新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊：強化練6 空間中的垂直關(guān)系

專題強化練6空間中的垂直關(guān)系

一、選擇題

1.（2020河北石家莊第二中學(xué)高一下月考,"）已知正方體

ABCD-AiBiCiDi的棱AAi的中點為E,AC與BD交于點。平面a過

點E且與直線OCi垂直，若AB=1,則平面a截該正方體所得截面圖形

的面積為（）

AV6

一V6

4-

2

8BD.

V3-

C.一24

2.（2020山東煙臺第二中學(xué)高一下月考*）如圖，在正方形ABCD中,E、

F分別是BC、CD的中點,G是EF的中點，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這

個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為

H,那么在這個空間圖形中必有（）

A.AG_L平面EFHB.AHJ_平面EFH

C.HF_L平面AEFD.HGJL平面AEF

3.（2020湖北武漢江夏一中、漢陽一中高三下聯(lián)考,"）在三棱柱

ABC-AiBiCi中，已知ABJ_AC,AAiJ_平面AIBICL則下列選項中，能使

異面直線BQ與AiC相互垂直的條件為（）

A.zAiCA=45°

B.zBCA=45°

C.四邊形ABB1A1為正方形

D.四邊形BCCiBi為正方形

4.（2020重慶江津中學(xué)、禁江中學(xué)等六校高三下聯(lián)考,"）如圖,棱長為

1的正方體ABCD-AiBiCiDi中,P為線段ABi的中點,M,N分別為線

C.1D.V2

二、填空題

5.（2020安徽合肥一六八中學(xué)高二上期中,4）經(jīng)過平面a外一點和平

面a內(nèi)一點與平面a垂直的平面有.

6.（2020湖北襄陽五中、夷陵中學(xué)高三下聯(lián)考,"）三棱錐S-ABC中，

點P是RfABC斜邊AB上一點，給出下列四個命題：

①若SA_L平面ABC,則三棱錐S-ABC的四個面都是直角三角形；

②若AC=BC=SC=2,SC±￥?ABC,則三棱錐S-ABC的外接球表面

積為12n;

③若AC=3ZBC=4ZSC=V5,S在平面ABC上的射影是^ABC的內(nèi)心，

則三棱錐S-ABC的體積為2;

④若AC=3,BC=4,SA=3,SAJ_平面ABC,則直線PS與平面SBC所成

的最大角為45°.

其中正確命題的序號是.

三、解答題

7.(2020天津靜海第一中學(xué)高一下期中,*)如圖所示，在長方體

ABCD-AiBiCiDi中,AB=2,BC=2,CG=4,M為棱CCi上一點.

⑴若CiM=l,求異面直線AiM和CiDi所成角的正切值；

(2)若CiM=2,求證BM_L平面AiBiM.

8.(2020山東滕州一中高一下月考,*)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底

面ABCD是矩形，點E、F分別是棱PC和PD的中點.

(1)求證:EFII平面PAB;

(2)若AP=AD,且平面PADJ_平面ABCD,證明:AFJ_平面PCD.深度解析

9.(*)如圖,四邊形ABCD是正方形Q是該正方形的中心尸是平面

ABCD外一點,PO_L底面ABCD,E是PC的中點.求證：

⑴PAII平面BDE;

(2)平面BDEJ_平面PAC.

10.(2020四川南充高三第一次適應(yīng)性考試,")如圖，在四棱錐

P-ABCD中，底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA_L底面ABCD.

Q)當a為何值時,BDJ_平面PAC?證明你的結(jié)論；

(2)若在棱BC上至少存在一點M,使PM_LDM,求a的取值范圍.

P

8

答案全解全析

一、選擇題

1.A連接OE,BE,ED,JE.

易得。C/=1+j=|/OE2=i+1=|,ECf=2

...0行+OE2=E*；.OE，OC1,易得BD,平面ACC1A1,

...BDLOCL又OEnBD=O,；.OCi_L平面BDE,...所得截面為ABDE.

SiBDE=|BD-OE=|xV2xy=^

，a截該正方體所得截面圖形的面積為手.

4

故選A.

2.B易知AH_LHE,AH，HF,

又HEAHF=H,

...AHJ_平面EFH,.*.B正確；

?.?過A只有一條直線與平面EFH垂直,，A不正確；

易知AG_1_EF,EF，AH,又AGflAH=A,

；.EF_L平面HAG,又EFu平面AEF,

二平面HAG,平面AEF,過H作直線I垂直于平面AEF,則I一定在平面HAG內(nèi),

AC不正確；

VHG不垂直AG,，HG_L平面AEF不正確,，D不正確.

故選B.

3.A如圖，連接AJ.

易知AAi平面ABC,...AAi_LAB,又ABJ_AC,AAiClAC=A,，ABJ_平面

ACCiAi.

