山西省太原市萬柏林區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

山西省太原市萬柏林區(qū)第五中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若直角坐標平面內(nèi)不同的兩點p、Q滿足條件：①p、Q都在函數(shù)y=f（x）的圖像上；②p、Q關(guān)于原點對稱，則稱點對[P，Q]是函數(shù)y=f（x）的一對“友好點對”（注：點對[P，Q]與[Q，P]看作同一對“友好點對”）．若函數(shù)，則此函數(shù)的“友好點對”有（

）對．

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C略2.設(shè)，函數(shù)的圖象可能是參考答案：3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D4.楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律.現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….記作數(shù)列{an}，若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則

（

）A.2059

B.4108

C.2048

D.4095參考答案：B楊輝三角中前12行共有1+2+3+4+…+12＝78個數(shù)，其和為：20+21+22+…+211＝212﹣1＝4095；第13行共有2個位數(shù)，它們是1，12，其和為13，故＝4095+13＝4108.

5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若=24，=18，則S5=（）A．18 B．36 C．50 D．72參考答案：C【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】利用等差數(shù)列前n項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出S5．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，=24，=18，∴，解得a1=2，d=4，∴S5=5×2+=50．故選：C．6.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為(

) A．3+3 B．8+3 C．6+6 D．8+6參考答案：B考點：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：由已知中三視圖可得該幾何體為一個棱臺，根據(jù)已知分析各個面的形狀，求出面積后，相加可得該幾何體的表面積解答： 解：由已知中三視圖可得該幾何體為一個棱臺，下底面為邊長為2的正方形，面積為4；上底面為邊長為1的正方形，面積為1；左側(cè)面和后側(cè)面是上底為1，下底為2，高為1的梯形，每個面的面積為右側(cè)面和前側(cè)面是上底為1，下底為2，高為的梯形，每個面的面積為故該幾何體的表面積為4+1+2×+2×=8+3故選：B點評：本題考查的知識點是由三視圖，求表面積，其中根據(jù)已知分析出幾何體的形狀及棱長是解答的關(guān)鍵．7.若，則

(

)

A．

B．

C．

D．

參考答案：B8.在函數(shù)，，，中，奇函數(shù)是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B略9.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位)的實部和虛部相等，則實數(shù)b的值為(

)A.一1

B.一2

C.一3

D.1參考答案：10.已知函數(shù)f（x）=，則關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5個不同實數(shù)解的充要條件是(

)A．b＜﹣2且c＞0 B．b＞﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=0參考答案：C【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；充要條件．【專題】計算題；壓軸題．【分析】題中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5個不同實數(shù)解，即要求對應(yīng)于f（x）=某個常數(shù)有4個不同實數(shù)解且必有一個根為0，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，當f（x）等于何值時，它有四個根．從而得出關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5個不同實數(shù)解．【解答】解：∵題中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5個不同實數(shù)解，∴即要求對應(yīng)于f（x）等于某個常數(shù)有4個不同實數(shù)解，∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：由圖可知，只有當f（x）=0時，它有﹣個根．且f（x）=﹣b時有四個根，由圖得：﹣b＞2，∴b＜﹣2．充要條件是b＜﹣2且c=0，故選C．【點評】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(理科)已知直三棱柱的棱，，如圖3所示，則異面直線與所成的角是

(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)．參考答案：(理)，12.在區(qū)間（0，1）上隨機取兩個數(shù)m，n，則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實根的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】本題考查的知識點是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出（m，n）對應(yīng)圖形的面積，及滿足條件“關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實根”的點對應(yīng)的圖形的面積，然后再結(jié)合幾何概型的計算公式進行求解．【解答】解：如下圖所示：試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（圖中矩形所示）．其面積為1．構(gòu)成事件“關(guān)于x的一元二次方程x2﹣?x+m=0有實根”的區(qū)域為{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如圖陰影所示）．所以所求的概率為==．故答案為：．【點評】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件A的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N（A），再求出總的基本事件對應(yīng)的“幾何度量”N，最后根據(jù)P=求解．13.若二次函數(shù)的圖象和直線y=x無交點，現(xiàn)有下列結(jié)論：①方程一定沒有實數(shù)根；②若a>0，則不等式對一切實數(shù)x都成立；③若a<0，則必存存在實數(shù)x0，使；④若，則不等式對一切實數(shù)都成立；⑤函數(shù)的圖像與直線也一定沒有交點。其中正確的結(jié)論是

