2019-2020學(xué)年浙江省寧波市九校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2019-2020學(xué)年浙江省寧波市九校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：每小題4分，共40分

1.（4分）拋物線y=4/的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

A.(1,0)B.(0,1)C.(工o)D(0'*

16

2.(4分)若復(fù)數(shù)z滿足(1-20z=|3+4i|,則z的虛部為（)

A.-萬B.2zC.2D.-2

3.(4分)設(shè)I,m是兩條不同的直線,a是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（）

A.若Z±m(xù),mca,貝Ul_LaB.若/J_a,m_La,貝!]/〃加

C.若1〃m,mua,則I//aD.若/〃a,m//a,則/〃加

4.（4分）設(shè)贏=（1,1,-2),QB=(3,2,8),0C=(0,1,0),則線段AB的中點(diǎn)

P到點(diǎn)C的距離為)

A.運(yùn)「V53

B.V-?----D

224-f

5.（4分）已知A,B,C,。是空間四個(gè)不同的點(diǎn),則“AC與3。是異面直線”是“AD與

BC是異面直線”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.（4分）以下關(guān)于圓錐曲線的命題中:

2222

①雙曲線旨_[_=1與橢圓前轟“有相同焦點(diǎn)

；②以拋物線的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)

線是相切的；

③設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，%為常數(shù)，若陷-|尸8|=左，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線；

④過拋物線『=標(biāo)的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于A、B,則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5

的直線有且只有兩條；

以上命題正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

22

7.（4分）已知雙曲線C：彳-工了=1（。＞。，匕＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為為，凡，過歷

作平行于C的漸近線的直線交。于點(diǎn)P,若尸為，尸尸2,則c的離心率為（）

A.V2B.MC.2D.煙

8.（4分）如圖，己知正四棱錐尸-ABC。的各棱長均相等，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端

點(diǎn)），N是的中點(diǎn)，分別記二面角P-MV-C,P-AB-C,P-MD-C為式,0,丫,

貝IJ（）

A.y<a<PB.a<y<pC.a<P<yD.p<a<y

9.（4分）設(shè)橢圓E：號(hào)+^^=1（。＞6＞。）的一個(gè)焦點(diǎn)/（2,0）點(diǎn)A（-2,1）為橢圓

abz

E內(nèi)一點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)P,使得|B4|+|Pf]=8,則橢圓E的離心率的取值范圍是

（）

A?哈,41B.（卷,1）C,[I,1）D,

10.（4分）已知拋物線丁=4無，過點(diǎn)A（1,2）作直線/交拋物線于另一點(diǎn)2,0是線段

AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作與y軸垂直的直線h，交拋物線于點(diǎn)C,若點(diǎn)P滿足玩=而，則|OP|

的最小值是（）

C.1D.V2

A4B.券

二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分

11.（4分）設(shè)復(fù)數(shù)Z]=a+^i,z2=a-^y-i其中，是虛數(shù)單位，若至為純虛數(shù)，則實(shí)

Z1

數(shù)。=；\Zl\=.

12.（4分）已知圓C：（x+3）2+y2=48和點(diǎn)B（3,0）,尸是圓上一點(diǎn)，線段B尸的垂直平

分線交CP于M點(diǎn)，則〃點(diǎn)的軌跡方程為；若直線/與M點(diǎn)的軌跡相交，且相

交弦的中點(diǎn)為尸（2,1）,則直線/的方程是.

13.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,俯視圖為正三角形，則該幾何體的體

積（單位：cm3）是一，該幾何體的表面積（單位：cm2）是.

側(cè)視圖

.-*.—*.—

14.（4分）在正四面體ABC。中，M,N分別為棱BC、A2的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AC=b，AD=C，

用Z，b，W表示向量誣=，異面直線。M與CN所成角的余弦值為

15.（4分）雙曲線E：號(hào)-勺1（2>0,6>0）的漸近線為菱形。42c的邊。4,0c所

在的直線，點(diǎn)2（2,0）為雙曲線的焦點(diǎn)，若NAOC=120°,則雙曲線的方程為.

