數(shù)學(xué)名師選修1-1答案

第一章常用邏輯用語

1.1命題及其關(guān)系

第一課時

自測自評

1.下列語句中不是命題的是()

A.梯形是四邊形

B.等邊三角形是等腰三角形嗎？

C.空集是任何集合的真子集

D.若ac=bc,則a=b

解析:B不是陳述句，所以不是命題.

答案:B

2.語句“若a>b,則a+c>b+c”()

A.不是命題B.是假命題

C.是真命題D.不能判斷真假

解析:這是“若p,則q”形式的命題，是真命題.

答案:C

3.“若x、yGR且x2+y2=0,則x、y全為0”的否命題是()

A.若x、y《R且x2+y2W0,則x、y全不為0

B.若x、yeR且x2+y2#0,則x、y不全為0

C.若x、yeR且x、y全為0,則x2+y2=0

D.若x、yCR且xyWO,貝ijx2+y2W0

答案:B

4.命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的命題.

答案:逆

典例剖析

【變式訓(xùn)練1］判斷下列語句中哪些是命題?是真命題還是假命題？

(1)一個等比數(shù)列的公比大于1時,該數(shù)列為遞增數(shù)列；

(2)當x=4時,2x-l>0;

(3)若直線1不在平面a內(nèi),則直線1與平面a平行；

(4)所有的正偶數(shù)都是合數(shù)嗎？

［解］(1)是命題，因為當?shù)缺葦?shù)列的首項al<0,公比q>l時，該數(shù)列為遞減數(shù)列，因此，是一個假命題.

(2)是命題，是一個真命題.

(3)是命題，因為直線與平面a可以相交，因此，是一個假命題.

(4)不是命題，它是一個疑問句，沒有作出判斷.

【變式訓(xùn)練2］把下列命題寫成“若p,則q”的形式，并判斷其真假.

(1)斜率相等的兩條直線平行；

(2)垂直于同一平面的兩平面平行.

［解］(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行，真命題.

(2)若兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面平行，假命題.

【變式訓(xùn)練3］寫出命題“若在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,b2-4ac<0,則該函數(shù)圖象與x軸有公共點”的逆命

題、否命題、逆否命題.

［解I逆命題:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有公共點，則b2-4ac<0;

否命題:若在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,b2*4ac20,則該函數(shù)的圖象與x軸無公共點；

逆否命題:若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象」jx軸無公共點，則b2-4ac20.

技能演練

1.下列語句是命題的是（）

①72+1W50②5-x=0③存在xGR,使x2-4>0④平行于同一條直線的兩條直線平行嗎？

A.①②B.①③

C.②④D.③④

答案:B

2.“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”和這個命題互為逆否命題的為（）

A.若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)

B.若一個數(shù)的平方不是正數(shù),則它不是負數(shù)

C.若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)

D.若一個數(shù)不是負數(shù),則它的平方是非負數(shù)

答案:C

3.以下三個命題:①分別在兩個平面內(nèi)的直線一定是異面直線;②過平面a的一條斜線有且只有一個平面與

a垂直;③平行于同一條直線的兩個平面平行.其中真命題的個數(shù)是（）

A.OB.1

C.2D.3

解析:①錯,異面直線是指不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，②正確,③錯.

答案:B

4.下列命題中是假命題的是（）

A.任意的銳角三角形ABC中，有sinA>cosB成立

B.命題“若x2-3x+2=0,則有x=l”的逆否命題為“若xWl,則x2-3x+2W0”、兀

C*y=sin3x（xWR）的圖象上所有的點向右平移￡個單位即可得到函數(shù)y=sin（3x-）芍R）的圖象

D.直線x=乃是函數(shù)y=2sin（2x-乃）的圖象的一條對稱軸’

解析廊因為為銳婚G角形7+

222

sinA>sin（-—B）=cosB.BiE確正確函數(shù)的圖象由斫有

點向右平移本單位得到函數(shù)的羯象in3（x-工）=sin（3x-—）

444

D不正確.

答案:D

5.下列命題中正確的是（）

①“若x2+y2#0,則x,y不全為零”

②“邊數(shù)相等的正多邊形都相似”

③“若m>0,則x2+x-m=0有實根”

④“若x-3V是有理數(shù)，則x是無理數(shù)”

A.①②③④B.②③④

C.①②D.①③④

答案:A

6.有下列命題:①ax2+5x-l=0是一元二次方程;②拋物線y=ax2+2x-l與x軸至少有一個交點;③互相包含的兩

個集合相等;④空集是任何集合的真子集.其中真命題的序號是.

答案:③

7.命題:若a>0,則二元一次不等式x+ay-l>0表示直線x+ay-l=O的右上方區(qū)域(包含邊界)是命題

(“真”或“假”).

答案:真

8.“若a>b,則2a>2b-l”的否命題是.

答案:若aWb,則2aW2b-l

9.把下列命題寫成“若p,貝Uq”的形式，并判斷其真假.

(1)實數(shù)的平方是非負數(shù)；

(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

解：(1)若個數(shù)是實數(shù)，則這個數(shù)的平方是非負數(shù)，是真命題.

(2)如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，那么它的圖象關(guān)于y軸對稱，是真命題.

10.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷真假.

(1)實數(shù)的平方是非負數(shù)；

(2)對頂角相等；

⑶若mWO或nWO,則m+nWO.

