1.4.1一元二次函數(shù)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

§4一元二次函數(shù)與一元二次不等式【素養(yǎng)目標】1．理解一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握圖象法解一元二次不等式．(直觀想象)3．會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．(數(shù)學(xué)抽象)4．會解可化為一元二次不等式(組)的簡單分式不等式．(數(shù)學(xué)運算)5．會用分類討論思想解含參數(shù)的一元二次不等式．(邏輯推理)6．會解一元二次不等式中的恒成立問題．(數(shù)學(xué)運算)【學(xué)法解讀】在從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式的學(xué)習(xí)中，可以先以討論具體的一元二次函數(shù)變化情況為情境，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，引出一元二次不等式的概念；然后進一步探索一般的一元二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系，歸納總結(jié)出用一元二次函數(shù)解一元二次不等式的程序．4.1一元二次函數(shù)一元二次函數(shù)1．定義：一般地，把形如_____________________________(a，b，c是常數(shù))的函數(shù)叫作一元二次函數(shù)，其中a，b，c分別稱為______________、一次項系數(shù)和__________．2．三種不同形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)．(3)交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

知識點1基礎(chǔ)知識二次項系數(shù)常數(shù)項

一元二次函數(shù)的性質(zhì)知識點2性質(zhì)拋物線開口向______，并向上無限延伸拋物線開口向______，并向下無限延伸對稱軸是x＝______；頂點坐標是____________在區(qū)間(－∞，h]上函數(shù)值y隨x的增大而減小，在區(qū)間_____________上函數(shù)值y隨x的增大而增大在區(qū)間(－∞，h]上函數(shù)值y隨x的增大而增大，在區(qū)間__________上函數(shù)值y隨x的增大而減小拋物線有最低點，當x＝h時，y有最小值，ymin＝______拋物線有最高點，當x＝h時，y有最大值，ymax＝______上下h

(h，k)

[h，＋∞)

[h，＋∞)

k

k

思考：由函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象經(jīng)過怎樣的變換就能得到函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象？提示：y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象可以看作由y＝ax2的圖象平移得到的，h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正右移，h負左移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”．基礎(chǔ)自測1．二次函數(shù)y＝4x2－mx＋5的圖象的對稱軸為直線x＝－2，則當x＝1時，y的值為 (

)A．－7 B．1C．17 D．25D

2．函數(shù)y＝－2(x＋1)2＋8的最值情況是 (

)A．最小值是8，無最大值 B．最大值是－2，無最小值C．最大值是8，無最小值 D．最小值是－2，無最大值3．函數(shù)y＝x2＋2x－2的圖象的頂點坐標是______________．4．把函數(shù)y＝x2－2x的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為__________________．C

(－1，－3)

y＝x2－6x＋5

題型探究題型一一元二次函數(shù)的圖象問題

(1)將拋物線y＝(x－1)2＋2先向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度得到的拋物線解析式是 (

)A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－3C．y＝(x＋2)2＋7 D．y＝(x＋2)2－3(2)已知一元二次函數(shù)y＝－x2－2x＋3．①求出此函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；②指出此函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；③根據(jù)①②畫出此函數(shù)圖象的草圖．例1A

[解析]

(1)y＝(x－1)2＋2，先向右平移3個單位長度得y＝(x－1－3)2＋2，即y＝(x－4)2＋2，再向上平移5個單位長度得y＝(x－4)2＋2＋5，即y＝(x－4)2＋7．(2)①由－x2－2x＋3＝0得－(x＋3)(x－1)＝0，解得x＝－3或x＝1，當x＝0時，y＝－02－2×0＋3＝3，所以此函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為(－3,0)，(1,0)，與y軸的交點坐標為(0,3)．②配方，得y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，頂點坐標為(－1,4)，對稱軸為直線x＝－1．③根據(jù)(1)(2)畫出此函數(shù)圖象的草圖如圖：[歸納提升]

1．利用關(guān)鍵點和對稱軸畫一元二次函數(shù)圖象(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與坐標軸的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A，B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關(guān)于對稱軸的對稱點D，將A，B，C，D及M這五個點按順序用平滑曲線連接起來．2．參數(shù)“a，h，k”對y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象的影響(1)a的符號和絕對值大小分別決定了二次函數(shù)圖象的開口方向和大?。?2)h決定了二次函數(shù)圖象的對稱軸的位置．(3)k決定了二次函數(shù)圖象的頂點的高度．16

