海南省三年2020-2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題

海南省三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編?03解答題

一.平方差公式（共1小題）

1.（2020?海南）計算:

（1）|-8|X2-1-VI6+（*1）2020

（2）（。+2）（。-2）-a（。+1）.

二.二次根式的混合運算（共1小題）

2.（2021?海南）（1）計算：23+|-3|4-3-V25X51；

'2x〉-6

（2）解不等式組（x-1/x+l并把它的解集在數(shù)軸（如圖）上表示出來?

-5-4-3-2-1012345

三.二元一次方程組的應(yīng)用（共3小題）

3.（2022?海南）我省某村委會根據(jù)“十四五”規(guī)劃的要求，打造鄉(xiāng)村品牌，推銷有機黑胡

椒和有機白胡椒.已知每千克有機黑胡椒比每千克有機白胡椒的售價便宜10元，購買2

千克有機黑胡椒和3千克有機白胡椒需付280元，求每千克有機黑胡椒和每千克有機白

胡椒的售價.

4.（2021?海南）為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織了黨史知識競賽，學(xué)校購買

了若干副乒乓球拍和羽毛球拍對表現(xiàn)優(yōu)異的班級進(jìn)行獎勵.若購買2副乒乓球拍和1副

羽毛球拍共需280元；若購買3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元.求1副乒乓球

拍和1副羽毛球拍各是多少元？

5.（2020?海南）某村經(jīng)濟(jì)合作社決定把22噸竹筍加工后再上市銷售，剛開始每天加工3

噸，后來在鄉(xiāng)村振興工作隊的指導(dǎo)下改進(jìn)加工方法，每天加工5噸，前后共用6天完成

全部加工任務(wù)，問該合作社改進(jìn)加工方法前后各用了多少天？

四.解一元一次不等式組（共1小題）

6.（2022?海南）（1）計算：V9X3-'+234-|-2|；

x+3>2①

（2）解不等式組12x-l

41②

五.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

7.（2022?海南）如圖1,拋物線y=o?+2x+c經(jīng)過點A（-1,0）、C（0,3）,并交x軸于

另一點3,點尸（x,y）在第一象限的拋物線上，AP交直線于點D

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)點尸的坐標(biāo)為(1,4)時，求四邊形BOCP的面積；

(3)點。在拋物線上，當(dāng)型的值最大且△AP。是直角三角形時，求點。的橫坐標(biāo)；

AD

(4)如圖2,作CG_LCP,CG交x軸于點G(〃，0),點//在射線CP上，且C/7=CG,

過GH的中點K作K/〃了軸，交拋物線于點/,連接/〃，以田為邊作出如圖所示正方形

HIMN,當(dāng)頂點M恰好落在y軸上時，請直接寫出點G的坐標(biāo).

圖1備用圖圖2

8.(2021?海南)已知拋物線y=“/+9x+c與x軸交于A、8兩點，與y軸交于C點，且點

4

A的坐標(biāo)為(-1,0)、點C的坐標(biāo)為(0,3).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)如圖1,若該拋物線的頂點為P,求△PBC的面積；

(3)如圖2,有兩動點。、E在ACOB的邊上運動，速度均為每秒1個單位長度，它們

分別從點C和點B同時出發(fā)，點D沿折線COB按C-O-B方向向終點B運動，點E

沿線段BC按8-C方向向終點C運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止

運動.設(shè)運動時間為，秒，請解答下列問題：

①當(dāng)［為何值時，△BOE的面積等于段；

10

②在點。、E運動過程中，該拋物線上存在點尸，使得依次連接4。、DF、FE、E4得到

的四邊形AOFE是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點尸的坐標(biāo).

圖1圖2備用圖

9.(2020?海南)拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)和點B(2,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點P是該拋物線上的動點，且位于y軸的左側(cè).

①如圖1,過點尸作如心軸于點。，作PELy軸于點E,當(dāng)PQ=2PE時，求PE的長;

②如圖2,該拋物線上是否存在點P,使得乙4cp=/OCB?若存在，請求出所有點P的

坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

10.(2022?海南)如圖1,矩形ABCO中，A8=6,AD=8,點P在邊BC上，且不與點8、

C重合，直線AP與DC的延長線交于點E.

(1)當(dāng)點P是8c的中點時，求證：△ABP經(jīng)△ECP；

(2)沿直線AP折疊得到△APS,點落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長交直

線4)于點F.

