專題15 離散型隨機(jī)變量及其分布（理科）-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國(guó)）（含解析）

專題15離散型隨機(jī)變量及其分布（理科）-2024高考數(shù)學(xué)母題題源解密（全國(guó)通用）（含解析）專題15離散型隨機(jī)變量及其分布（理科）考向一離散型隨機(jī)變量分布列與期望【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)甲卷（理科）【母題題文】甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【試題解析】【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．【小問(wèn)2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.【命題意圖】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的可能取值，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度不大，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：（1）離散型隨機(jī)變量分布列；（2）離散型隨機(jī)變量期望；（3）離散型隨機(jī)變量方差.【得分要點(diǎn)】正確寫出離散型隨機(jī)變量的所有取值；；（3）根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望.一、單選題1．（2022·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知隨機(jī)變量，若，則（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.822．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2012年國(guó)家開始實(shí)施法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量，若，則當(dāng)時(shí)下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·三模）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是0p1P則當(dāng)p在區(qū)間內(nèi)增大時(shí)，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小4．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.0235．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近似．假設(shè)每個(gè)大腸桿菌基因組含有10000個(gè)核苷酸對(duì)，采用紫外線照射大腸桿菌時(shí)，每個(gè)核苷酸對(duì)產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個(gè)嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．6．（2022·浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，記摸到白球的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）小明班的語(yǔ)文老師昨天報(bào)了一次聽寫，語(yǔ)文老師給了小明滿分分，但實(shí)際上小明有一處寫了個(gè)錯(cuò)別字，告訴了小王和小丁，錯(cuò)一處扣分，但小明自己不會(huì)給老師說(shuō)，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會(huì)告訴其他同學(xué)，老師知道后就會(huì)把分扣下來(lái)，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．8．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）冬奧會(huì)的兩個(gè)吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技特點(diǎn)．冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀(jì)念品商店買了6個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”，隨機(jī)選了3個(gè)寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5二、填空題9．（2022·江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）柯西分布(Cauchydistribution)是一個(gè)數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機(jī)變量服從柯西分布為，其中當(dāng)，時(shí)的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則________.10．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)對(duì)重力加速度做n次實(shí)驗(yàn)，若以每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值作為重力加速度的估值．已知估值的誤差，為使誤差在內(nèi)的概率不小于0.6827，至少要實(shí)驗(yàn)___________次．（參考數(shù)據(jù)：若，則）．三、解答題11．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））成都高中為了鍛煉高三年級(jí)同學(xué)的身體，同時(shí)也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來(lái)的緊張感，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)狀態(tài)，特組織學(xué)生進(jìn)行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結(jié)果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學(xué)投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨(dú)立.記該班同學(xué)次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.12．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進(jìn)老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場(chǎng)需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對(duì)5個(gè)樣品進(jìn)行性能測(cè)試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測(cè)試方案，每個(gè)樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測(cè)試，已知選擇甲方案測(cè)試合格的概率為，選擇乙方案測(cè)試合格的概率為，且每次測(cè)試的結(jié)果互不影響.(1)若3個(gè)樣品選擇甲方案，2個(gè)樣品選擇乙方案.（i）求5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率；（ii）求4個(gè)樣品測(cè)試合格的概率.13．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來(lái)，乒乓球運(yùn)動(dòng)已成為國(guó)內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一．今有甲、乙兩選手爭(zhēng)奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時(shí)比賽結(jié)束．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨(dú)立．