題型二一元二次函數(shù)的函數(shù)值的變化趨勢(邏輯推理)

試述一元二次函數(shù)y＝3x2－6x－1函數(shù)值的變化趨勢．[分析]

配方化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，結(jié)合圖象敘述．[解析]

配方，得y＝3x2－6x－1＝3(x－1)2－4．該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝1，所以此函數(shù)在區(qū)間(－∞，1]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大則減小，在區(qū)間[1，＋∞)上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大．[注意]

書寫的規(guī)范性：①配方變形，以便得出函數(shù)圖象的對稱軸；②結(jié)合函數(shù)圖象敘述函數(shù)值的變化趨勢．例2【對點練習(xí)】?

(1)在區(qū)間(2，＋∞)上，函數(shù)y＝x2－mx＋5的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為 (

)A．[4，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，4] D．(－∞，2](2)一元二次函數(shù)y＝－x2＋(m－1)x＋m的圖象與y軸交于(0,7)點．①求出m的值和此函數(shù)圖象與x軸的交點坐標；②試述函數(shù)值的變化趨勢．C

(2)①因為y＝－x2＋(m－1)x＋m的圖象與y軸交于(0,7)點，得7＝－0＋(m－1)×0＋m，所以m＝7；則y＝－x2＋6x＋7，令－x2＋6x＋7＝0，(x－7)(x＋1)＝0，所以x－7＝0或x＋1＝0，所以x＝7或x＝－1，所以此函數(shù)的圖象與x軸的交點為(7,0)，(－1,0)．②因為y＝－x2＋6x＋7＝－(x－3)2＋16，所以對稱軸為直線x＝3，所以在區(qū)間(－∞，3]上，y隨x的增大而增大；在區(qū)間[3，＋∞)上，y隨x的增大而減小．題型三一元二次函數(shù)的最大值和最小值

例3[歸納提升]

求一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大(小)值的一般步驟(1)“化”：采用配方法，化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式．(2)“求”：當a＞0時，函數(shù)在x＝h處y有最小值，ymin＝k；當a＜0時函數(shù)在x＝h處y有最大值，ymax＝k．【對點練習(xí)】?

(1)一元二次函數(shù)y＝－x2＋6x－3的最大值是_____．(2)若一元二次函數(shù)y＝8x2－(m－1)x＋m－7的最小值為0，則m＝_________．6

9或25

1．函數(shù)y＝2x(3－x)的圖象可能是 (

)

[解析]

由2x(3－x)＝0得x＝0或x＝3，可知圖象與x軸的交點為(0,0)，(3,0)，排除A，C．又y＝2x(3－x)＝－2x2＋6x，所以圖象開口向下，故排除D．B

2．關(guān)于二次函數(shù)y＝2(x－3)2＋1的圖象，下列說法正確的是 (

)A．開口向上，頂點坐標為(3,1)B．開口向下，頂點坐標為(3,1)C．開口向上，頂點坐標為(－3,1)D．開口向下，頂點坐標為(－3,1)[解析]

因為y＝2(x－3)2＋1，其中a＝2＞0，所以拋物線的開口向上，頂點坐標為(3,1)．A

3．將函數(shù)y＝－3x2＋1的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度后可得下列哪個函數(shù)的圖象 (

)A．y＝－3(x＋1)2－1 B．y＝－3(x＋1)2＋3C．y＝－3(x－1)2＋1 D．y＝－3(x－1)2＋3[解析]

函數(shù)y＝－3x2＋1的圖象的頂點坐標為(0,1)，將拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，則平移后拋物線的頂點為(1,3)，則y＝－3(x－1)2＋3．D

4．若函數(shù)y＝x2－2ax在區(qū)間(－∞，5]上y隨x增大而減小，在[5，＋∞)上y隨x增大而增大，則實數(shù)a＝_____．[解析]

由題知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝5．所以a＝5．5

5．用配方法求出下列函數(shù)圖象的對稱軸及函數(shù)的最大值或最小值．(1)y＝2x2－4