突破高中數(shù)學(xué)圓錐曲線必做題

90題突破高中數(shù)學(xué)圓錐曲線

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1.如圖，已知直線L：X=M》+1過橢圓C:J+4=l（q>Z）>0）的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)

ah

A、B在直線G:x=/上的射影依次為點(diǎn)D、Eo

（1）若拋物線/=4島的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程；

（2）（理）連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時，直線AE、BD是否相交于一定

點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。

a2+1—?—

（文）若'（三」,0）為x軸上一點(diǎn),求證：=

2.如圖所示，已知圓C:（x+1）2+J?=8,定點(diǎn)A（1,0）,M為圓上一動點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿

足力川=24尸,稗/陽=0->^^的軌跡為曲線￡。

（1）求曲線E的方程；

（2）若過定點(diǎn)F（0,2）的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間），且滿足河=力而，求2的

取值范圍。

4.設(shè)橢圓［+￡=1（。>6〉0）的離心率為e=*

（1）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為件、L、A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A到此兩焦點(diǎn)的距離之和為4,求橢圓的方程.

（2）求b為何值時,過圓x?+y2=t2上一點(diǎn)M（2,41）處的切線交橢圓于。、Q?兩點(diǎn)，而且OQ」OQz.

5.已知曲線c上任意一點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)FK-石，0）和0）的距離之和為4.

（1）求曲線c的方程；

（2）設(shè)過（0,-2）的直線/與曲線c交于C、D兩點(diǎn)，且而.麗=0（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線，的方程.

6.已知橢圓一+4=1（0<6<1）的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為8.過F、B、C作。P,其中圓

b

心P的坐標(biāo)為（m,n）.

（I）當(dāng)m+n>0時，求橢圓離心率的范圍；

（II）直線AB與。P能否相切？證明你的結(jié)論.

7.有如下結(jié)論："圓，+/=八上一點(diǎn)尸（%,為）處的切線方程為》了+為丁=『2"，類比也有結(jié)論：，，橢圓

X；+=1(。>6>0)上一點(diǎn)尸(x0/o)處的切線方程為誓+岑=1",過橢圓C：二+/=1的右準(zhǔn)線/

a'b'a'b~4

上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B.

(1)求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；

(2)當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時，求^ABM的面積

22

8.已知點(diǎn)P(4,4),圓C：(x-⑼2+丁=5(加<3)與橢圓邑4=有一個公共點(diǎn)A(3,1),%、

/bL

F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PFi與圓C相切.

(I)求m的值與橢圓E的方程；

(II)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點(diǎn)，求萬?通的取值范圍.

9.橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個頂點(diǎn)為4(0,2),右焦點(diǎn)廠與點(diǎn)8(0,JE)的距離為2。

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在斜率4#0的直線/：歹=任-2,使直線/與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N滿足|=|ZN

若存在，求直線/的傾斜角a；若不存在，說明理由。

10.橢圓方程為之+4=1(。>6〉0)的一個頂點(diǎn)為4(0,2),離心率e=—。

a'b3

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/：歹=丘一2(4中0)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N滿足赤=麗，春?加=0,求人。

11.已知橢圓x2+2T=l(0<6<l)的左焦點(diǎn)為F,左右頂點(diǎn)分別為A,C上頂點(diǎn)為B,過F,B,C三點(diǎn)作P,其中

b

圓心P的坐標(biāo)為(加,〃).

(1)若橢圓的離心率6=立，求P的方程；

2

(2)若P的圓心在直線x+y=0上，求橢圓的方程.

x2V2

12.已知直線/:y=x+l與曲線"+彳=1(“>0,6〉0)交于不同的兩點(diǎn)4,8,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

a~b

(I)若|04|=|08I，求證：曲線C是一個圓；

(H)若。當(dāng)且。€［乎,半］時，求曲線。的離心率e的取值范圍.

13.設(shè)橢圓。：「+二=1(。>0)的左、右焦點(diǎn)分別為《、F2,A是橢圓C上的一點(diǎn)，且麗?而=0,坐標(biāo)

a2

原點(diǎn)。到直線/大的距離為:|OGI.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線/交x

軸于點(diǎn)尸(-1,0),較y軸于點(diǎn)M,若遠(yuǎn)=2萬，求直線/的方程.

14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)P(Xo/o)(x。=0)的切線方程為

V-乂)=2方()(x-％)(。為常數(shù)).

