數(shù)學（選修45）練習1.1實數(shù)可以比較大小

第1章1.1一、選擇題1．已知a＜0,0＜b＜1，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＞ab B．a(chǎn)＞ab2C．a(chǎn)b＜ab2 D．a(chǎn)b＞ab2解析：由題意，得ab－ab2＝ab(1－b)＜0.∴ab＜ab2.答案：C2．若x≠－2且y≠1，則M＝x2＋y2＋4x－2y的值與－5的大小關(guān)系是()A．M＞－5 B．M＜－5C．M≥－5 D．M≤－5解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2，∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0.∴(x＋2)2＋(y－1)2＞0.故M＞－5.答案：A3．若a，b都是正數(shù)，P＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，Q＝eq\r(a＋b)，則P，Q的大小關(guān)系是()A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q解析：∵a，b都是正數(shù)，∴P＞0，Q＞0.∴P2－Q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))))2－(eq\r(a＋b))2＝eq\f(－\r(a)－\r(b)2,2)≤0(當且僅當a＝b時取等號)．∴P2－Q2≤0.∴P≤Q.答案：D4．設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，則A，B的大小關(guān)系是()A．A≤B B．A≥BC．A＜B D．A＞B解析：由題意，得B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．答案：B二、填空題5．實數(shù)a，b，c，d滿足下列三個條件：①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.將a，b，c，d按照從小到大的次序排列為__________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋d＜b＋c，,a＋b＝c＋d，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d－b＜c－a，,c－a＝b－d.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d－b＜b－d，,a－c＜c－a.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜b，,a＜c.))又由①，得a＜c＜d＜b.答案：a＜c＜d＜b6．已知0＜a＜1，則a，eq\f(1,a)，a2的大小關(guān)系是__________.解析：∵a－eq\f(1,a)＝eq\f(a＋1a－1,a)＜0，∴a＜eq\f(1,a).又a－a2＝a(1－a)＞0，∴a＞a2.∴a2＜a＜eq\f(1,a).答案：a2＜a＜eq\f(1,a)三、解答題7．已知a，b∈R＋且a≠b，比較eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)與a＋b的大?。猓骸遝q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,b)＋\f(b2,a)))－(a＋b)＝eq\f(a2,b)－b＋eq\f(b2,a)－a＝eq\f(a2－b2,b)＋eq\f(b2－a2,a)＝(a2－b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a)))＝eq\f(a2－b2a－b,ab)＝eq\f(a－b2a＋b,ab)，又a＞0，b＞0且a≠b，∴eq\f(a－b2a＋b,ab)＞0.故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)＞a＋b.8．甲、乙兩水果商分別先后兩次從某地購進水果，甲水果商每次購20000kg，乙水果商每次購2萬元的水果．已知兩次購進的價格不同，試判斷甲、解：設(shè)兩次水果的價格分別為a元/kg，b元/kg(a≠b)，則甲兩次購買的平均價格為eq\f(a＋b,2)元/kg，乙兩次購買的平均價格為eq\f(40000,\f(20000,a)＋\f(20000,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(元/kg)．∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b)＞0，∴乙購買的平均價格比甲低，乙的購買方式更合算．一、選擇題1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是A．M＜N B．M＞NC．M＝N D．不確定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N.答案：B2．若a＜0，－1＜b＜0，則有()A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞aC．a(chǎn)b＞a＞ab2 D．a(chǎn)b＞ab2＞a解析：∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1.∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0.∴ab＞a.又ab－ab2＝ab(1－b)＞0，∴ab＞ab2.又a－ab2＝a(1－b2)＜0，∴a＜ab2.故ab＞ab2＞a.答案：D二、填空題3．已知x＜1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系為________．解析：∵(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，x＜1，∴x－1＜0，x－2＜0.∴(x－1)(x－2)＞0.∴x2＋2＞3x.答案：x2＋2＞3x4．lg(x2＋1)與lgx(x＞0)的大小關(guān)系是________．解析：∵lg(x2＋1)－lgx＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，又∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2＞1.∴l(xiāng)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＞0，即lg(x2＋1)＞lgx.答案：lg(x2＋1)＞lgx三、解答題5．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(10x＋10－x,2)，比較f(x＋1)與f(x)＋f(1)的大?。猓篺(x＋1)＝lgeq\f(10x＋1＋10－x－1,2)，f(x)＋f(1)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10x＋10－x,2)·\f(10＋10－1,2))).真數(shù)作差得，eq\f(10x＋1＋10－x－1,2)－eq\f(10x＋10－x,2)·eq\f(10＋10－1,2)＝eq\f(99,40)(10x－10－x)＝eq\f(99,40)·eq\f(102x－1,10x)，∴當x＝0時，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)；當x＞0時，f(x＋1)＞f(x)＋f(1)；當x＜0時，f(x＋1)＜f(x)＋f(1)．6．某人乘出租車從A地到B地，有兩種方案．第一種方案：乘坐起步價為10元，超過起步價的里程按每千米1.2元收費的出租車；第二種方案：乘坐起步價為8元，超過起步價的里程按每千米1.4元收費的出租車．按出租車管理條例，在起步價內(nèi)，不同型號的出租車行駛的路程是相等的．則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較合算？解：設(shè)A地到B地距離為mkm，起步價內(nèi)行駛的路程為akm.顯然當m≤a時，選起步價為8元的出租車比較便宜．當m＞a時，設(shè)m＝a＋x(x＞0)，乘坐起步價為10元的出租車費用為P(x)元，乘坐起步價為8元的出租車費用為Q(x)元