（寫出所有正確結(jié)論的編號）.參考答案：①②④⑤因為函數(shù)的圖像與直線沒有交點，所以或恒成立.①因為或恒成立，所以沒有實數(shù)根；②若，則不等式對一切實數(shù)都成立；③若，則不等式對一切實數(shù)都成立，所以不存在，使；④若，則，可得，因此不等式對一切實數(shù)都成立；⑤易見函數(shù)，與f(x)的圖像關(guān)于軸對稱，所以和直線也一定沒有交點.14.(理)在極坐標系中，定點，點在直線上運動，則線段的最短長度為

．參考答案：15.若二項式展開式中含x2項的系數(shù)為，則=．參考答案：【考點】極限及其運算；二項式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；二項式定理．【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求出展開式中含x2項的系數(shù)，得出a的值；再計算的值．【解答】解：∵二項式展開式的通項公式為Tr+1=?x6﹣r?=（﹣a）r??，令6﹣r=2，解得r=3；∴展開式中含x2項的系數(shù)為（﹣a）3?=，解得a=﹣；∴===．故答案為：．【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列求和的應(yīng)用問題以及極限的計算問題，是基礎(chǔ)題目．16.已知，，，。根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是

；參考答案：，）17.在公比為2的等比數(shù)列{an}中，，則a1=．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，設(shè)命題：函數(shù)為減函數(shù)．命題：當時，函數(shù)恒成立．如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求c的取值范圍．參考答案：．試題分析：利用復(fù)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求命題P為真的c的范圍；先求f（x）的最小值，分析函數(shù)恒成立的條件，然后解出命題q為真命題的c的范圍；根據(jù)p或q為真命題，p且q為假命題，則P、q命題一真一假，求解．試題解析：解：由命題p為真知，0<c<1，由命題q為真知，2≤x＋≤，要使此式恒成立，需<2，即c>，

6分若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則p、q中必有一真一假，當p真q假時，c的取值范圍是0<c≤；當p假q真時，c的取值范圍是c≥1．綜上可知，c的取值范圍是．

12分．考點：1．復(fù)合命題的真假；2．交、并、補集的混合運算；3．指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．19.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x－3|（1）求不等式f(x)≤6的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≤|a－1|的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）不等式f（x）≤6即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．

解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集為{x|﹣1≤x≤2}．

…………

………5分（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴，解此不等式得．故實數(shù)a的取值范圍為．

…………

………10分20.如圖，直線PQ與⊙O相切于點A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線AC交⊙O于點C，連結(jié)CB，并延長與直線PQ相交于點Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求證：QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求弦AB的長．參考答案：考點：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題；推理和證明．分析：（Ⅰ）利用切割線定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC，即可證明QC2﹣QA2=BC?QC；（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的長．解答： （Ⅰ）證明：∵PQ與⊙O相切于點A，∴由切割線定理得：QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC=QC2﹣BC?QC．…∴QC2﹣QA2=BC?QC．…（Ⅱ）解：∵PQ與⊙O相切于點A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，…又知AQ=6，由（Ⅰ）可知QA2=QB?QC=（QC﹣BC）?QC，∴QC=9．…由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，…∴．…點評：本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21.第31屆夏季奧林匹克運動會將于2016年8月5日﹣21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行．下表是近五屆奧運會中國代表團和俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)（單位：枚）．

第30屆倫敦第29屆北京第28屆雅典第27屆悉尼第26屆亞特蘭大中國3851322816俄羅斯2423273226（Ⅰ）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運會兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人競猜今年中國代表團和俄羅斯代表團中的哪一個獲得的金牌數(shù)多（假設(shè)兩國代表團獲得的金牌數(shù)不會相等），規(guī)定甲、乙、丙必須在兩個代表團中選一個，已知甲、乙猜中國代表團的概率都為，丙猜中國代表團的概率為，三人各自猜哪個代表團的結(jié)果互不影響．現(xiàn)讓甲、乙、丙各猜一次，設(shè)三人中猜中國代表團的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（Ⅰ）作出兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，通過莖葉圖可以看出，中國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的平均值，俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團獲得的金牌數(shù)比較分散．（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）兩國代表團獲得的金牌數(shù)的莖葉圖如下通過莖葉圖可以看出，中國代表團獲得的金牌數(shù)的平均值高于俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)的平均值；俄羅斯代表團獲得的金牌數(shù)比較集中，中國代表團獲得的金牌數(shù)比較分散．…（Ⅱ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，設(shè)事件A、B、C分別表示甲、乙、丙猜中國代表團，則P（X=0）=P（）P（）P（）=（1﹣）2（1﹣）=，P（X=1）==+（1﹣）2×=，P（X=2）==（）2（1﹣）+C（）（1﹣）（）=，P（X=3）=P（A）P（B）P（C）=（）2（）=，故X的分布列為：X0123P…EX==．…22.（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐的三