(I)求拋物線方程；

(II)斜率為占的直線PA與拋物線的另一交息曳A,笆為左2的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為B(A、B兩點(diǎn)

不同)，且滿足&+瓶?=0(4工0"/-1),若瓦瓦=/1而，求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；

(III)在(II)的條件下，當(dāng);1=1,匕<0時，若P的坐標(biāo)為(1,-1),求NPAB為鈍角時點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取

值范圍.

15.已知動點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2,點(diǎn)P在線段AB上，且萬=/為。是不為零的常數(shù)).設(shè)

點(diǎn)P的軌跡方程為Co

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程C；

3

(2)若t=2,點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個動點(diǎn)(M、N不在坐標(biāo)軸上)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(,,3),求ACIMN

的面積S的最大值。

16.設(shè)4玉,%),8區(qū)/2)是橢圓=+與=1(。>8>0)上的兩點(diǎn)，已知沅=(2,")，萬=(?,匹)，若

ahbaba

而?萬=0且橢圓的離心率e=—,短軸長為2,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

2

(I)求橢圓的方程；

(II)若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F(0,c),(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值；

(III)試問：AAOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由

x22

17.如圖，F(xiàn)是橢圓=+vJ=l/a>b>0)的一個焦點(diǎn)，4,8是橢圓的兩個頂點(diǎn),

ab-

橢圓的離心率為點(diǎn)C在x軸上，BC±BF,B,C,F三點(diǎn)確定的圓M恰

2

好與直線/i：工+百卜+3=0相切.

(I)求橢圓的方程：

(II)過點(diǎn)A的直線L與圓M交于PQ兩點(diǎn)，且而?荻=一2,求直線

/2的方程.

18.如圖，橢圓長軸端點(diǎn)為48，。為橢圓中心，咒為橢圓的右焦點(diǎn)，且

萬?麗=1口萬卜1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為"，

直線/交橢圓于P,。兩點(diǎn)，問：是否存在直線/,使點(diǎn)E恰為APQM的垂

心？若存在，求出直線/的方程;若不存在，請說明理由.

19.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為且，且經(jīng)過

2

點(diǎn)”(4,1).直線/:丁=%+加交橢圓于48兩不同的點(diǎn).

⑴求橢圓的方程；

(2)求機(jī)的取值范圍；

(3)若直線/不過點(diǎn)加■，求證：直線A仍與x軸圍成?個等腰三角形.

20.設(shè)廠(1,0),點(diǎn)/在x軸上，點(diǎn)尸在y軸上，且MN=2MP,PMLPF

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時，求點(diǎn)N的軌跡。的方程；

(2)設(shè)圖2,乂),6(》2，%),。(》3，月)是曲線。上的點(diǎn)，月」萬1，1麗1，1加1成等差數(shù)列，當(dāng)?shù)拇怪逼?/p>

分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時，求8點(diǎn)坐標(biāo).

21.已知點(diǎn)8(-1,0),C(l,0),P是平面上一動點(diǎn)，且滿足|京|?|前|=麗?麗

(1)求點(diǎn)P的軌跡C對應(yīng)的方程；

(2)已知點(diǎn)4加,2)在曲線C上，過點(diǎn)N作曲線C的兩條弦/。和ZE,且判斷：直線0E是否

過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.

22.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過2(—2,0)、8(2,0)、三點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程：

(2)若點(diǎn)。為橢圓E上不同于N、3的任意一點(diǎn)，F(xiàn)(-l,0),7/(l,0),當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時。

求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；

(3)若直線I:y=k(x—l)(k*0)與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x=4

上.

23.過直角坐標(biāo)平面中的拋物線丁2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)E作條傾斜角為5的直線與拋物線相交于A,B

兩點(diǎn)。,

(1)用p表示A,B之間的距離；

(2)證明：NN08的大小是與p無關(guān)的定值，并求出這個值。*X

24.設(shè)耳，鳥分別是橢圓C：1r+方=1(。>6>0)的左右焦點(diǎn)一■

(1)設(shè)橢圓C上的點(diǎn)(G,等)到耳，工兩點(diǎn)距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)。

(2)設(shè)K是(1)中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段時的中點(diǎn)B的軌跡方程。

(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在，

并記為kpM，KpN試探究爆材.KpN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。

25.已知橢圓G：/+(?=1(。>6>0)的離心率為y,直線/：丁=X+2與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓&的短半軸

長為半徑的圓相切.