①證明陽=尸尸，并求出在(1)條件下AF的值；

②連接BC,求△PC9周長的最小值；

③如圖2,BB咬AE于點、H,點G是AE的中點，當(dāng)時，請判斷AB與

”G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

11.(2021?海南)如圖1,在正方形ABCD中，點E是邊8c上一點，且點E不與點3、C

重合，點尸是8A的延長線上一點，且AF=CE.

(1)求證：△OCEg/\D4尸；

(2)如圖2,連接EF,交AD于點K,過點D作DHA.EF,垂足為H,延長DH交BF

于點G,連接HB,HC.

①求證：HD=HB；

②若DK?HC=M，求HE的長.

圖1圖2

12.(2020?海南)四邊形ABC。是邊長為2的正方形，E是AB的中點，連接。E,點F是

射線BC上一動點(不與點8重合)，連接AF,交。E于點G.

(1)如圖1,當(dāng)點F是3c邊的中點時，求證：ZXABF之△加￡?：

(2)如圖2,當(dāng)點尸與點C重合時，求AG的長；

(3)在點尸運動的過程中，當(dāng)線段B尸為何值時，AG=AE?請說明理由.

圖1圖2備用圖

七.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）

13.（2022?海南）無人機在實際生活中應(yīng)用廣泛.如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高

度，無人機在空中P處，測得樓CD樓頂。處的俯角為45°,測得樓48樓頂A處的俯

角為60°.已知樓AB和樓C。之間的距離8c為100米，樓AB的高度為10米，從樓

AB的A處測得樓CQ的。處的仰角為30°（點A、B、C、D、P在同一平面內(nèi)）.

（1）填空：NAPD=度，ZADC=度；

（2）求樓CZ）的高度（結(jié)果保留根號）；

（3）求此時無人機距離地面BC的高度.

14.（2021?海南）如圖，在某信號塔A8的正前方有一斜坡CZ）,坡角NC￡>K=30°,斜坡

的頂端C與塔底B的距離BC=8米，小明在斜坡上的點E處測得塔頂力的仰角NAEN

=60°,CE=4米，KBC//NE//KD,（點A,B,C,D,E,K,N在同一平

面內(nèi)）.

（1）填空：/BCD=度，ZAEC-度；

（2）求信號塔的高度4B（結(jié)果保留根號）.

15.（2020?海南）為了促進(jìn)海口主城區(qū)與江東新區(qū)聯(lián)動發(fā)展，文明東越江通道將于今年底竣

工通車.某校數(shù)學(xué)實踐活動小組利用無人機測算該越江通道的隧道長度.如圖，隧道A8

在水平直線上，且無人機和隧道在同一個鉛垂面內(nèi)，無人機在距離隧道450米的高度上

水平飛行，到達(dá)點P處測得點A的俯角為30。，繼續(xù)飛行1500米到達(dá)點Q處，測得點

B的俯角為45°.

（1）填空：乙4=度，NB=度；

（2）求隧道AB的長度（結(jié)果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：加比1.414,A/3^1.732）

八.條形統(tǒng)計圖（共1小題）

16.（2021?海南）根據(jù)2021年5月11日國務(wù)院新聞辦公室發(fā)布的《第七次全國人口普查公

報》，就我國2020年每10萬人中，擁有大學(xué)（指大專及以上）、高中（含中專）、初中、

小學(xué)、其他等文化程度的人口（以上各種受教育程度的人包括各類學(xué)校的畢業(yè)生、肄業(yè)

生和在校生）受教育情況數(shù)據(jù)，繪制了條形統(tǒng)計圖（圖1）和扇形統(tǒng)計圖（圖2）.

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題:

（1）a—,b=；

（2）在第六次全國人口普查中，我國2010年每10萬人中擁有大學(xué)文化程度的人數(shù)約為

0.90萬，則2020年每10萬人中擁有大學(xué)文化程度的人數(shù)與2010年相比，增長率

是%（精確到0.1%）；

（3）2020年海南省總?cè)丝诩s1008萬人，每10萬人中擁有大學(xué)文化程度的人數(shù)比全國每

10萬人中擁有大學(xué)文化程度的人數(shù)約少0.16萬，那么全省擁有大學(xué)文化程度的人數(shù)約有

萬（精確到1萬）.