16.（4分）邊長為2的等邊AABC和直角△A3。所在半平面構(gòu)成60°的二面角，當(dāng)乙4Q8

=90°,ZCiAB=30°時(shí)，線段CCi的長度為.

17.（4分）如圖，在△ABC中，AB=1,BC=2A/2,g=2L,將△ABC繞邊A3翻轉(zhuǎn)至△ABP,

4

使面A8PL面ABC,。是8C的中點(diǎn)，設(shè)。是線段必上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)PC與。。所成角

取得最小值時(shí)，線段AQ的長度為.

18.已知條件）：“存在xeR,3，+（2a-1）x+3<0"，條件q：“曲線Ci：2T+"上一=1表

/2a+8

22

示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓”，條件S:“曲線C2：JL_=l（t>0）表示雙曲線”.

a-3ta-4t

(1)若p與q同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若s是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CD為梯形，AD//BC,AB=BC=CD=LDA

=2,OP_L平面48P,O,M分別是A。，PB的中點(diǎn).

(I)求證：尸?！ㄆ矫鍻CM；

(II)若AP與平面尸2。所成的角為60°,求線段的長.

20.在所有棱長都相等的三棱柱ABC-A1SQ中，ZBrBC=60°.

(1)證明：ABi±BCi；

(2)若二面角A-BC-S的大小為60°,求8cl與平面A8C所成角的正弦值.

21.如圖，已知拋物線C：,=4y上一點(diǎn)Q(-2,1),過點(diǎn)。作直線。7交拋物線C于另

一點(diǎn)T,點(diǎn)8在線段。7上，點(diǎn)M在拋物線C上，軸，于點(diǎn)A.

(1)若T(當(dāng)，半)，求IK4I；

39

(2)求使等式IQ為2=|QA|?|Q7］恒成立的直線。7的方程.

22.圓，+/=4上有一動(dòng)點(diǎn)p,2在x

軸的上方，C(1,0),直線也交橢圓E于點(diǎn)D連結(jié)。C,PB.

（1）若NAZ）C=90°,求△AOC的面積S；

（2）設(shè)直線P8,￡>C的斜率存在且分別為所，近，若M=入依，求人的取值范圍.

2019-2020學(xué)年浙江省寧波市九校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：每小題4分，共40分

1.（4分）拋物線y=4’的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

(工o)D.(0,吉)

A.(1,0)B.(0,1)C.

16

【分析】將拋物線化簡得/=Ly,解出工結(jié)合拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即得所

4-2P16

求焦點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：???拋物線的方程為y=4，，即x2=1y

2p=—>解得工1

42P16

因此拋物線y=4無2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（o,-L）.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線方程，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)

方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（4分）若復(fù)數(shù)z滿足（1-2z）z=|3+4i|,則z的虛部為（）

A.-2zB.2zC.2D.-2

【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【解答】解：由(1-2z)z=|3+4i|=值:?=5,

55(l+2i)

得2=

l-2i-(l-2i)(l+2i)-=l+2i>

...Z的虛部為2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念與復(fù)數(shù)模的求法，是

基礎(chǔ)題.

3.（4分）設(shè)/,m是兩條不同的直線,a是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（

A.若/_1_機(jī),mca,貝IZ±aB.若/J_a,；7?±a,則/〃機(jī)

C.若I//m,mca,貝!JI//aD.若/〃a,m//a,則/〃

【分析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得到A錯(cuò)誤，垂直于同一平面的兩直線平行,

得到B正確，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，得到C錯(cuò)誤；根據(jù)平行于同一平面的直

線的位置關(guān)系，通過舉反例得到D錯(cuò)誤.