(I)求橢圓G的方程；

(II)設(shè)橢圓G的左焦點(diǎn)為6,右焦點(diǎn)與，直線4過點(diǎn)大且垂直于橢圓的長軸，動直線12垂直4于點(diǎn)尸，線段里

垂直平分線交4于點(diǎn)〃，求點(diǎn)〃的軌跡G的方程；

(III)設(shè)。2與X軸交于點(diǎn)。，不同的兩點(diǎn)RS在G上，且滿足班?麗=0,求|0耳的取值范圍.

26.如圖所示，已知橢圓C：三+4=1（a>b>0）,K、鳥為其左、

ab

右焦點(diǎn)，/為右頂點(diǎn)，/為左準(zhǔn)線，過大的直線//：1=沖-c與橢圓

—>—>1

相交于尸、。兩點(diǎn)，且有：AP-AQ^-（a+c）2（c為橢圓的半焦距）

（1）求橢圓。的離心率e的最小值；

12

（2）若ee（一,一），求實數(shù)機(jī)的取值范圍；

（3）若4PC]I=M,4QCI=N,求證：M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值;

27.已知橢圓X?+乙=l（be（0,1））的左焦點(diǎn)為R,左右頂點(diǎn)分別為4C,上頂點(diǎn)為8,過尸,8,。三點(diǎn)作圓尸,

b~

其中圓心P的坐標(biāo)為（利,〃）

（1）當(dāng)〃?+〃>0時，橢圓的離心率的取值范圍

（2）直線Z8能否和圓尸相切？證明你的結(jié)論

28.已知點(diǎn)A（-1,0）,B（1,-1）和拋物線.C:_/=4x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

過點(diǎn)A的動直線/交拋物線C于/W、P,直線M8交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如

圖.

（I）證明：西?而為定值；

5----—*

（II）若△POM的面積為一，求向量?！ㄅcOP的夾角；

2

（III）證明直線PQ恒過一個定點(diǎn).

29.已知橢圓C：y+^-=1上動點(diǎn)尸到定點(diǎn)M（相,0）淇中0（根<2的距離歸根的最小值為1.

（1）請確定M點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線/，使/與橢圓C的兩個交點(diǎn)A、B滿足條件|刀+礪卜?司（0為原點(diǎn)），

若存在，求出/的方程，若不存在請說是理由。

30.已知橢圓/+3/=5,直線/:y=Hx+l）與橢圓相交于46兩點(diǎn).

（I）若線段48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一!，求直線Z8的方程；

2

（II）在x軸上是否存在點(diǎn)〃（朋,0）,使必?礪的值與左無關(guān)？若存在，求出加的值；若不存在，請說明理

由.

31.直線人13過拋物線/=20（?>0）的焦點(diǎn)F,并與其相交于A、B兩點(diǎn)。Q是線段AB的中點(diǎn)，M是拋物線的

準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn).0是坐標(biāo)原點(diǎn)..

（I）求忘?標(biāo)的取值范圍；

（II）過A、B兩點(diǎn)分別作此撒物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn).求證：MNOF^O,NQ//OF

（Ill）若P是不為1的正整數(shù)，當(dāng)前?蕨=4尸2,AABN的面積的取值范圍為（56,206］時，求該拋物線

的方程.

32.如圖，設(shè)拋物線弓：y2=4mx（加>0）的準(zhǔn)線與x軸交于片，焦點(diǎn)為石；以片、鳥為焦點(diǎn)，離心率e=g的

橢圓與拋物線G在x軸上方的一個交點(diǎn)為P.

（I）當(dāng)機(jī)=1時，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；

（II）在（1）的條件下，直線/經(jīng)過橢圓C2的右焦點(diǎn)用，與拋物線J交于4、4,如果以線段44為直徑作

圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

（III）是否存在實數(shù)加，使得的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)陰；若不存在，請說明

理由.

33.已知點(diǎn)/（—1,0）,8（1,0）和動點(diǎn)尸滿足：4P8=26,且存在正常數(shù)相，使得歸4歸卻0052。=*

（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程。

（2）設(shè)直線/:y=x+l與曲線C相交于兩點(diǎn)E,F,且與y軸的交點(diǎn)為D。若無=（2+J5）而，求加的值。

34.已知橢圓=+4=1（。>6>0）的右準(zhǔn)線4:x=2與x軸相交于點(diǎn)D,右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為V2,

ab~

點(diǎn)C（儀0）是線段OF上的一個動點(diǎn).