九.概率公式（共2小題）

17.（2022?海南）某市教育局為了解“雙減”政策落實情況，隨機抽取幾所學(xué)校部分初中生

進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計他們平均每天完成作業(yè)的時間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下不完整的統(tǒng)計

圖：

學(xué)生平均每天完成作業(yè)時長學(xué)生平均每天完成作業(yè)時長

頻數(shù)分布直方圖扇形統(tǒng)計圖

n35A:60<x<70

n35

n05B:70<z<80

90

75C:80<x<90

60

45D:90<r<100

30

15E:100<r<110

0

請根據(jù)圖表中提供的信息，解答下面的問題：

（1）在調(diào)查活動中，教育局采取的調(diào)查方式是（填寫“普查”或''抽樣調(diào)查”）；

（2）教育局抽取的初中生有人，扇形統(tǒng)計圖中，〃的值是;

（3）已知平均每天完成作業(yè)時長在“l(fā)OOWfVllO”分鐘的9名初中生中有5名男生和4

名女生，若從這9名學(xué)生中隨機抽取一名進(jìn)行訪談，且每一名學(xué)生被抽到的可能性相同，

則恰好抽到男生的概率是;

（4）若該市共有初中生10000名，則平均每天完成作業(yè)時長在“70WfV80”分鐘的初

中生約有人.

18.（2020?海南）新冠疫情防控期間，全國中小學(xué)開展“停課不停學(xué)”活動.某市為了解初

中生每日線上學(xué)習(xí)時長f（單位：小時）的情況，在全市范圍內(nèi)隨機抽取了〃名初中生進(jìn)

行調(diào)查，并將所收集的數(shù)據(jù)分組整理，繪制了如圖所示的不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇

形統(tǒng)計圖.

A:0</<1

B.l<r<2

C:2<r<3

D:3<r<4

E:4<r<5

(1)在這次調(diào)查活動中，采取的調(diào)查方式是(填寫“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”),

n=；

(2)從該樣本中隨機抽取一名初中生每日線上學(xué)習(xí)時長，其恰好在“3Wt<4”范圍的

概率是;

(3)若該市有15000名初中生，請你估計該市每日線上學(xué)習(xí)時長在“4Wf<5”范圍的

初中生有名.

參考答案與試題解析

平方差公式（共1小題）

1.（2020?海南）計算：

(1)|-8IX2-1-V16+(-1)2。2。；

(2)(。+2)(a-2)-a(。+1).

【解答】解：(1)|-8|X2”-岳+(-1)2020,

=8XJL-4+1,

2

=4-4+1,

=1；

(2)(。+2)(a-2)-aCa+\),

=〃2-4-d_Q,

=-4-a.

二.二次根式的混合運算(共1小題)

2.(2021?海南)(1)計算：23+|-3|4-3-V25X51;

2x>-6

(2)解不等式組(x-1/x+1并把它的解集在數(shù)軸(如圖)上表示出來?

1I1IIIIII1I.

-53-3-2-1012345

【解答】解：(1)原式=8+3+3-5X2

5

=8+1-1

=8；

’2x>-6①

⑵諄《號②‘

Z0

解①得x>-3,

解②得x<2,

所以不等式組的解集為-3<xW2,

解集在數(shù)軸上表示為：

三.二元一次方程組的應(yīng)用（共3小題）

3.（2022?海南）我省某村委會根據(jù)“十四五”規(guī)劃的要求，打造鄉(xiāng)村品牌，推銷有機黑胡

椒和有機白胡椒.已知每千克有機黑胡椒比每千克有機白胡椒的售價便宜10元，購買2

千克有機黑胡椒和3千克有機白胡椒需付280元，求每千克有機黑胡椒和每千克有機白

胡椒的售價.

【解答】解：設(shè)每千克有機黑胡椒的售價為x元，每千克有機白胡椒的售價為y元，

依題意得：卜個1°,

l2x+3y=280

解得：卜=50.

]y=60

答：每千克有機黑胡椒的售價為50元，每千克有機白胡椒的售價為60元.

4.（2021?海南）為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校組織了黨史知識競賽，學(xué)校購買

了若干副乒乓球拍和羽毛球拍對表現(xiàn)優(yōu)異的班級進(jìn)行獎勵.若購買2副乒乓球拍和1副

羽毛球拍共需280元；若購買3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需480元.求1副乒乓球

拍和1副羽毛球拍各是多少元？

【解答】解：設(shè)購買1副乒乓球拍x元，1副羽毛球拍y元，根據(jù)題意得，

（2x4y=280

l3x+2y=480，

解得卜畛°.

ly=120

答：購買1副乒乓球拍80元，1副羽毛球拍120元.