【解答】解：對(duì)于4直線/只與平面。內(nèi)的一條件直線垂直，不能得到直線/與平面。

垂直，故A錯(cuò)；

對(duì)于3,垂直于同一平面的兩直線平行，故2正確；

對(duì)于C,若/〃a,7"ua,且/在平面。外，則可以得到/〃。

但題設(shè)中沒有/Ca,故不一定/〃a,C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，可設(shè)平面。是正方體的下底面，

而/、根是上底面相鄰的邊，此口寸有/〃a,m//a,

但/與根是相交直線，得不出/〃加，故。錯(cuò).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題以命題真假的判斷為載體，考查了空間直線與平面垂直、平行的判斷和空

間直線位置關(guān)系的判斷等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題也是易錯(cuò)題目.

4.（4分）設(shè)丞=（1,1,-2）,QB=（3,2,8）,QC=（0,1,0）,則線段A2的中點(diǎn)

P到點(diǎn)C的距離為（）

A.B.2/HC.D.

2244

【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再利用模的計(jì)算公式即可.

【解答】解：：而小贏+而）=（2,-1,3）.

?*-CP=（2,3）.

???同聲喬奇=亨

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)、模的計(jì)算公式是解題的關(guān)

鍵》

5.（4分）已知A,B,C,。是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，則“AC與8。是異面直線”是與

3c是異面直線”的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【分析】利用反證法可得，由AC與3。是異面直線，可得與是異面直線，反之

成立.結(jié)合充分必要條件的得答案.

【解答】解：AC與8。是異面直線，假設(shè)與共面，則AC與3。平行或相交，則

共面，這與AC與8。是異面直線矛盾，假設(shè)不成立，則與BC是異面直線；

反之成立.

“AC與2。是異面直線”是與BC是異面直線”的充要條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的定義的應(yīng)用，考查充分必要條件的判定，考查空間想象能

力以及邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題.

6.（4分）以下關(guān)于圓錐曲線的命題中：

2222

①雙曲線；不_1_=1與橢圓金囁=1有相同焦點(diǎn)

;②以拋物線的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)

線是相切的；

③設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，左為常數(shù)，若|以|-|尸2|=公則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線；

④過拋物線F=4x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于A、B,則使它們的橫坐標(biāo)之和等于5

的直線有且只有兩條；

以上命題正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】①分別求焦點(diǎn)坐標(biāo)判斷正確；

②利用拋物線的定義及梯形的性質(zhì)判斷正確；

③根據(jù)雙曲線的定義，判定命題錯(cuò)誤；

④討論直線I的斜率不存在和斜率為0時(shí)都不符合題意，設(shè)/為>=左（x-1）與拋物線

方程聯(lián)立消去y,得出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，求得人的值，判定命題正確.

【解答】解：由雙曲線/-2一=1，得c=V16+9=5,則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±5,0）,

169

22

由橢圓前+會(huì)=1，得5=449-24=5,則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5，0）,故①正確；

不妨以拋物線/=2px（p>0）為例，如圖,

y

取AB中點(diǎn)G,過G作GK垂直于拋物線的準(zhǔn)線GK,垂足為K,由拋物線的定義結(jié)合梯

形中位線的性質(zhì)可得GK=/AB，

則以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的，故②正確；

由雙曲線定義可知，③錯(cuò)誤；

過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)E（1,0）作直線/與拋物線相交于A、8兩點(diǎn)，

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，橫坐標(biāo)之和等于2,不合題意；

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；

設(shè)直線/的斜率為左則直線/為>=上（x-1）,

代入拋物線y2=4x得，lix-2（$+2）x+F=0,

：A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于5,

.?.2（k+2）%解得法=匹，則這樣的直線有且僅有兩條，故命題④正確.

k23

.?.以上命題正確的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判定，考查圓錐曲線的定義與簡單的幾何性質(zhì)，直線與圓

錐曲線的應(yīng)用問題，是中檔題.

