2024屆湖南長(zhǎng)郡中學(xué)、浙江杭州二中、江蘇南京師大附中三校高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案

試卷第=page1010頁(yè)，共=sectionpages1111頁(yè)試卷第=page1111頁(yè)，共=sectionpages1111頁(yè)2024年高三三校聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足，則(

)A. B. C. D.【答案】D2.已知，，則在上的投影向量為(

)A. B. C. D.【答案】D3.若非空集合,,,滿足：,，則(

)A. B. C. D.【答案】B4.拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為(

)A. B.2 C. D.1【答案】A5.球缺指的是一個(gè)球被平面截下的一部分，垂直于截面的直徑被截后剩下的線段為球缺的高，設(shè)球的半徑為，球缺的高為，則球缺的體積.圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球在圓錐外的體積為(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】作圓錐的軸截面，軸截面與球內(nèi)接圓錐底面交于所求體積即為球缺與內(nèi)接圓錐的體積之差軸截面頂角為，，設(shè)圓錐底面半徑為，則，即則圓錐的高為，則球缺的高為，則6.已知某4個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為6，方差為3，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10，則這6個(gè)數(shù)據(jù)的方差為(

)A.2 B. C. D.【答案】B7.已知函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】令，則因?yàn)椋杂忠驗(yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)所以，即，解得8.設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由圓的性質(zhì)可知：圓上一點(diǎn)，與所組成的角，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大若圓上存在點(diǎn)，使得，則由和可知，過(guò)且與圓相切的一條直線為，切點(diǎn)則在直角三角形中，，從而二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.橢圓C的離心率B.C.面積的最大值為12D.的最小值為【答案】AC10.四棱錐的底面為正方形，底面，，，，平面平面，平面，則(

)A.直線與平面有一個(gè)交點(diǎn)B.C.D.三棱錐的體積為【答案】BD【解析】A.取棱中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，則因?yàn)?，則，即，，，四點(diǎn)共面，則為直線因?yàn)槠矫?，平面，則平面，即平面，A錯(cuò)誤B.因?yàn)榈酌?，平面，則因?yàn)榈酌媸钦叫?，，，則平面，則因?yàn)椋瑒t為等腰直角三角形，因?yàn)椋?，平面，則平面，則，B正確C.設(shè)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，則，，即，C錯(cuò)誤D.，D正確11.已知，，數(shù)列和的公共項(xiàng)由小到大排列組成數(shù)列，則(

)A.B.為等比數(shù)列C.數(shù)列的前項(xiàng)和D.不是任一等差數(shù)列的三項(xiàng)【答案】BCD【解析】A.，，A錯(cuò)誤B.設(shè)，即，不是中的項(xiàng)，即不是的項(xiàng)，是中的項(xiàng)，即是的項(xiàng)，則，即為等比數(shù)列，B正確C.錯(cuò)位相減法計(jì)算得，且，單調(diào)遞增，所以D.設(shè)是等差數(shù)列的第項(xiàng)，的首項(xiàng)為，公差為是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)原假設(shè)不成立，即不是任一等差數(shù)列的三項(xiàng)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】13.已知4件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐個(gè)不放回檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)次數(shù)為，則_____.【答案】【解析】，檢測(cè)的兩件產(chǎn)品均為正品或均為次品，則，只需前兩件產(chǎn)品中正品和次品各一件，第三件無(wú)論是正品還是次品，都能確定所有次品，則14.已知，函數(shù)恒成立，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】7【解析】先考慮的情況，則令，則，則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則因此，即當(dāng)，時(shí)，顯然不成立當(dāng)時(shí)，，，即恒成立，則四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.某手機(jī)公司對(duì)一小區(qū)居民開(kāi)展個(gè)月的調(diào)查活動(dòng)，使用這款人數(shù)的滿意度統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：月份x12345不滿意的人數(shù)y1201051009580(1)求不滿意人數(shù)與月份之間的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)該小區(qū)月份對(duì)這款不滿意人數(shù)；(2)工作人員從這個(gè)月內(nèi)的調(diào)查表中隨機(jī)抽查人，調(diào)查是否使用這款與性別的關(guān)系，得到下表：根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否使用這款與性別有關(guān)？使用不使用女性4812男性2218附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】(1)由表中的數(shù)據(jù)可知：，，所求得回歸直線方程為······················································5分當(dāng)時(shí)，該小區(qū)月份的對(duì)這款不滿意人數(shù)預(yù)估為37人········································9分(2)零假設(shè)為：是否使用這款與性別無(wú)關(guān)·············································10分由表中的數(shù)據(jù)可得························12分根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否使用這款與性別有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤概率不大于0.01···································································13分16.已知中，角,,所對(duì)的邊分別為,,，且.(1)求；(2)若，為邊上一點(diǎn)，，，求的面積.【解析】(1)因?yàn)?，由正弦定理得因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，可得所以，即又因?yàn)椋傻?，所以，所以，可得····················?分(2)由知?jiǎng)t，即化簡(jiǎn)得①································································8分在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得而，所以，則，即②····10分由①②得由于，得，代入②得·····················································13分所以的面積為········································15分17.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)分別在棱上，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】(1)連接交于點(diǎn)，連接、、、因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平面································?分(2)因?yàn)橛忠驗(yàn)樗援?dāng)時(shí)取最大值即當(dāng)時(shí)直三棱柱的體積最大············································9分又平面，平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面的法向量為則，取·················································12分又平面的一個(gè)法向量為····················································13分設(shè)平面與平面夾角為，則所以平面與平面夾角的余弦值為···········································15分18.已知雙曲線的漸近線為，焦距為，直線與的右支及漸近線的交點(diǎn)自上至下依次為、、、.(1)求的方程；(2)證明：；(3)求的取值范圍.【解析】(1)由題意知：，則，則·································4分(2)易知的斜率為0時(shí)不成立設(shè)，，，···························6分，，·····································8分線段AB、CD的中點(diǎn)重合··········································································10分(3)································12分O到直線AC的距離······14分令則··························17分19.已知函數(shù),a∈R.(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若恒成立，求的值；(3)求證：，.【解析】(1)時(shí)，在單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，，，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減····················2分當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增··················4分綜上，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，共2個(gè)極值點(diǎn)··········5分(2)，是的極大值點(diǎn)，即····························································7分下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，①當(dāng)時(shí)，，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，···························9分②當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減····················································