5.（2020?海南）某村經(jīng)濟(jì)合作社決定把22噸竹筍加工后再上市銷售，剛開始每天加工3

噸，后來在鄉(xiāng)村振興工作隊的指導(dǎo)下改進(jìn)加工方法，每天加工5噸，前后共用6天完成

全部加工任務(wù)，問該合作社改進(jìn)加工方法前后各用了多少天？

【解答】解：設(shè)改進(jìn)加工方法前用了x天，改進(jìn)加工方法后用了y天，

依題意，得：（X+y=6，

I3x+5y=22

解得：卜=4

Iy=2

答：該合作社改進(jìn)加工方法前用了4天，改進(jìn)加工方法后用了2天.

四.解一元一次不等式組（共1小題）

6.（2022?海南）（1）計算：V9X3''+234-|-2|；

x+3>2①

(2)解不等式組|2x-l

《1②

3

【解答】解：(1)V9X3'+234-|-2|

=3XA+84-2

3

=1+4

=5；

x+3>2①

⑵\2x-l《1②’

3

解不等式①得：X>-1.

解不等式②得：X<2,

...原不等式組的解集為：-1<XW2.

五.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

7.(2022?海南)如圖1,拋物線y=o?+2x+c經(jīng)過點A(-1,0)、C(0,3),并交x軸于

另一點8,點P(x,y)在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點￡?.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)點尸的坐標(biāo)為(1,4)時，求四邊形8OCP的面積；

(3)點Q在拋物線上，當(dāng)里的值最大且△AP。是直角三角形時，求點。的橫坐標(biāo)；

AD

(4)如圖2,作CGJLCP,CG交x軸于點G(〃，0),點H在射線C尸上，且CH=CG,

過G4的中點K作K/〃y軸，交拋物線于點/,連接/H,以出為邊作出如圖所示正方形

HIMN,當(dāng)頂點M恰好落在y軸上時，請直接寫出點G的坐標(biāo).

【解答】解：(1)由題意得,

fa-2+c=0

Ic=3，

\c=3

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-/+2x+3；

(2)當(dāng)y=0時，-/+2x+3=0,

Axi=-1,%2-3,

：.B(3,0),

VPC2+BC2=[1+(4-3)2]+(32+32)=20,PB2=[(3-1)2+42]=20,

:?Pd+Bd=P留,

：.ZPCB=90°,

，

.?.5APBC=1PC.BC=1XV2X3^=3

=2=

VSABoc=-loB.oCyX31->

q15

S四邊形BOCP=SNBC+SABOC=3+—=—；

22

(3)如圖1,作尸E〃AB交BC的延長線于E,

設(shè)尸(機，-/n2+2^+3),

?:B(3,0),C(0,3),

?,?直線BC的解析式為：y=-1+3,

由-x+3=-〃P+2/77+3得，

x=m-2nh

：.PE=m--2加)=-nT+3m,

?:PE"AB,

:.APDESAADB,

2

APD^PE^-m+3m^-工（m-旦）2+_L,

ADAB44216

當(dāng)〃?=3時，（旦L）最大

2AD16

當(dāng)朋=3時，y--（―）2+2XA+3=-l^.,

2224

：.P（2,至），

24

設(shè)Q（小-w2+2n+3）.

如圖2,當(dāng)NB4Q=90°時，過點A作y軸平行線AF,作PF_LAF于F,作QG_LAF于

G,則△A"s^GQA,

2nQ4+1

:.n_2n-3_±___

n+115

4

?”一11

3

如圖3,當(dāng)NAQP=90°時，過QN_LAB于N,作PM_LQN于例，可得△ANQS/^QMP,

可得〃1=1,H2=—.

2

作QRJ_PT于R,

,??〃=看

綜上所述：點Q的橫坐標(biāo)為：旦或1或5或工;

326

(4)如圖5,作GL//y軸，作RCLGL于L,作MTLKI于K,作HWVIK于點W,則

/\GLC^/\CRH,A/TM^AWW.

圖5

:.RH=OG=-n,CR=GL=0C=3,MT=IW,

：.G（〃,0）,H（3,3+〃）,

：.K（皿，皿），

22

.-./（正旦，-（空當(dāng)2+/+3+3）,

22

^TM=IW9

...空3=（皿）2+〃+6-（3+〃），

22

（?+3）2+2（〃+3）-12=0,

..."1=-4+百§,n2--4-V13（舍去），

；.G（-4+^/13，0）.