22

7.（4分）已知雙曲線C：與■-、=].（。>0,&>0）的左、右焦點(diǎn)分別為為，尸2，過出

作平行于。的漸近線的直線交。于點(diǎn)P，若尸為，尸尸2,則。的離心率為（）

A.V2B.Vsc.2D.V5

【分析】設(shè)尸（x,y）,通過聯(lián)立直線尸尸2的方程、直線Pg的方程及雙曲線方程，計(jì)算

即可.

【解答】解：如圖，設(shè)尸（x,y）,

根據(jù)題意可得尸1（-C,0）、巳（。，0）,

雙曲線的漸近線為：>=3，

a

直線尸尸2的方程為：>=旦（X-C）,①

a

直線尸西的方程為：y=-2（x+c）,（2）

b

22

又點(diǎn)尸（x,y）在雙曲線上，.?.三-'=1,③

22

聯(lián)立①③，可得x=a+c,

聯(lián)立①②，可得尸P3=上三

a2+b2c

2cc

?2272_c72c2

>>a+a+b—2b-2a，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求雙曲線的離心率，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔

題.

8.（4分）如圖，己知正四棱錐P-ABC。的各棱長均相等，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端

點(diǎn)），N是AD的中點(diǎn)，分別記二面角P-MN-C,P-AB-C,P-MD-C為0,丫，

貝IJ（）

A.y<a<pB.a<y<pC.a<p<yD.p<a<y

【分析】連對(duì)角線得底面的中心。，則PO垂直底面，由三垂線定理作出線面所成角,

并分別表示其正切值，分子相同，易知tanB的分母最大，可知B最小.

【解答】解：MB

連接AC,BD交于0,令A(yù)C交.MN于E,

作OF垂直DM與F,連接PE,PF,

易知a=NPE。，^=ZPMO,y=ZPFO,

tana=—,

OE

tanP=—,

OM

tany=—,

OF

顯然OM>OE,OM>OF,

tanp最小，

P最小，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了線面所成角，難度適中.

22

9.（4分）設(shè)橢圓E：（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)B（2,0)點(diǎn)A(-2,1)為橢圓

E內(nèi)一點(diǎn)，若橢圓E上存在一點(diǎn)P,使得|必|+伊川=8,則橢圓E的離心率的取值范圍是

A.[A,A]B.（A,A）c.隹，2）D.隹，2]

L9797L97L97

【分析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F（-2,0）,由橢圓的定義可得2a=|Pf]+|P用，即|PF|

^2a-\PF],可得以|-|P尸|=8-2a,運(yùn)用三點(diǎn)共線取得最值，解不等式可得。的范圍，

由離心率公式，可得所求范圍.

22

【解答】解：橢圓E：彳%=1（。＞6＞。）的一個(gè)焦點(diǎn)尸（2,0）,

abz

另一個(gè)焦點(diǎn)為產(chǎn)（-2,0）,

由橢圓的定義可得2a^\PF\+\PF\,

即|尸尸|=2a-|PF],

可得朋TP用=8-2a,

由||B4|-|PF||W|AF|=1,

可得-1W8-2aWl,

解得工

22

又c=2,可得

e=A[生A].

a97

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，主要是離心率的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

10.（4分）已知拋物線y=4x,過點(diǎn)A（1,2）作直線/交拋物線于另一點(diǎn)2,0是線段

A8的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作與y軸垂直的直線h，交拋物線于點(diǎn)C,若點(diǎn)尸滿足比=無，則|OP|

的最小值是（）

A.-1B.返C.1D.-J2

22

【分析】由『=4無，可設(shè)B（「，b）,由題意逐步表示出點(diǎn)Q,C,尸的坐標(biāo)，于是可

4

以表示出|。尸|并求得其最小值

22

【解答】解：由，=4x,可設(shè)因?yàn)锳（l,2）,。是A8的中點(diǎn)，所以。（且21,

&

2

可得C（喑,啜.