,.?AiCu平面ACCiAi,/.ABJLAIC,

當異面直線BCi與AiC相互垂直時，由ABDBC尸B,可得AiC,平面ABCi,

???ACiu平面ABCi,AiC±ACi,.,.四邊形ACCiAi為正方形,，zAiCA=45°,

反之亦然，即NAICA=45°時，可得BCi±AiC成立.

故選A.

4.C如圖，連接CiD,過M作MH±CiD于H,連接HN,過H作HH—GDi于

Hi,

則MHHAD,.?.繇器.

平面CCiDiD,，MHJ_平面CCiDiD.

易知HHWDD】,.嗡喘，即冷部

VAD=DDi,.?.MH=HHi,

在RfMHN中,MN2=MH2+HN2,

VHN>HHi,

.?.MH2+HN22MH2+H/2MH4

即MN2>2MH2,MN>V2MH,.*.PM+yMN>PM+MH>l,

即PM+yMN的最小值為1.

故選C.

二'填空題

5.答案1個或無數(shù)個

解析設(shè)平面a外一點為A,平面a內(nèi)一點為。

若OA，a,則過0A的任一平面都垂直a,所以過0A存在無數(shù)個平面與平面a垂

直；

若0A不垂直于a,則過點A有唯一的直線I與平面a垂直,0A與I確定唯一的平

面與a垂直,所以過0A存在唯一的平面與平面a垂直.

故答案為1個或無數(shù)個.

6.答案①②④

解析對于①,..飛人，平面ABC,AB、AC、BCu平面ABC,；.

SA±AB,SA±AC,SA±BC,

又BC，AC,SAnAC=A」BC_L平面5人（：「.飛€：匚平面5人（：,..出€：_15（：,，三棱錐

S-ABC的四個面都是直角三角形，①正確；

對于②，若AC=BC=SC=2,SC，平面ABC,則三棱錐S-ABC的外接球可以看作棱

長為2的正方體的外接球,1.2R=2V3（R為外接球的半徑）,球的表面積為12n,②正

確;

對于③，設(shè)AABC的內(nèi)心是0,則SO,平面ABC,連接OC,則有

SO2=SC2-OC2=5-2=3,，SO=W,...三棱錐S-ABC的體積

vWxSAABcxSO=gxgx3x4xV^=2V^,③不正確；

對于④，若SA=3,SA，平面ABC,則直線PS與平面SBC所成的角最大時,P點與

A點重合，易知AS與平面SBC所成的角為NASC,在RfSCA^,tanzASC=1=l,

，NASC=45°,.?.直線PS與平面SBC所成的最大角為45°,④正確.

故答案為①②④.

三'解答題

7.解析(1)：CIDIIIBIAL，NBIAIM是異面直線AIM和QDi所成的角.

\,在長方體ABCD-AiBiCiDi中,AiBiJ_平面BCCiBi,AA1B1±BiM,

VBiCi=BC=2zCiM=l,

+MC^=V4+T=V5/

/.tanzBiAiM=-^-=y,

即異面直線AiM和CiDi所成角的正切值為日

(2)證明:當CiM=2時,BiM=BM=”C2+CM?=2近,

平面BCCIBLBMU平面BCCiBi,

/.AiBi±BM.

又AiBiABiM=Bi,...BMJ_平面AiBiM.

8.證明(1)VE.F分別是棱PC和PD的中點,，EFllCD,又在矩形ABCD

中,ABllCD,.?.EFIlAB,?.?ABu平面PAB,EFa平面PAB,，EFII平面PAB.

(2)在矩形ABCD中,AD，CD,又平面PADJ_平面ABCD,平面PADCI平面

ABCD=AD,CDu平面ABCD,，CDL平面PAD,又AFu平面PAD,/.CD±AF.

?.?PA=AD,F是PD的中點，

.,.AF±PD,

???PDu平面PCD,CDu平面PCD,PDnCD=D,，AF_L平面PCD.

方法總結(jié)

證明線面平行的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法可利

用三角形的中位線或平行公理;線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相

交的，而要求證的線線垂直又可以轉(zhuǎn)化為已知的線面垂直（有時來自面面垂直）來

考慮.

9.證明Q）如圖，連接0E,；0、E分別是AC、PC的中點,...PAII0E,

又PAQ平面BDEQEu平面BDE,，PAII平面BDE.

（2）：P0,底面ABCD,BDu底面ABCD,

，PO_LBD,又正方形中BD±AC,POnAC=O,

.,.BD_L平面PAC,而BDu平面BDE,

...平面BDE_L平面PAC.

p

10.解析Q)當a=2時,BD_L平面PAC.

證明如下:當a=2時，矩形ABCD為正方形，則BD±AC.

平面ABCD,BDu平面ABCD,

.,.BD±PA,

又ACnPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,

；.B