8.（2021?海南）已知拋物線丫=亦2+當(dāng)y與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點，且點

4

A的坐標(biāo)為（-1,0）、點C的坐標(biāo)為（0,3）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1,若該拋物線的頂點為P,求△尸8c的面積：

（3）如圖2,有兩動點。、E在ACOB的邊上運動，速度均為每秒1個單位長度，它們

分別從點C和點B同時出發(fā)，點D沿折線COB按C-O-B方向向終點B運動，點E

沿線段BC按B-C方向向終點C運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止

運動.設(shè)運動時間為1秒，請解答下列問題：

①當(dāng)，為何值時，ABOE的面積等于駕；

10

②在點力、E運動過程中，該拋物線上存在點F,使得依次連接A。、DF、FE、E4得到

的四邊形4。尸E是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1):拋物線尸癥+2+。經(jīng)過A(-1,0),C(0,3)兩點,

4

'9

?a^-r+c=0

??4,

c=3

'=_3_

解得《"T，

c=3

...該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為尸-￥+卜3；

(2):拋物線＞=-公+2+3=-3(x-3)2+正，

444216

二拋物線的頂點尸的坐標(biāo)為(3,匹)，

216

'-'y--^x2+-^a.+3.令y=0,

44

解得：XI=-1,X2=4,

???B點的坐標(biāo)為(4,0),08=4,

如圖，連接OP,

貝！JS^PBC=S^OPC+S^OPB-SdOBC，

=oc-|XP|+OB'|>'p|-1'OB'OC

222

=JLX3X3+AX4X匹-J1X4X3

222162

=9+至-6

48

_-4--5-，

8

.?.△P8C的面積為里?：

8

(3)①：在△OBC中，BC<OC+OB,

當(dāng)動點E運動到終點C時，另一個動點D也停止運動,

：0C=3,08=4,

，在RtAOBC中，8C={OB2+OC2=5，

，0<忘5,

當(dāng)運動時間為r秒時，BE=t,

如圖,

?BN=EN=BE=^>

"BOCOBC5"

:.BN=&t,EN=3t,

55

.,.點E的坐標(biāo)為（4-生，—r）,

55

下面分兩種情形討論：

I、當(dāng)點。在線段C。上運動時，0Vf<3,

此時CZ）=f,點。的坐標(biāo)為（0,37）,

:?SABDE=SABOC-S^CDE-SdBOD

^XBO-CO-ACD?|XE|-^OB-OD

222

=J1X4X3-工Xtx(4-Ar)-JLX4X(37)

2252

=2?,

5

當(dāng)心血=空■時，2f^型，

10510

解得力=-近.(舍去)，及=叵_<3,

_22

逗.

2

II、如圖，當(dāng)點O在線段OB上運動時，3W/W5,BD=1-t,

SABDE=—BD'EN,

2

=2X(7-r)x3r

25

--3八21/,

1010

當(dāng)SABDE=2^?時，

10

-3尸+2

101010

解得/3=0運，t4=74<3,

22

又；3WrW5,

?7W5

??I—“,

2__

綜上所述，當(dāng)r=返1■或t=時,SABDE——；

2210

②當(dāng)點O在線段OC上，過點E作EH〃x軸，過點/作fT/LE”于H,

?.?四邊形4DFE是平行四邊形，

：.AD=EF,AD//EF,

：.ZADF+ZDFE^\SOD,

'JCO//FH,

：.ZODF+ZDFH=\SOa,

：.ZADO=ZEFH,

又；NAOD=NEHF,

：.^\ADO^/\EFH（A4S）,

：.AO=EH=\,FH=D0=3-t,

:點E的坐標(biāo)為（4-生,3f）,

55

.?.點F（5-&旦/+3-t）,

55

；.3r+3-f=-旦（5-鄉(xiāng)）2+9（5-Ar）+3；

54545

解得：“=至，〃=」五（不合題意舍去），

122

坐標(biāo)為（曲，型），

36

當(dāng)點。在線段。8上，過點E作EQJ_A8于Q,過點F作FMLAB于M,

四邊形ADFE是平行四邊形，

：.AD=EF,AD//EF,

：.ZEAQ^ZFDM,

又；NAQE=Nr>MB=90°,

：./\AEQ^/\DFM(A4S),

：.DM=AQ,EQ=FM,EF=AD=t-3+l=t-2,

:點E的坐標(biāo)為(4-1/,/),

55

.?.點F(2+A/,3力，

55

-3(2+Az)2+9(2+Af)+3；

54545

解得：6=-30(不合題意舍去)，M=5,

坐標(biāo)為(3,3).