所以直線/1的方程為：>=更2,代入y2=4x,

2

因?yàn)閍=不，所以點(diǎn)c為尸。的中點(diǎn)，可得尸（上，婦2）.

-22

」b+2)2.1

.?.|0評(píng)=旦31T

442

所以當(dāng)人=-1時(shí)，|。尸產(chǎn)取得最小值工，即|0尸|的最小值為返.

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的基本問題，設(shè)出坐標(biāo)表示出目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)求最值，屬

于常考題型.

二、填空題：單空題每題4分，多空題每題6分

,其中i是虛數(shù)單位，若衛(wèi)為純虛數(shù)，則實(shí)

11.（4分）設(shè)復(fù)數(shù)勺

Z1

數(shù)a=+退■;kil=

一—2——2一

【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，由實(shí)部為0且虛部不為。求得。值，再由

復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求團(tuán)|.

MM、223

...至_2丁1=（ap-i）aqea

i為純虛數(shù),

,Z1a可i（a呼i）（a-坐i）a2^1

’23“r

J&-7-0,解得。=+返，

la^O_2

則Izi1=/2備唔備坐

故答案為：+返；運(yùn)

~22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

12.（4分）已知圓C：（x+3）2+,=48和點(diǎn)8（3,0）,P是圓上一點(diǎn)，線段8尸的垂直平

22

分線交CP于M點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡方程為Z+匚=1；若直線/與M點(diǎn)的軌跡相

-12-3

交，且相交弦的中點(diǎn)為尸（2,1）,則直線/的方程是x+2y-4=0.

【分析】根據(jù)線段中垂線的性質(zhì)可得，\MB\^\MP\,又|MP|+|MC|=半徑，故有|MC|+|Affi|

=4愿>|AC|,根據(jù)橢圓的定義判斷軌跡橢圓，求出小6值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.設(shè)

出直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A,8的坐標(biāo)及的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法結(jié)合直線斜率，

然后得到直線方程.

【解答】解：由圓的方程可知，圓心C（-3,0）,半徑等于力，設(shè)點(diǎn)”的坐標(biāo)為（x,

y）,

；BP的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M,

：.\MB\^\MP\.又|MP|+|MC|=半徑4?,.,.|MC|+|MB|=4V^>|BC|.依據(jù)橢圓的定義可

得，

點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4?,c=3,；.6=巧，

22

故橢圓方程為三~+。=1,

123

設(shè)直線/交橢圓與A（xi，yi）,B（尤2,>2）兩點(diǎn)，A3的中點(diǎn)為（3，比），3=4,加=2,

…,日(xj+xg)(Xj-x(y!+y)(vi-y)

作差得：--——----------222

123

,yt-y2_3x0_

，1七212y02

直線/的方程是：y-1=-￡（x-2）,即：x+2y-4=0.

22

故答案為：幺+工-=1,x+2y-4=0.

123

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得出|加。|+|“司=小歷>|8。］,是解題

的關(guān)鍵和難點(diǎn).訓(xùn)練了點(diǎn)差法，考查計(jì)算能力.

13.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,俯視圖為正三角形，則該幾何體的體

積（單位：cm）是8y,該幾何體的表面積（單位：cm2）是8A/^+24_.

->

【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，進(jìn)一步利用幾何體的體積和表面積公式的應(yīng)用求

出結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：底面為邊長為4的等邊三角形，高

為2的正三棱柱.

故答案為：隊(duì)行，隊(duì)行+24

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的體積和表面積公

式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

14.（4分）在正四面體ABC。中，M,N分別為棱BC、AB的中點(diǎn)，設(shè)至=:，菽=總AD=c,

用軟，b，c表示向量DM=_/（；+E-23）_，異面直線。M與CN所成角的余弦值為

1

_6-

【分析】可畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)N分別為棱8C,AB的中點(diǎn)，根據(jù)向量加法、減法和

數(shù)乘的幾何意義，及向量加法的平行四邊形法則即可得出而,（Z+]-2：），

CN-ya-b-然后可設(shè)正四面體的棱長為2,從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出

DM-CN=-^->并且可得出|DM|=|CN|=^3)然后即可求出cos<而,而〉的值，從

而得出異面直線。M與CN所成角的余弦值.