（I）求橢圓的方程；

（II）是否存在過點(diǎn)尸且與x軸不垂直的直線/與橢圓交于A、6兩點(diǎn)，使得（B+而）_L互彳,并說明理由.

35.已知橢圓C：―j-+=1（47>>0）.

ab

73

（1）若橢圓的長軸長為4,離心率為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)M（0,2）的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)2、B,且4。8為銳角（其中。

為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線/的斜率k的取值范圍；

X2v2

(3)如圖，過原點(diǎn)O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓彳+彳=1(。>6>0)相交于尸,5,凡0四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)。

到四邊形PQSH-邊的距離為d,試求d=1時。力滿足的條件.

36.已知7=(1,0),"=(0,J5),若過定點(diǎn)4。,、歷)、以彳一茂(aeR)為法向量的直線4與過點(diǎn)5(0,-V2)以

"+應(yīng)為法向量的直線6相交于動點(diǎn)P.

(1)求直線4和4的方程；

(2)求直線4和12的斜率之積％他的值，并證明必存在兩個定點(diǎn)E,F,使得|而|+1所卜恒為定值：

⑶在(2)的條件下，若MN是/:x=2j^上的兩個動點(diǎn)，且兩?麗=0,試問當(dāng)|MV|取最小值時，向量

前+麗與麗是否平行，并說明理由。

37.已知點(diǎn)5(0,/),點(diǎn)C(0,/—4)(其中0〈/<4),直線P8、PC都是圓〃：(x-+/=i的切線.

(I)若APBC面積等于6,求過點(diǎn)P的拋物線;/=2px(p>0)的方程；

(II)若點(diǎn)尸在丁軸右邊，求AP8C面積的最小值.

38.我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到宜線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似

的判別方法嗎？請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。

22

(1)設(shè)F］、F2是橢圓“：3—+匕=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)Fi、F2到直線￡：、歷X—J+6=0的距離分別為必、

259

d2,試求d「d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。

2V2

(2)設(shè)h、F2是橢圓M:%-方+彳=1(。>6〉0)的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)Fl、F?到直線A：mx++P=0(m、n不

同時為0)的距離分別為山、d2,且直線L與橢圓M相切，試求d「d2的值。

(3)試寫出一個能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。

(4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證明)。

39.已知點(diǎn)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是準(zhǔn)線/上的動點(diǎn)，直線尸產(chǎn)交,y

拋物線C于48兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為〃7(加/0),點(diǎn)。為準(zhǔn)線/與X軸的X

交點(diǎn).

(I)求直線PP的方程；(H)求AZX48的面積S范圍；一書F

(III)設(shè)#=/1而，萬=〃而，求證;1+〃為定值.、

40.已知橢圓G：5+方=1(?！?>0)的離心率為券，直線/：y=x+2與以

原點(diǎn)為圓心、以橢圓￡的短半軸長為半徑的圓相切.

(I)求橢圓G的方程；

(II)設(shè)橢圓G的左焦點(diǎn)為片，右焦點(diǎn)鳥，直線4過點(diǎn)與且垂直于橢圓的長軸，動直線乙垂直6于點(diǎn)尸，線

段垂直平分線交4于點(diǎn)/，求點(diǎn)”的軌跡G的方程；

(III)設(shè)G與X軸交于點(diǎn)。，不同的兩點(diǎn)R,s在G上，且滿足赤?麗=0,求軟可的取值范圍.

41.已知以向量v=(l,；)為方向向量的直線/過點(diǎn)(0,j),拋物線C：/=2px(p〉0)的頂點(diǎn)關(guān)于直線/的對

稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)4、8是拋物線。上的兩個動點(diǎn)，過工作平行于x軸的直線機(jī)，直線。8與直線機(jī)交于點(diǎn)N,若

OAOB+p2=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8異于點(diǎn)O),試求點(diǎn)N的軌跡方程。

42.如圖，設(shè)拋物線G：y2=4wx(加＞0)的準(zhǔn)線與x軸交于耳，焦點(diǎn)為鳥；以片、鳥為焦點(diǎn)，離心率e=g的

橢圓外與拋物線q在x軸上方的一個交點(diǎn)為P.