綜上所述：尸坐標(biāo)為(蛇，也)或(3,3).

36

9.(2020?海南)拋物線y=f+bx+c經(jīng)過點A(-3,0)和點B(2,0),與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點P是該拋物線上的動點，且位于y軸的左側(cè).

①如圖1,過點P作PO_Lx軸于點。，作PELy軸于點E,當(dāng)尸力=2PE時，求PE的長;

②如圖2,該拋物線上是否存在點P,使得N4cp=NOCB?若存在，請求出所有點尸的

坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.

0=4+2b+c

0=9-3b+c

解得：。=1,

1c=-6

...拋物線解析式為：y=/+x-6；

(2)①設(shè)點尸(a,a2+a-6),

?.?點P位于y軸的左側(cè)，

...“VO,PE=-a,

?：PD=2PE,

/?\ci^+a-6|=-2a9

-6=-2?；騝P+a-6=2〃，

解得：八,=(舍去)或。3=-2,“4=3(舍去)

22

；.PE=2或段Y宣-;

2

②存在點P,使得/4CP=N0CB,

理由如下，

:拋物線y=7+x-6與y軸交于點C,

.?.點C(O,-6),

...0c=6,

?.?點B(2,0),點A(-3,0),

：.0B=2,0A=3,

BC-,\/OB2+OC2~V4+36-2A/10>

AC=VOA2-K)C2=V9+36=3娓,

如圖，過點A作AHLCP于H,

圖2

；NAHC=NBOC=90°,ZACP=ZBCO,

??-BC=--B-O=--O-C,

ACAHHC

-2Vw_=_2___

??3泥瓦記_

.,.AW=^V2_,HC=^^~,

22

設(shè)點HCm,n）,

（3、2.）2—（m+3）~+tr,（理W）2=nr+（〃+6）2,

22

'_9f_9

m=/m=下

?Y或〈c，

n=?nR

.?.點“（-9,-旦）或（-_L,_L）,

221010

當(dāng)”（-9,-3）時，

22

:點C（0,-6）,

...直線”C的解析式為：y=-X-6,

???/+x-6=-x-6,

解得：x]=-2,x2=0（舍去），

，點尸的坐標(biāo)（-2,-4）；

當(dāng)H（-2-L）時，

1010

?.,點C（0,-6）,

直線HC的解析式為：y=-7x-6,

.,.x2+x-6=-7x-6,

解得：x\=-8,%2=0（舍去），

...點P的坐標(biāo)（-8,50）；

綜上所述：點P坐標(biāo)為（-2,-4）或（-8,50）.

六.四邊形綜合題（共3小題）

10.（2022?海南）如圖1,矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點尸在邊8c上，且不與點8、

C重合，直線4P與DC的延長線交于點E.

（1）當(dāng)點P是8c的中點時.，求證：ZlABP出AECP；

(2)'^/XAPB沿直線AP折疊得到點B'落在矩形ABCD的內(nèi)部，延長交直

線A。于點F.

①證明布=FP,并求出在(1)條件下AF的值；

②連接8C,求△PCS,周長的最小值；

③如圖2,BB'交AE于點H,點G是AE的中點，當(dāng)/￡48=2/4后8,時，請判斷AB與

"G的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

【解答】(1)證明：???四邊形A8Q9是矩形，

：.AB//CD,

：.NBAP=NE,NB=NBCE,

；點P是BC的中點，

：.BP=CP,

:.叢ABPQ叢ECP(AAS)；

(2)解：①?.?四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZAPB=ZFAP,

由折疊得NAPB=NAPF,

NFAP=NAPF,

：.FA=FP,

矩形ABCD中，AB=6,AO=8,

：.BC^AD=S,

?.?點P是BC的中點，

：.BP=CP=4,

由折疊得AB'=AB=6,PB'=PB=4,NB=NAB'P=ZAB'尸=90°,

設(shè)FA=x,則FP—x,

：.FB'=x-4,

在RtAuAB'尸中，AF2=B'產(chǎn)+B'A2,

；./=(x-4)2+62,解得即AF=

22

②由折疊得A8'=AB=6,PB'=PB=4,

AAPCB'MJW-fe=CP+PB'+CB'=CB+CB'=8+CB',

連接BCAC,

"：AB'+B'C>AC,

當(dāng)點8'恰好位于對角線AC上時，CB'+AB'最小,

在RtZ\ABC中，AB=6,BC=8,

'-AC—｛針+§2=10，

...CB'的最小值=4(7-48'=4,

.?.△PCS'周長的最小值=8+CB'=8+4=12；

③AB與HG的數(shù)量關(guān)系是AB=2HG.