【解答】解：如圖，

:M為棱8c的中點(diǎn)，AB=a,AC=b,AD=c,

'?1?.1.???[———

??DI=^-(DB+DC)-[(AB-AD)+(AC-AD)]=y(a+b-2c)5

又N為棱A2的中點(diǎn)，...而=區(qū)+而=_正,逐卷二一總且Z,b,《的兩兩夾角都

為60°,并設(shè)|a|=|b|=|c|=2，

?>[f——>]—f

?*,DM?CN(a+b-2c)*(—a-b)

_1f2]-?-*]-2]-f—

=丁a-ra，brb-77a*c+b*c

4422

=1^-2-1+2

_1

——---,

2

又|而|=|CN|=V3-

_DM>CN1

**-cos<DM，=

IDMI|CN|-6

.?.異面直線DM與CN所成角的余弦值為工.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，

正四面體的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角的余弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

15.（4分）雙曲線氏當(dāng)_工或1（@>0，6>0）的漸近線為菱形。48c的邊。4,0C所

在的直線，點(diǎn)3（2,0）為雙曲線的焦點(diǎn)，若NAOC=120°,則雙曲線的方程為，-武

3

=1.

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得C,結(jié)合菱形的性質(zhì)可得漸近線的傾斜角

和斜率，解方程可得a,b,進(jìn)而得到所求雙曲線的方程.

22

【解答】解：雙曲線E：%_01（a>O,b>0）的漸近線方程為y=±2v,

a2b2a

由題意可得c=2,即。2+廿=4,

又/AOC=120°,可得NAO8=60°,即有

解得。=1,b=如,

2

則雙曲線的方程為工2-匚=1.

3

2

故答案為：苫2-，=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

16.（4分）邊長為2的等邊△ABC和直角△A8Q所在半平面構(gòu)成60°的二面角，當(dāng)/AC/

=90°,ZCiAB=30°Ht,線段CQ的長度為

【分析】取A8中點(diǎn)。，連結(jié)C'D,CD,取中點(diǎn)O,連結(jié)C'O,EO,CE,則

CDLAB,CD、_I2=6,C'D=OB=C2=1,AffijOE±AB,CBLAB,C

。=乂員，OE=J_CDN^，C'B=返，再由C'B=l,BE=1,由余弦定理得cosNC'

2222

BE=》,由此能求出線段CO的長度.

8

【解答】解：如圖，取A8中點(diǎn)。，連結(jié)C'D,CD,取8。中點(diǎn)。，連結(jié)C'O,EO,

CE,

則C￡>_LA8,?口=如2_]2=如,C'D=OB=CB=l,

：.OE±AB,CBLAB,CO=J]2_g）2=與,?！?梟口=^，

:邊長為2的等邊△ABC和直角△AB。所在半平面構(gòu)成60°的二面角，

：.ZCOE=60°,：.Q/B=乎，

F+12_（乎）2

,:C8=1，BE=\,：.cosZCBE=--------------上----=&,

2X1X18

線段CC1的長度為：

CC'=VBC72+BC2-2XBCyXBCXcosZC/BI=^l+4-2X1X2X-1=：^^-

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.（4分）如圖，在△ABC中，AB=1,BC=2A/2-B「-，將△ABC繞邊A3翻轉(zhuǎn)至△ABP，

4

使面A8PL面ABC,。是8C的中點(diǎn)，設(shè)。是線段必上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)PC與。。所成角

取得最小值時(shí)，線段A。的長度為一-fVs--

【分析】過點(diǎn)尸作P。，平面ABC,交8A延長線于點(diǎn)。，連結(jié)0C,以。為原點(diǎn)，0B

為無軸，0C為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出尸C與。。所

成角取得最小值時(shí)，線段A。的長.