(I)當(dāng)加=1時，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；

(II)在(I)的條件下，直線/經(jīng)過橢圓G的右焦點(diǎn)瑪，

與拋物線q交于4、4,如果以線段44為直徑作圓，

試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

(III)是否存在實數(shù)加，使得A/記月的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)〃?；若不存在，請說明

理由.

2

43.設(shè)橢圓C:，+^=1(。〉6〉0)的一個頂點(diǎn)與拋物線C.X=4島的焦點(diǎn)重合，K，F(xiàn)2分別是橢圓的左、

右焦點(diǎn)，且離心率e=，?且過橢圓右焦點(diǎn)8的直線/與橢圓C交于A/、N兩點(diǎn).

2

(I)求橢圓C的方程；_

(II)是否存在直線/,使得麗?麗=-2.若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

(III)若是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)0的弦，MNHAB,求證：L以為定值.

\MN\

44.設(shè)F是拋物線/=4m＞0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)M(—1,0)且以］=(2,1)為方向向量的直線順次交拋物線于A,B

兩點(diǎn)。

..?TT

(I)當(dāng)2=2時，若F4與EB的夾角為二,求拋物線的方程；

3

(II)若點(diǎn)46滿足成=；(而+而)，證明加不為定值，并求此時的面積

45.已知點(diǎn)H(-3,0),點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)0在x軸的正半軸上，點(diǎn)〃在直線尸0上，且滿足

2PM++MQ=0,RPPM^0.

(I)當(dāng)點(diǎn)尸在y軸上移動時，求點(diǎn)〃的軌跡C的方程；

(II)設(shè)N(x”必)、8(》2，%)為軌跡。上兩點(diǎn)，且七＞1,弘＞0,N(l,0),求實數(shù)九，使凝=2赤，且

16

AB

T

v-22

22

46.已知橢圓G:=+J=Ka>方〉0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,P為C?上任一點(diǎn),MN是圓C2,x+(y-3)=1

ab

的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為3-正的直線/恰好與圓G相切。

(1)已知橢圓￡的離心率；

(2)若麗?麗的最大值為49,求橢圓C1的方程.

47.已知直線/與曲線C：三+以=1交于48兩點(diǎn)，48的中點(diǎn)為若直線Z8和為坐標(biāo)原點(diǎn))的

mn

n

斜率都存在，則?壇M=-一.這個性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

m

(I)證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；

(II)利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：過點(diǎn)尸(1,1)作直線/與橢圓?+券=1交于48兩點(diǎn)，

求48的中點(diǎn)A1的軌跡用的方程；過點(diǎn)P(1,1)作直線/'與有心圓錐曲線。'：丘2+/=1(%/0)交于￡、F兩

點(diǎn)，是否存在這樣的直線/'使點(diǎn)P為線段"的中點(diǎn)？若存在，求直線/'的方程；若不存在，說明理由.

48.橢圓的中心為原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在歹軸上，離心率6=白，過P(0,l)的直線/與橢圓交于4、8兩點(diǎn)，且

~AP=2PB,求ZU08面積的最大值及取得最大值時橢圓的方程.

49.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=坐，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為be,直線1與

y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且AP=APB.

(1)求橢圓方程；

(2)若正+丸加=40P,求加的取值范圍.

50.已知點(diǎn)A是拋物線/=2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，與x軸交于點(diǎn)K,已知IAK|=&|

AF|,三角形AFK的面積等于8.

(1)求p的值；

(2)過該拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線人4，與拋物線相交得兩條弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為G,H.求

IGHI的最小值.

51.已知點(diǎn)火(-3,0),點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)0在x軸的正半軸上，點(diǎn)M

在直線尸0上，且滿足2麗++荻=0,而?麗=0.

(I)當(dāng)點(diǎn)尸在y軸上移動時，求點(diǎn)〃的軌跡C的方程；

(II)設(shè)N(X],必)、8(》2，%)為軌跡。上兩點(diǎn)，且X]>1,

%>0,N(l,0),求實數(shù)幾，使4B=兀4N,且

52.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于0M的直

線L在y軸上的截距為L交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。

(1)求橢圓的方程；

(2)求m的取值范圍；

(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。

53.已知橢圓j+2r=1(?！?>0)上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的最小距離是血-1,E到上頂點(diǎn)的距離為拉，點(diǎn)

ah

C(/M,0)是線段?？谏系囊粋€動點(diǎn).