理由：如圖，

由折疊可知N1=N6,AB'=AB,BB,LAE,

過點8作交AE于點M,

J.AB//DE,

：.AB//DE//B,M,

：.Zl=Z6=Z5=ZAED,

：.AB'=B'M=AB,

...點〃是AM中點，

"：ZEAB'=2ZAEB',即N6=2N8,

.\Z5=2Z8.

VZ5=Z7+Z8,

AZ7=Z8.

：.B'M=EM.

：.B'M=EM=AB'=AB.

?.?點G為AE中點，點”是4"中點，

：.AG=^AE,A4=LM.

22

：.HG=AG-AH=1.(AE-AM)=、EM.

22

2

:.AB=2HG.

11.(2021?海南)如圖1,在正方形ABC。中，點E是邊BC上一點，且點E不與點8、C

重合，點F是8A的延長線上一點，且AF=CE.

(1)求證：XDCE會

(2)如圖2,連接￡F,交AD于點K,過點力作。〃_LEF,垂足為“，延長DH交BF

于點G,連接“8,HC.

①求證：HD=HB；

②若DK?HC=?求HE的長.

圖1圖2

【解答】解：(1)?.?四邊形ABC。為正方形，

：.CD=AD,ZDCE=ZDAF=90°,

VCE=AF,

：.i\DCE^/\DAF(SAS)；

(2)?'：/\DCE^/\DAF,

：.DE=DF,4CDE=NADF,

：.ZFDE=ZADF+ZADE=NCDE+NADE=NAOC=90°,

...△QFE為等腰直角三角形，

"JDHLEF,

.?.點”是EF的中點，

：.DH=^EF,

2

同理，由48是RtZXEBF的中線得：HB=LEF,

2

:.HD=HB；

②；四邊形ABC。為正方形，

故CQ=CB,

"：HD=HB,CH=CH,

:.△DCH妾ABCH(SSS),

：.ZDCH=ZBCH=45°,

/\DEF為等腰直角三角形，

J.ZDFE^45°,

/.NHCE=NDFK,

；四邊形ABC。為正方形，

：.AD//BC,

：.ZDKF^ZHEC,

：ADKFs/\HEC,

???-D-K=-D-F-,

HEHC

：.DK-HC=DF*HE,

在等腰直角三角形OF"中，DF=?HF=?HE,

DK?HC=DF*HE=J^H?=H，

：.HE=l.

12.(2020?海南)四邊形ABC。是邊長為2的正方形，E是AB的中點，連接OE,點尸是

射線8c1上一動點(不與點8重合)，連接AF,交。E于點G.

(1)如圖1,當(dāng)點尸是BC邊的中點時，求證：aAB尸名△D4E；

(2)如圖2,當(dāng)點尸與點C重合時，求AG的長；

(3)在點尸運動的過程中，當(dāng)線段為何值時，AG=AE?請說明理由.

圖1圖2備用圖

【解答】(1)證明：???四邊形ABCO是正方形，

：.ZB=ZDAE=90c，,AB=AD=BC,

?.?點E,F分別是AB、BC的中點，

：.AE=^AB,BF=LBC,

22

：.AE=BF,

：./\ABF^/\DAE(SAS)；

(2)在正方形ABC。中，AB//CD,ZADC=90°,AD=CD=2,

AVAD2-K!D2-722+22-2V2>

'：Mi//CD,

：.△AGES/XCGO,

...旭=里即_^_=上，

CGCD2V2-AG2

.?.AG=會反；

3

(3)當(dāng)8尸=3?時，AG=AE,理由如下：

3

如圖所示，設(shè)4尸交CO于點M,

若使AG=AE=1,則有/1=N2,

'JAB//CD,

，Nl=/4,

又：N2=/3,

/.Z3=Z4,

：.DM=MG,

在Rt/XAOM中，AM2-DM2=AD1,即（DM+1）2-DM2=22,

解得OW=3,

2

CM=CD-0M=2-3=2，

22

\'AB//CD,

：./\ABF^/\MCF,

.=幽即工=2,

CFMCBF-2±

2

：.BF=3.,

3

故當(dāng)8尸=圖■時，AG=AE.