【解答】解：解:過點(diǎn)尸作PO_L平面ABC,交BA延長線于點(diǎn)O,連結(jié)。C,

以。為原點(diǎn)，08為x軸，0c為y軸，。尸為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

在△ABC中，AB=l,BC=2A/2>，

4

WAABC繞邊AB翻轉(zhuǎn)至△ABP,

使平面ABP,平面ABC,。是BC的中點(diǎn)，設(shè)Q是線段E4上的動(dòng)點(diǎn)，

則8(2,0,0),A(1,0,0),O(0,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

設(shè)Q(x,y,z),AQ=XAP=X(-1,0,2),入e[0,1],

即(x-1,?z)=(-入，0,2人),：.Q(1-A,0,2)),

D(1,1,0),DQ=(-入，-1,2入)，PC=(0,2,-2),

I-2-4X|1(1+23)2

V5X2+5-2^/2&V52+1

令/(入)=(1+2入.)2,Ae[O,1],

5/+1

“⑴―2(1+21)(2-5人)

(5入2+1產(chǎn)

由f'(入)=0,Ae[O,1],得入上，

5

Ae[O,2)時(shí)，f'(A)>0,XG(工，1]時(shí)，f'(x)<0,

55

當(dāng)入上時(shí)，f(A)取最大值，此時(shí)尸C與。。所成角取得最小值,

5

|4。1=2屈=

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

三、解答題：5小題，共74分

22

18.已知條件)：“存在xeR,3?+(2a-1)x+3<0"，條件g：“曲線Ci：%+^上一=1表

J2a+8

22

示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓”，條件S:“曲線C2：x,y

a-3t+a-4t?=l(t>0)表示雙曲線”.

(1)若p與q同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若s是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【分析】(1)分別求出p與q為真命題的a的取值范圍，取交集得答案；

(2)求出s為真命題的a的范圍，把s是q的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為兩集合端點(diǎn)值間的

關(guān)系求解.

【解答】解：(1)若p成立，則4=(2a-1)2-4X3X3>0,解得二或工；

22

若q成立，貝。axza0,解得-4<a<-2或a>4；

2a+8>0

、、"或a》《r、

若p和4同時(shí)成立，貝22,解得-4V〃V-—或〃>4.

-4<@<-2或a〉42

：.a的取值范圍是｛〃卜4<〃<-9或44｝；

2

（2）若s成立,則（〃-3/）（a-4/）VO,即3/<〃V4九

由S是q的充分不必要條件，得｛a[3/<a<4f惇｛a|-4<a<或a>4｝.

2

V/>0,；.3。4,即r》生

3

實(shí)數(shù)f的取值范圍是[9，+8）.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，考查充分必要條件的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化

思想方法，是中檔題.

19.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為梯形，AD//BC,AB=BC=CD=1,DA

=2,OP_L平面ABP,O,M分別是A。，P8的中點(diǎn).

（I）求證：尸?！ㄆ矫鍻CM；

（.II）若AP與平面依。所成的角為60°,求線段尸8的長.

【分析】（I）連接BD交0C與N,連接MN.證明MN//PD.然后證明尸?！ㄆ矫鍻CM.

（II）通過計(jì)算證明ABLBD.ABLPD.推出45_L平面BDP,說明/APB為AP與平

面所成的角，然后求解即可.

【解答】（本小題滿分15分）

解：（I）連接交。C與N,連接MN.

因?yàn)椤榈闹悬c(diǎn)，AD=2,

所以O(shè)A=OD=1=BC.