(I)求橢圓的方程；

(II)是否存在過點(diǎn)P且與x軸不垂直的直線/與橢圓交于4、8兩點(diǎn)，使得(*+在)_1或，并說明理也

54.已知橢圓二+匕=1的上、下焦點(diǎn)分別為M、N,點(diǎn)尸為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足

1216

\MN\-\MP\+MN-NP^0

(1)求動點(diǎn)尸的軌跡。的方程；

(2)過點(diǎn)N(3,-2)作曲線G的兩條切線，切點(diǎn)分別為“、/，求直線印的方程：

(3)在直線/:x-y=0上否存在點(diǎn)。，過該點(diǎn)作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為6、C,使得

\QB+QC^\QB-QC\，若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由。

55.已知拋物線刀2=8少的焦點(diǎn)為/，/、6是拋物線上的兩動點(diǎn)，且萬：=幾而(九>0),過Z、8兩點(diǎn)分別作拋

物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為加

(1)證明線段尸M被x軸平分

⑵計算前?前的值

(3)求證

X2/

56.已知4,4,8是橢圓7+F=1(。>6>0)的頂點(diǎn)(如圖)，直線/

與橢圓交于異于頂點(diǎn)的P,Q兩點(diǎn),且/〃4兒若橢圓的離心率是巨

且|“|=6

(1)求此橢圓的方程；(2)設(shè)直線4P和直線8。的傾斜角分

別為a,￡.試判斷a+尸是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由.

相⑼、°《三點(diǎn)?過橢圓的右焦點(diǎn)

57.已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過/(-2,0)、

F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線/與橢圓￡交于A/、N兩點(diǎn)，與8N所在的直線交于點(diǎn)Q.

(1)求橢圓E的方程：

(2)是否存在這樣直線加，使得點(diǎn)Q恒在直線加上移動？若存在，求出直線加方程，若不存在,請說明理由.

58.已知方向向量為v=(1,V3)的直線I過點(diǎn)(0,-2JJ)和橢圓C:q=1(?！?〉0)的右焦點(diǎn)，且橢圓的離

ah

心率為---.

3

(I)求橢圓。的方程；

(H)若已知點(diǎn)。(3,0),點(diǎn)M,N是橢圓。上不重合的兩點(diǎn)，且兩=4而，求實數(shù)丸的取值范圍.

22

59.已知件小是橢圓C:三+2r=1(a〉b〉0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P(-四,1)在橢圓上，線段PH與y軸的交點(diǎn)

a'b~

M滿足兩+可7=0。

(1)求橢圓C的方程。

(2)橢圓C上任一動點(diǎn)M(x。，為)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為此(xby,)，求3x「4yi的取值范圍。

一

60.已知4民。均在橢圓“：=+/=1(。＞1)上，直線48、NC分別過橢圓的左右焦點(diǎn)修、F2,當(dāng)

a

,一.，，一...2

NC?大乙=0時，有9AFI，AF2=AF].

(I)求橢圓加的方程；

(II)設(shè)尸是橢圓M上的任一點(diǎn)，跖為圓N:，+。-2)2=1的任一條直徑，求而?麗的最大值.

4

61.已知離心率為w的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為

2國。

(I)求橢圓及雙曲線的方程；

(II)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為4B,在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)尸，連結(jié)8尸交橢圓于點(diǎn)連結(jié)P4

并延長交橢圓于點(diǎn)N,若詢=麗。求四邊形NN8M的面積。

62.已知橢圓C：/+工-=1,過點(diǎn)M(0,3)的直線/與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、8.

4

(I)若/與x軸相交于點(diǎn)N,且A是/WN的中點(diǎn)，求直線/的方程；

(II)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且0N+礪=/1而(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).求當(dāng)時，實數(shù)4的取值范圍.

2

63.已知橢圓C：/+匕=1,過點(diǎn)M(O,1)的直線/與橢圓C相交于兩點(diǎn)4B.

4

(I)若/與x軸相交于點(diǎn)P,且P為AM的中點(diǎn)，求直線/的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)N(0,；),求|麗+麗|的最大值.