3

七.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共3小題）

13.（2022?海南）無人機在實際生活中應(yīng)用廣泛.如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高

度，無人機在空中P處，測得樓C￡＞樓頂。處的俯角為45°,測得樓AB樓頂A處的俯

角為60°.已知樓48和樓CD之間的距離2c為100米，樓A8的高度為10米，從樓

A8的A處測得樓CC的。處的仰角為30°（點A、B、C、D、尸在同一平面內(nèi)）.

（1）填空：NAPD=75度,ZADC=60Jt;

（2）求樓CQ的高度（結(jié)果保留根號）；

（3）求此時無人機距離地面BC的高度.

【解答】解：（1）,ZNPD=45Q,

，/4尸。=180°-ZMPA-ZNPD=75°.

過點A作AELCD于點E.

則NDAE=30°,

AZADC=180°-90°-30°=60°.

故答案為：75；60.

（2）由題意可得AE=2C=100米，EC=4B=10米,

在RtZVIE。中，ND4E=30°,

tan300=DE_=PE=V3_,

AE1003

解得DE=100^,

3_

：.CD=DE+EC=（.10Q2/3..+1O）米.

3

...樓8的高度為（幽返+10）米.

3

（3）過點尸作尸G,8c于點G,交AE于點F,

則NP/^=/AE￡)=90°,FG=A8=10米，

'JMN//AE,

二N外尸=NM附=60°,

VZADE=60°,

J.ZPAF^ZADE,

；ND4E=N30°,

：.ZPAD=3O°,

VZAPD=15°,

AZADP=15°,

NADP=ZAPD,

貝ljAP=AD,

：./\APF^^\DAE(AAS),

.?.PF=AE=100米，

APG=PF+FG=100+10=110(米).

，此時無人機距離地面BC的高度為110米.

14.(2021?海南)如圖，在某信號塔AB的正前方有一斜坡CZ),坡角NCDK=30°,斜坡

的頂端C與塔底B的距離8c=8米，小明在斜坡上的點E處測得塔頂A的仰角NAEN

=60°,CE=4米，5.BC//NE//KD,A8_L8C(點A,B,C,D,E,K,N在同一平

面內(nèi)).

(1)填空：NBCD=150度,NAEC=30度:

（2）求信號塔的高度A3（結(jié)果保留根號）.

/.ZBCD+ZD=180°,

又；N￡>=30°,

/.ZBCD=180°-30°=150°,

'：NE//KD,

...NCEN=N￡>=30°,

又,.,NAENuGO。，

：.NACE=NAEN-/CEN=60°-30°=30°,

故答案為：150,30；

(2)如圖，過點C作CGJ_EM垂足為G,延長AB交EN于點F,

在Rt/XCEG中，VZC￡G=30",CE=4m,

.?.CG=」CE=2(m)=BF,

2

:.EG=MCG=2如(m),

設(shè)A8=x,則AF=(x+2)mt

EF=BC+EG=(8+273)m,

在Rt/XAE尸中，；N4EN=60°,

:.AF=MEF,

即》+2=北(8+2日)，

x=(4+873)m,

即信號塔的高度A8為（4+8愿）m.

15.（2020?海南）為了促進(jìn)?？谥鞒菂^(qū)與江東新區(qū)聯(lián)動發(fā)展，文明東越江通道將于今年底竣

工通車.某校數(shù)學(xué)實踐活動小組利用無人機測算該越江通道的隧道長度.如圖，隧道AB

在水平直線上，且無人機和隧道在同一個鉛垂面內(nèi)，無人機在距離隧道450米的高度上

水平飛行，到達(dá)點尸處測得點A的俯角為30°,繼續(xù)飛行1500米到達(dá)點。處，測得點

B的俯角為45°.

（1）填空：NA=30,度,NB=45度；

（2）求隧道4B的長度（結(jié)果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：A/2^1.414,窩比1.732）

【解答】解：（1）???點P處測得點4的俯角為30°,點Q處測得點B的俯角為45°,

工/4=30度，/8=45度；

故答案為：30,45；

（2）如圖，過點P作尸于點過點Q作于點N,

則PM=QN=450（米），MN^PQ=1500（米），

AM

.\AM=-^L=4^-=450V3（米），

tanA73

~3~

在RtZiQNB中，VtanB=M,

NB

：.NB=―翅—=豈雙=450（米），