又因?yàn)锳O〃8C,

所以四邊形08。為平行四邊形，…（2分）

所以N為3。的中點(diǎn)，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，

所以〃尸D…（4分）

又因?yàn)镸Nu平面OCM,PZJC平面OCM,

所以產(chǎn)?！ㄆ矫鍻CM.…（6分）

（II）由四邊形02CD為平行四邊形，知OB=C￡>=1,

所以△AOB為等邊三角形，所以/A=60°,…（8分）

所以BD=Jl+4-2X1X2X^?力1，即人輸雙—加，即A-8D

因?yàn)?。尸_L平面A2P,所以A8_LPZ）.

又因?yàn)?￡>nPD=。，所以AB_L平面3DP,…（11分）

所以/APB為AP與平面尸3。所成的角，即NAPB=60°,…（13分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面所成角

的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

20.在所有棱長都相等的三棱柱ABC-4用。中，ZBiBC=60°.

（1）證明：ABiXBCi；

（2）若二面角A-8C-S的大小為60°,求BQ與平面A8C所成角的正弦值.

【分析】（I）連接SC,BCi，取線段BC的中點(diǎn)M,連接％兒和AM，推導(dǎo)出

AM1BC,從而平面AB那，BC±ABi.

（II）法一：由得N21MA是二面角A-BC-B1的平面角，得平

面ABC,平面AB[M，記EC]與％見的交點(diǎn)為N，過N作NHL4M于H,則平面

ABC,NN①/是BG與平面ABC所成角，由題意知N為^BCB1的重心，與平面

ABC所成角的正弦值.

法二：平面AB]M，平面8CC向且交于B]M，過AOLMBI作于O,則AOL

平面BCCjBi，過。作直線OK//BC,從而OK±BiO,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以08卜

。用、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此BJllBC，AMLBC,從而N

BiMA是二面角A-BC-Bi的平面角，利用BCi與平面ABC所成角的正弦值.

【解答】證明：（I）連接SC,BCi，取線段3C的中點(diǎn)連接和A"，

,.?△42。和4^81為等邊三角形，，：6小18（：，AM^-BC,

又BIMDAM=M，???2C，平面AB1M，?'?BC'ABi

解：（II）解法一：AMLBC,.?.N81M4是二面角A-BC-B1的平面角，

平面ABM，.,?平面ABS平面ABJI，

記BC1與B*的交點(diǎn)為N，過N作NWAM于X,則NW平面ABC,

/.ZNBH是BCi與平面ABC所成角，

由題意知N為△BCB1的重心，BC=2,

BN^-BCjMN=^y->ZB\MA=60°,

HN^-,sin/NBH=^-=-^--

2BN4

解法二：VBCXWABJM'六平面ABM，平面8CGS且交于B[M，

過AOJ_M81作AO±MBi于O,則AO_L平面BCC/i，

過O作直線OK//BC,：.OKLByO,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)S、。&、0A為無軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

AMLBC,.?.NSMA是二面角A-BC-S的平面角，

：.ZBiMA=60°,由題意得AM=E，A0-1>MO壽，

A（0,0,-^-）>B（1,10），C（-l,'0）,Cj（~2,,0）,

?1-AB=（1，-坐■，-y）,AC=（-1，-坐■，得），BC[=（-3,M，0）,

記平面ABC的法向量為n=（x,y,z），

—-*V33

n*AB=x-y-z=0

貝九二1竺即＜.,.x=0,y=_V3z>**-n=(0

―--V33~V3.1>

LnlACn?AC=-x-^-7-2=0

記8cl與平面ABC所成角為0,

：.BCX與平面ABC所成角的正弦值:

BC「n二§亞

sin?=|cos<BC，

1|西|?后I-2gX2-H

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

21.如圖，已知拋物線C：x?=4y上一點(diǎn)。（-2,1）,過點(diǎn)。作直線QT交拋物線C于另

一點(diǎn)T,點(diǎn)8在線段QT上，點(diǎn)M在拋物線C上，BMLx軸，"ALQT于點(diǎn)A.

（1）若?。ó?dāng)，空），求|MA|；

39

（2）求使等式|。2|2=|2川?|0”恒成立的直線。7的方程.