64.已知￡，尸?分別為橢圓：+與=1的左、右焦點(diǎn)，直線乙過點(diǎn)大且垂直于橢圓的長軸，動直線G垂直于直

線垂足為。，線段。B的垂直平分線交72于點(diǎn)

(I)求動點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(II)過點(diǎn)與作直線交曲線C于兩個不同的點(diǎn)P和Q,設(shè)品=2品，若26[2,3],求品?品的取值范

圍。

3

65.已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線夕=5》與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是"，點(diǎn)河在x軸

——■——?9

上的射影恰好是橢圓C的右焦點(diǎn)與，另一個焦點(diǎn)是片，且兒陰?“￡=1。

(1)求橢圓。的方程；

(2)直線/過點(diǎn)(-1,0),且與橢圓。交于尸,。兩點(diǎn)，求轉(zhuǎn)。。的內(nèi)切圓面積的最大值

22

66.橢圓*?+%=1(?！?〉0)的長軸為短軸的后倍，直線V=x與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，C為橢圓的右項點(diǎn)，

—*—,3

OAOC=~.

2

(I)求橢圓的方程；

(II)若橢圓上兩點(diǎn)E、F使瓦+而=45^"e(0,2),求AOEF面積的最大值

67.已知橢圓￡：4+匚=1(<7功>0),以以(匕0)為圓心，以a-c為半徑作圓日，過點(diǎn)(0力)作圓色的兩條切

a2b2

線，設(shè)切點(diǎn)為M,N.

⑴若過兩個切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)Bi(0,-b)時，求此橢圓的離心率；

(2)若直線的斜率為-1,且原點(diǎn)到直線MN的距離為4(VI-1)，求此時的橢圓方程；

(3)是否存在橢圓E,使得直線M/V的斜率k在區(qū)間(-變，-五)內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的

23

取值范圍；若不存在，請說明理由.

68.已知4B是拋物線》2=2外(p>0)上的兩個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

非零向量滿足向+得=向-西.

(I)求證：直線經(jīng)過一定點(diǎn)；

(II)當(dāng)N8的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的最小值為羋時，求p的值

69.如圖，已知直線/：歹=去一2與拋物線C：/=一2"(p〉0)交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

04+05=(-4,-12)?

(I)求直線/和拋物線C的方程；

(II)拋物線上動點(diǎn)P從A到B運(yùn)動時，求△ABP面積最大值.

70.已知橢圓「的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,它的一個頂點(diǎn)B恰好是拋物線片LX?

4

的焦點(diǎn)，離心率等于且.直線/與橢圓「交于M,N兩點(diǎn).

2

(I)求橢圓r的方程；

(II)橢圓1、的右焦點(diǎn)E是否可以為的垂心？若可以，求出直線/的方程;若不可以,請說明理由.

71.記平面內(nèi)動點(diǎn)M到兩條相交于原點(diǎn)。的直線4,12的距離分別為4,內(nèi),研究滿足下列條件下動點(diǎn)M的軌跡

方程C.

(1)已知直線/一，2的方程為：y=±—x,

(a)若d：+d；=6,指出方程C所表示曲線的形狀；

(b)若4+出=4,求方程C所表示的曲線所圍成區(qū)域的面積；

(c)若44=12,研究方程C所表示曲線的性質(zhì)，寫出3個結(jié)論.

(2)若d；+d；=2/,試用。力表示常數(shù)d及直線4,4的方程，使得動點(diǎn)”的軌跡方程C恰為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2V2

程Fx+J=1(a>b>0).

a2b2

72.已知橢圓c：￡+《=ig>6>o)的離心率為孚，并且直線尸x+6是拋物線/=4x的一條切線。

a"b2

(I)求橢圓的方程；

(II)過點(diǎn)S(0,-；)的動直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T,使得以AB為

直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理山。

73.已知點(diǎn)P(4,4),圓C：(x-%>+y2=5(機(jī)<3)與橢圓E.

.22

$■+方=1(。>0,6〉0)的一個公共點(diǎn)為A(3,1),F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右

焦點(diǎn)，直線尸耳與圓C相切。

(1)求m的值與橢圓E的方程；

(2)設(shè)D為直線PF1與圓C的切點(diǎn)，在橢圓E上是否存在點(diǎn)Q，使△PDQ是以PD為底的等腰三角形？若存在,

請指出共有幾個這樣的點(diǎn)？并說明理由。

x2V21

74.已知橢圓G：*?+方=1(。>6>0)的長軸長為4,離心率為6,用分別為其左右焦點(diǎn).一動圓過點(diǎn)與，

且與直線x=-l相切.