(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；(2)比賽開始前，工作人員買來(lái)兩盒新球，分別為“裝有2個(gè)白球與1個(gè)黃球”的白盒與“裝有1個(gè)白球與2個(gè)黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過(guò)全國(guó)上下的共同努力，我國(guó)的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些國(guó)家的疫情并沒有得到有效控制，疫情防控形勢(shì)仍然比較嚴(yán)峻，為扎緊疫情防控的籬笆，提高疫情防控意識(shí)，某市宣傳部門開展了線上新冠肺炎世界防控現(xiàn)狀及防控知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從全市的參與者中隨機(jī)抽取了1000名幸運(yùn)者的成績(jī)進(jìn)行分析，他們的得分（滿分100分）情況如下表：得分頻數(shù)2515020025022510050(1)若此次知識(shí)競(jìng)賽得分X整體服從正態(tài)分布，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)，分別為抽取的1000名幸運(yùn)者得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值代替），求，的值；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)在（1）的條件下，為感謝市民的積極參與，對(duì)參與者制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超過(guò)79分的可獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分超過(guò)79分的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).假定每次抽獎(jiǎng)，抽到10元紅包的概率為，抽到20元紅包的概率為.已知胡老師是這次活動(dòng)中的參與者，估算胡老師在此次活動(dòng)中所獲得紅包的數(shù)學(xué)期望.（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：；；，.專題15離散型隨機(jī)變量及其分布（理科）考向一離散型隨機(jī)變量分布列與期望【母題來(lái)源】2022年高考全國(guó)甲卷（理科）【母題題文】甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【試題解析】【小問(wèn)1詳解】設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．【小問(wèn)2詳解】依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.【命題意圖】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的可能取值，再分別計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望.【命題方向】這類試題在考查題型上選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，題型多樣，思路靈活，試題難度不大，是歷年高考的熱點(diǎn)．常見的命題角度有：（1）離散型隨機(jī)變量分布列；（2）離散型隨機(jī)變量期望；（3）離散型隨機(jī)變量方差.【得分要點(diǎn)】正確寫出離散型隨機(jī)變量的所有取值；；（3）根據(jù)期望公式求出數(shù)學(xué)期望.一、單選題1．（2022·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知隨機(jī)變量，若，則（

）A．0.36 B．0.18 C．0.64 D．0.82【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選:C．2．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2012年國(guó)家開始實(shí)施法定節(jié)假日高速公路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2021年中秋節(jié)前后車輛通行數(shù)量，發(fā)現(xiàn)該站近幾天車輛通行數(shù)量，若，則當(dāng)時(shí)下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性列式，再結(jié)合不等式求解作答.【詳解】因，且，則有，即，不等式為：，則，，所以，，A，B，D均不正確，C正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及正態(tài)分布概率問(wèn)題，運(yùn)用正態(tài)密度函數(shù)曲線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.3．（2022·浙江·三模）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是0p1P則當(dāng)p在區(qū)間內(nèi)增大時(shí)，（

）A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】D【解析】【分析】先求出，令，求導(dǎo)確定單調(diào)性即可.【詳解】，，令，則，易得單調(diào)遞減，又，故存在，使得，則在單增，在單減，即先增大后減小.故選：D.4．（2022·黑龍江·雞西市第四中學(xué)三模（理））已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.977 B．0.954 C．0.5 D．0.023【答案】B【解析】【分析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，依據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)去求即可【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則依據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)有故選：B5．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國(guó)數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是Poisson分布的均值．當(dāng)二項(xiàng)分布的n很大而p很小時(shí)，Poisson分布可作為二項(xiàng)分布的近似．假設(shè)每個(gè)大腸桿菌基因組含有10000個(gè)核苷酸對(duì)，采用紫外線照射大腸桿菌時(shí)，每個(gè)核苷酸對(duì)產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0003，已知該菌株基因組有一個(gè)嘧啶二體就致死，則致死率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題意，，此時(shí)Poisson分布滿足二項(xiàng)分布的近似條件，再計(jì)算二項(xiàng)分布的均值為Poisson分布的均值，再代入公式先求不致死的概率，再用對(duì)立事件的概率和為1計(jì)算即可【詳解】由題，，，此時(shí)Poisson分布滿足二項(xiàng)分布的近似的條件，此時(shí)，故不致死的概率為，故致死的概率為故選：A6．（2022·浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)小球，記摸到白球的個(gè)數(shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列與數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：盒中有大小相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出3個(gè)球，記摸到白球的個(gè)數(shù)為，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為：0123．故選：B．7．（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）小明班的語(yǔ)文老師昨天報(bào)了一次聽寫，語(yǔ)文老師給了小明滿分分，但實(shí)際上小明有一處寫了個(gè)錯(cuò)別字，告訴了小王和小丁，錯(cuò)一處扣分，但小明自己不會(huì)給老師說(shuō)，小王有的可能告訴老師，小丁有的可能告訴老師，他們都不會(huì)告訴其他同學(xué)，老師知道后就會(huì)把分扣下來(lái)，則最后小明的聽寫本上的得分期望（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分析可知的可能取值為：、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由題意可知的可能取值為：、，則，，因此，.故選：D.8．（2022·遼寧·鞍山一中模擬預(yù)測(cè)）冬奧會(huì)的兩個(gè)吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冰雪運(yùn)動(dòng)和現(xiàn)代科技特點(diǎn)．冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進(jìn)行設(shè)計(jì)創(chuàng)作，頂部的如意造型象征吉祥幸福．小明在紀(jì)念品商店買了6個(gè)“冰墩墩”和3個(gè)“雪容融”，隨機(jī)選了3個(gè)寄給他的好朋友小華，則小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)的平均值為（

