù)，成立，③正確；對④：是無理數(shù)，不是整數(shù)，則不成立，④錯誤；故正確的有2個.故選：B.4.（2022·江西南昌市第一中學(xué)期中）已知集合，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)補集和交集的運算直接求解即可.【詳解】因為集合，所以，又，所以.故選：A5.（2022·海南農(nóng)墾實驗中學(xué)期中）已知集合，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求，再求．【詳解】由已知得，所以，故選C．6.（2022·黑龍江佳木斯第八中學(xué)期中）設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得A，結(jié)合交集的概念計算即可.【詳解】由題意可得，即，所以.故選：B7.（2022秋·河北石家莊·高一?？计谥校┰O(shè)，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，列不等式組求解即可.【詳解】因為，所以，此不等式組無解.故選：D.8.（2022·湖北黃岡市博雅中學(xué)期中）已知集合，集合，則A∩B是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】因為集合，集合，則A∩B.故選：B9.（2022·新疆喀什市地區(qū)部分高中聯(lián)考）設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故選：B.10.（2022·新疆喀什市地區(qū)部分高中聯(lián)考）已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式后由交集的概念求解【詳解】由題意得，，則，故選：A二、多項選擇題（5道）11．（2022秋·廣東東莞·高一東莞高級中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則（）A．0不可能屬于B B．集合可能是C．集合不可能是 D．集合【答案】BCD【分析】由題可得，然后根據(jù)集合的關(guān)系及集合元素的特點進行逐一判斷即可．【詳解】∵，∴，故D正確．∵集合，∵，∴集合可能是，故B正確；∵，∴集合不可能是，故C正確；∵，∴0可能屬于集合，故A錯誤.故選：BCD.12．（2022秋·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知集合，集合，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)一元二次不等式以及一元一次不等式的解法，求得集合的元素，結(jié)合集合交、并、補的運算，可得答案.【詳解】由，，解得，所以；由，解得，所以.對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，由選項C可知，，故D正確.故選：ACD.13．（2022秋·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）設(shè)全集U是實數(shù)集，則圖中陰影部分的集合表示正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由Venn圖結(jié)合集合的交集、并集、補集的運算，逐一判斷即可.【詳解】設(shè)圖中的封閉區(qū)域分別是，，，，如圖所示：全集由表示，集合由表示，集合由表示，圖中陰影部分由表示；對于A選項：由表示，集合由表示，所以表示圖中陰影部分，故A選項正確；對于B選項：由表示，集合由表示，所以表示圖中封閉區(qū)域，故B選項錯誤；對于C選項：由表示，集合由表示，所以表示圖中陰影部分，故C選項正確；對于D選項：由表示，集合由表示，所以表示圖中封閉區(qū)域，故D選項錯誤；故選：AC14.（2022秋·廣東江門·高一江門市第二中學(xué)?？计谥校┰O(shè)全集為，如圖所示的陰影部分用集合可表示為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)集合與運算，依次討論各選項即可得答案.【詳解】如圖，可以將圖中的位置分成四個區(qū)域，分別標(biāo)記為四個區(qū)域?qū)τ贏選項，顯然表示區(qū)域3，故不正確；對于B選項，表示區(qū)域1和4與4的公共部分，故滿足條件；對于C選項，表示區(qū)域1,2,4與區(qū)域4的公共部分，故滿足；對于D選項，表示區(qū)域1和4與區(qū)域4的并集，故不正確；故選：BC15.（2022秋·廣東廣州·高一華南師大附中校考期中）定義一個集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集，記為P（A），用n（A）表示有限集A的元素個數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．對于任意集合A，都有 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)P（A）的定義判斷ACD，結(jié)合n（A）的定義判斷B，由此可得正確選項.【詳解】對于任意集合A，都有，所以，A對，由已知可得，，又，所以，B對，∵，所以，所以，C錯誤，對于任意的，則，又，所以，所以，D對，故選：ABD.三、填空題（10道）16.（2022·黑龍江佳木斯第八中學(xué)期中）已知全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，則＝__________.【答案】｛2，8｝【解析】【分析】直接求出，進而求出A∩（）即可.【詳解】全集.因為B＝{1，3，5，7，9}，所以.而A＝{1，2，3，5，8}，所以A∩（）=｛2，8｝.故答案為：｛2，8｝.17.（2022·新疆喀什市地區(qū)部分高中聯(lián)考）已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，則=_________【解析】【分析】首先進行并集運算，然后計算補集即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：{?2，3}18.（2022·新疆喀什市地區(qū)部分高中聯(lián)考）設(shè)集合，，則=____【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合的運算法則計算．【詳解】因為，，所以.故選：．19.（2022·新疆喀什市地區(qū)部分高中聯(lián)考）若集合，則______【答案】【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：21.（2022·新疆喀什市地區(qū)部分高中聯(lián)考）已知全集，，，則=_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合的補集運算、交集運算求解即可.【詳解】，，，故選：22.（2022·黑龍齊齊哈爾市第一中學(xué)期中）已知集合，則M的真子集個數(shù)為_【答案】7【解析】【分析】化簡集合，根據(jù)真子集個數(shù)的計算公式求解.【詳解】因為，所以M的真子集個數(shù)為個，故選：C23.（2022·新疆喀什地區(qū)高中聯(lián)考）已知集合，，則（）【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合交集運算法則直接計算即可.【詳解】因為集合，，所以.故選：B24.（2022秋·四川阿壩·高一校考期中）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)題意，由可得，分類討論即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，即，解得，且滿足；當(dāng)時，，解得綜上可得的取值范圍為故答案為:25.（2022秋?江寧區(qū)期中）已知集合且，集合，4，5，6，，集合，4，6，，則A．，5， B．，6， C．， D．【答案】，5，【詳解】因為，，即，5，．故選：，5，．四、簡答題26.（2022·黑龍江佳木斯第八中學(xué)期中）已知集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】解：（1）當(dāng)時，或（2），，①當(dāng)時，，此時滿足；②當(dāng)時，要使成立，則需滿足，綜上，實數(shù)的取值范圍是27.（2022·黑龍齊齊哈爾市