(1)(i)求橢圓G的方程；(打)求動圓圓心軌跡C的方程；

(H)在曲線。上有四個不同的點(diǎn)M,N,P,0,滿足麗與近共線，麗

求四邊形尸及QN面積的最小值.

x2v21

75.如圖，已知橢圓二+方=1(。>6〉0)長軸長為4,高心率為萬.過點(diǎn)

(0,-2)的直線/交橢圓于48兩點(diǎn)、交x軸于P點(diǎn)，點(diǎn)Z關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)

為C,直線3C交x軸于。點(diǎn)。

(I)求橢圓方程；

(II)探究：|OP|?|O0|是否為常數(shù)？

76.設(shè)橢圓。:三+5=1(?！?〉0)的上頂點(diǎn)為Z,橢圓C上兩點(diǎn)P,。在x軸上的射影分別為左焦點(diǎn)F1和右焦

ah~

3

點(diǎn)工，直線尸。的斜率為5，過點(diǎn)/且與//垂直的直線與x軸交于點(diǎn)8,的外接圓為圓用.

(1)求橢圓的離心率；

⑵直線3x+4y+z1a.2=o與圓〃相交于瓦尸兩點(diǎn)，且——〃可---放--二一萬1片、,求橢圓方程；

(3)設(shè)點(diǎn)N(0,3)在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于6及，求橢圓C的短軸長的取值范

圍.

77.已知直線/：y=kx+2(左為常數(shù))過橢圓［+與=1(a>b>0)

a2b2

的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,直線/被圓+y2=4截得的弦長為d.

(1)若d=26,求人的值；

(2)若dN3也,求橢圓離心率e的取值范圍.

y>0

78.已知可行域卜—③+2?0的外接圓C與x軸交于點(diǎn)A1、A］,橢圓C|以線段A1A2為長軸，離心率

yf3x+y_2V3W0

V2

e=——

2

(I)求圓C及橢圓G的方程；

(II)設(shè)橢圓Cl的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為圓C上異于A1、A2的動點(diǎn)，過原點(diǎn)0作直線PF的垂線交直線X

=2夜于點(diǎn)Q,判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明.

79.若橢圓￡:0+4=1和橢圓之：［+4=1滿足

a；b；-a}b；

幺=h=m(根>0),則稱這兩個橢圓相似，山稱為其相似比。

a2b2

L2y2

(1)求經(jīng)過點(diǎn)(2,而)，且與橢圓X彳+；=1相似的橢圓方程。

(2)設(shè)過原點(diǎn)的一條射線/分別與(1)中的兩個橢圓交于A、B兩點(diǎn)(其

中點(diǎn)A在線段OB上)，求\OA\+：--r的最大值和最小值.

11|(?5|

5

80.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=",橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為l-e,直線/與

2

y軸交于P點(diǎn)(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且4P=4PB.

(1)求橢圓方程;(2)若。1+408=40尸，求利的取值范圍.

81.設(shè)i,/為直角坐標(biāo)系中的單位向量，a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,|a|+|^|=8(>

(1)求動點(diǎn)"(xj)的軌跡C的方程;

(2)過點(diǎn)(0,3)作直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若麗二次+礪，是否存在直線/使得。4尸8為矩形?若存

在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

82.如圖，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率e=E,/、8分別是橢圓的長軸、短軸的端點(diǎn)，原點(diǎn)。

2

到直線N8的距離為y—。

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)已知E(3,0),設(shè)點(diǎn)四、N是橢圓上的兩個動點(diǎn),

滿址EMLEN,求麗?麗的取值范圍.

83.已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一個頂點(diǎn)為A(0,-1)。若右焦點(diǎn)到直線工-卜+2啦=0的距離為3.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)橢圓與直線N=丘+〃?(左#0)相交于不同的兩點(diǎn)乂、N.當(dāng)=時，求m的取值范圍.

84.已知直線L過拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，Q是線段AB的中點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)

線與y軸的交點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)

(1)若直線L與x軸平行，且直線與拋物線所圍區(qū)域的面積為6,求p的值.

(2)過A,B兩點(diǎn)分別作該拋物線的切線，兩切線相交于N點(diǎn)，求證：NQ//OF,MN1OF

(3)若p是不為1的正整數(shù)，當(dāng)訪?標(biāo)=4p2,4ABN的面積的取值范圍為卜0,200］時，求：該拋物線

的方程.

85.已知曲線C的方程為/