易錯(cuò)拔尖：垂線（解析版）

易錯(cuò)拔尖：垂線（解析版）易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)誤認(rèn)為垂足一定要在線段或射線上而導(dǎo)致錯(cuò)誤1．（1）在圖①中，過AB外一點(diǎn)M作AB的垂線；（2）在圖②中，分別過A，B作OB，OA的垂線．思路引領(lǐng)：（1）利用直角三角板，一條直角邊與AB重合，沿AB平移，是另一直角邊過M，再沿直角邊過M畫直線即可；（2）利用直角三角板，延長BO，AO進(jìn)而作出垂線．解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示．總結(jié)提升：此題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握利用直角三角板畫垂線的方法．誤點(diǎn)警示;誤認(rèn)為垂足一定要在線段或射線上而導(dǎo)致錯(cuò)誤拔尖角度角度1利用垂直的定義和周角求角1．已知OA⊥OB，OC⊥OD．（1）如圖①，若∠BOC＝50°，求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖②，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度數(shù)；（3）根據(jù)（1）（2）結(jié)果猜想∠AOD與∠BOC有怎樣的關(guān)系？并根據(jù)圖①說明理由；（4）如圖②，若∠BOC：∠AOD＝7：29，求∠COB和∠AOD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)垂線的定義，可得∠AOB與∠COD的度數(shù)，根據(jù)余角的定義，可得∠AOC，根據(jù)角的和差，可得答案；（2）根據(jù)角的和差，可得答案；（3）根據(jù)角的和差，可得答案；（4）根據(jù)按比例分配，可得答案．解：（1）由OA⊥OB，OC⊥OD，得∠AOB＝∠COD＝90°．由余角的定義，得∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°，由角的和差，得∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+90°＝130°；（2）由OA⊥OB，OC⊥OD，得∠AOB＝∠COD＝90°．由角的和差，得∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°；（3）∠AOD+∠BOC＝180°，∠AOD+∠BOC＝130°+50°＝180°；（4）由角的和差，得∠AOD+∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝180°，按比例分配，得∠BOC＝180°×77+29∠AOD＝180°×297+29總結(jié)提升：本題考查了垂線，利用角的和差得出∠AOD+∠BOC是解題關(guān)鍵，又利用了按比例分配．角度2利用垂直的定義求角(分類討論思想)2．（2021秋?貴溪市期末）在直線AB上任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作射線OC、OD，使OC⊥OD，當(dāng)∠AOC＝30°時(shí)，∠BOD的度數(shù)是．思路引領(lǐng)：先根據(jù)題意可得OC分在AB同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論，并畫出圖，然后根據(jù)OC⊥OD與∠AOC＝30°，計(jì)算∠BOD的度數(shù)．解：當(dāng)OC、OD在直線AB同側(cè)時(shí)，如圖：∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；∴∠BOD＝180°﹣∠COD﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣30°＝60°；當(dāng)OC、OD在直線AB異側(cè)時(shí)，如圖：∵OC⊥OD，∠AOC＝30°；∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）＝180°﹣（90°﹣30°）＝120°．故答案為：60°或120°．總結(jié)提升：解答此類問題時(shí)，要注意對不同的情況進(jìn)行討論，避免出現(xiàn)漏解．角度3利用垂直的定義、對頂角（或鄰補(bǔ)角）的性質(zhì)求角3．（2021秋?下城區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠COE的余角是．（請符合條件的角都寫出來）；（2）圖中除直角外，還有相等的角，請寫出三對；①；②；③．（3）若∠AOF＝3∠COE，求∠COE的度數(shù)（請寫出解答過程）．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)圖形及余角的定義可得出答案．（2）根據(jù)圖形可找出三對相等角．（3）觀察圖形根據(jù)∠AOF＝3∠COE，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，由此可得出答案．解：（1）圖中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD．（請符合條件的角都寫出來）；（2）圖中除直角外，還有相等的角，請寫出三對；①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOC，∵OE⊥AB，∴∠COE+∠AOC＝90°，∴∠COE＝45°．故∠COE的度數(shù)是45°．故答案為：∠AOC，∠EOF，∠BOD；∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD．總結(jié)提升：本題考查余角和補(bǔ)角的知識，有一定難度，關(guān)鍵是仔細(xì)地觀察圖形，注意不要遺漏滿足條件的角．4．（2017春?硚口區(qū)期中）如圖，AB交CD于O，OE⊥AB．（1）若∠EOD＝20°，求∠AOC的度數(shù)；（2）若∠AOC：∠BOC＝1：2，求∠EOD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）利用垂直的定義，∠AOE＝90°，即可得出結(jié)果；（2）利用鄰補(bǔ)角的定義，解得∠AOC＝60°，有對頂角的定義，得∠BOD＝60°，解得∠EOD．解：（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠EOD＝20°，∴∠AOC＝180°﹣90°﹣20°＝70°；（2）設(shè)∠AOC＝x，則∠BOC＝2x，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴x+2x＝180°，解得：x＝60°，∴∠AOC＝60°，∴∠BOD＝60°，∴∠EOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°．總結(jié)提升：本題主要考查了垂直的定義，鄰補(bǔ)角的定義，對頂角的性質(zhì)，熟練掌握垂直的定義，鄰補(bǔ)角的定義是解決此題的關(guān)鍵．角度4利用垂線的作法探究兩角關(guān)系（驗(yàn)證法）5．（2014春?普陀區(qū)校級期末）（1）在圖1中以P為頂點(diǎn)畫∠P，使∠P的兩邊分別和∠1的兩邊垂直．（2）量一量∠P和∠1的度數(shù)，它們之間的數(shù)量關(guān)系是．（3）同樣在圖2和圖3中以P為頂點(diǎn)作∠P，使∠P的兩邊分別和∠1的兩邊垂直，分別寫出圖2和圖3中∠P和∠1的之間數(shù)量關(guān)系．（不要求寫出理由）圖2：圖3：（4）由上述三種情形可以得到一個(gè)結(jié)論：如果一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊垂直，那么這兩個(gè)角．（不要求寫出理由）思路引領(lǐng)：（1）過點(diǎn)P作∠1兩邊的垂線段即可，（2）從圖形中得出∠P+∠1＝180°，（3）分別作圖得出角的關(guān)系．（4）由上面的情況得出結(jié)論．解：（1）如圖1，（2）∠P+∠1＝180°，故答案為：∠