）A．1 B．2 C．3 D．1.5【答案】B【解析】【分析】設(shè)小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)為，則,求出對(duì)應(yīng)的概率即得解.【詳解】解：設(shè)小華收到的“冰墩墩”的個(gè)數(shù)為，則.則；；；.所以.故選：B二、填空題9．（2022·江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）柯西分布(Cauchydistribution)是一個(gè)數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機(jī)變量服從柯西分布為，其中當(dāng)，時(shí)的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則________.【答案】##0.25【解析】【分析】由概率密度函數(shù)得其關(guān)于對(duì)稱，由對(duì)稱性求得概率．【詳解】由已知，概率密度函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，，又，，，故答案為：．10．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)對(duì)重力加速度做n次實(shí)驗(yàn)，若以每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值作為重力加速度的估值．已知估值的誤差，為使誤差在內(nèi)的概率不小于0.6827，至少要實(shí)驗(yàn)___________次．（參考數(shù)據(jù)：若，則）．【答案】6【解析】【分析】直接由正態(tài)分布的對(duì)稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.【詳解】，∴，∴，至少要實(shí)驗(yàn)6次.故答案為：6.三、解答題11．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)（理））成都高中為了鍛煉高三年級(jí)同學(xué)的身體，同時(shí)也為了放松持續(xù)不斷的考試帶來(lái)的緊張感，調(diào)節(jié)學(xué)習(xí)狀態(tài)，特組織學(xué)生進(jìn)行投籃游戲.投籃只有“命中”和“不命中”兩種結(jié)果，“命中”加10分，“不命中”減10分.某班同學(xué)投籃“命中”的概率為，“不命中”的概率為，每次投籃命中與否相互獨(dú)立.記該班同學(xué)次投籃后的總得分為.(1)求且的概率；(2)記，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】【分析】（1），則投籃6次，4次命中，2次不命中，然后根據(jù)可知第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；或者第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.（2）根據(jù)隨機(jī)變量的取值以及對(duì)應(yīng)事件的概率，即可求解.(1)，即投籃6次，4次命中，2次不命中，若第1次和第2次命中，則其余4次可任意命中兩次；若第1次命中，第2次不命中，第3次命中，則其余3次可任意命中2次，故所求概率為.(2)的可能取值為，，，的分布列為X103050P故12．（2022·河南安陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進(jìn)老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場(chǎng)需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對(duì)5個(gè)樣品進(jìn)行性能測(cè)試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測(cè)試方案，每個(gè)樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測(cè)試，已知選擇甲方案測(cè)試合格的概率為，選擇乙方案測(cè)試合格的概率為，且每次測(cè)試的結(jié)果互不影響.(1)若3個(gè)樣品選擇甲方案，2個(gè)樣品選擇乙方案.（i）求5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率；（ii）求4個(gè)樣品測(cè)試合格的概率.(2)若測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的樣品個(gè)數(shù).【答案】(1)（i）（ii）(2)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為，或者【解析】【分析】（1）（i）利用乘法公式即可求解（ii）4個(gè)樣品測(cè)試合格分兩種情況,第一種情況,3個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和1個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格,第二種情況,2個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和2個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格,利用互斥的加法公式即可求解（2）設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,通過(guò)乙方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,則，分類討論即可求解(1)（i）因?yàn)?個(gè)樣品選擇甲方案,2個(gè)樣品選擇乙方案,所以5個(gè)樣品全部測(cè)試合格的概率為（ii）4個(gè)樣品測(cè)試合格分兩種情況,第一種情況,3個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和1個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格,此時(shí)概率為第二種情況,2個(gè)樣品甲方案測(cè)試合格和2個(gè)樣品乙方案測(cè)試合格,此時(shí)概率為所以4個(gè)樣品測(cè)試合格的概率為(2)設(shè)選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為,則選擇乙方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為,并設(shè)通過(guò)甲方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,通過(guò)乙方案測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)為,當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選擇方案乙測(cè)試,則,所以,不符合題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選擇方案甲測(cè)試,則所以,符合題意;當(dāng)時(shí),,所以若使,,則,由于,故時(shí)符合題意,綜上,選擇甲方案測(cè)試的樣品個(gè)數(shù)為3,4或者5時(shí),測(cè)試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3.13．（2022·湖北·黃岡中學(xué)三模）2022世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來(lái)，乒乓球運(yùn)動(dòng)已成為國(guó)內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一．今有甲、乙兩選手爭(zhēng)奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時(shí)比賽結(jié)束．根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為、，且每局比賽相互獨(dú)立．(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；(2)比賽開始前，工作人員買來(lái)兩盒新球，分別為“裝有2個(gè)白球與1個(gè)黃球”的白盒與“裝有1個(gè)白球與2個(gè)黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機(jī)取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規(guī)則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內(nèi)白球剩余的總數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【解析】【分析】（1）甲獲得乒兵球比賽冠軍這個(gè)事件為前兩局甲全獲勝，或前兩局中甲勝一局第三局甲勝，由獨(dú)立事件與互斥事件概率公式計(jì)算；（2）甲乙決出冠軍共進(jìn)行了局比賽，易知或，記表示第局從白盒中抽取的白色球，表示第局從黃盒中抽取的黃色球，的所有可能取值為，根據(jù)和分類討論確定事件，，的情形，求出概率得分