分析:分清條件和結(jié)論,利用相關(guān)知識點判斷真假.

解:(1)逆命題:若一個數(shù)的平方是非負數(shù)，則這個數(shù)是實數(shù).真命題.

否命題:若一個數(shù)不是實數(shù)，則它的平方不是非負數(shù).真命題.

逆否命題:若-個數(shù)的平方不是非負數(shù)，則這個數(shù)不是實數(shù).真命題.

(2)逆命題:若兩個角相等,則這兩個角是對頂角.假命題.

否命題:若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等.假命題.

逆否命題:若兩個角不相等，則這兩個角不是對頂角.真命題.

⑶逆命題:若m+nWO,則mWO或nWO.真命題.

否命題:若m>0且n>0,則m+n>0.真命題.

逆否命題:若m+n>0,則m>0且n>0.假命題.

感悟高考

(2010福建文數(shù)設(shè)非空集合《哪品當時1}:xeS,

有婿出如下三個命題中：

1.,.1V2

①若刪②若則三樹③若貼—11;1=-,------

422

<m<0.其中正確命題的個數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

答案:D

第二課時

自測自評

1.命題“若函數(shù)f(x)=log.x(a>0,aWl)在其定義域內(nèi)是減函數(shù),則log2<0"的逆否命題是()

aa

A.若log/20,則函數(shù)f(x)=log.x(a>0,aWl)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

da

B.若logd2<0,則函數(shù)fd(x)=logx(a>0,a關(guān)1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C.若log220,則函數(shù)f(x)=logx(a>0,aNO)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

aa

D.若log2<0,則函數(shù)f(x)=logx(a>0,a#l)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

da

答案:A

2.在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)可以是()

A.1或2或3或4B.1或3

C.0或4D.0或2或4

答案:D

3.若命題p的逆命題是q,q的逆否命題是r,則命題r是命題p的()

A.逆命題B.否命題

C.逆否命題D.等價命題

答案:B

4.命題：“設(shè)a、b、cGR,若ac2〉bc2,則a〉b”及其逆命題、否命題、逆否命題中真命題共有()

A.3個B.2個

C.1個D.0個

答案:B

典例剖析

【變式訓(xùn)練1】判斷下列命題的真假.

(1)已知a、b、c、deR,若a#c或bWd,則a+b#c+d;

⑵若m>l,則方程x2-2x+m=0無實數(shù)根.

［解］(Da、b、c、dWR,若aWc或bWd,則a+bWc+d的逆否命題是：a、b、c、dGR,若a+b=c+d,則a=c

且b=d.

顯然該命題是假命題(不妨舉反例,取a=d=2,b=c=3),所以原命題是假命題.

(2)若m>l,則方程x2-2x+m=0無實數(shù)根的逆否命題為：若方程x2-2x+m=0有實數(shù)根，則mWl.

Vx2-2x+m=0有實數(shù)根，

A=4-4m>0即mWl.

...逆否命題成立,故原命題是真命題.

【變式訓(xùn)練2】下列命題中，是真命題的是()

A.命題“相似三角形的周長相等”的否命題

B.命題“若b=3,貝ijb2=9”的逆命題

C.命題“若AUB=B,則AB”的逆否命題

D.命題“若xy=l,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題

［答案］D

【變式訓(xùn)練3］證明:已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),a,beR,若f(a)+f(b)》f(-a)+f(-b),則a+b2O.

［分析I該題直接證明比較困難,可考慮證明它的逆否命題.

［證明］原命題的逆否命題是：

"若a+b<0,則f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).,>

若a+bvO,則a<-b,b<-a,

又〈f(x)在R卜.是增函數(shù)，

/.f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).

/.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).

即逆否命題為真命題，故原命題為真命題.

技能演練

1.若一個命題p的逆命題是一個假命題，則下列判斷一定正確的是()

A.命題p是真命題

B.命題p的否命題是假命題

C.命題p的逆否命題是假命題

D.命題p的否命題是真命題

答案:B

2.有下列四個命題：

①“若x+y=O,則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；

②“若a>b,則a2>b2的逆否命題”；

③“若xW-3,貝lJx2+x-6>0”的否命題；

④“若ab是無理數(shù)，則a、b是無理數(shù)”的逆命題.

其中真命題的個數(shù)是()

A.OB.1

C.2D.3

解析①逆命題上若、互加相反數(shù)則”，是滇命題0

②原命題是假命題其逆否命題是假命題.

③否命題:“若贓'物如x?+x-640,x=4>-3,

則有甥假命題=16+4-6>0.:..

答蒙逆命題:“若遍無理數(shù)則是無理數(shù).舉反例取，

a=事嚴,b=拒，則是有理數(shù)故為假命題

3.a,b,c另三條直線,a,B是兩個平面,ba,ca,則下列命題不成立的是()

A.若a〃B,cJ.aJjp]c，B

B.“若b，B,則”的逆命題

C.若a是c在a內(nèi)的射影,b_La,則b_Lc

D.“若b〃cMc〃a”的逆否命題

答案:B

4.下列命題：

①“全等三角形的面積相等”的逆命題；

②“正三角形的三個角均為60°”的否命題；

③“若k〈0,則方程x2+(2k+l)x+k=0必有兩相異實數(shù)根”的逆否命題.

其中真命題的個數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

解析:①的逆命題“面積相等的三角形必全等”是假命題.

②的否命題“不是正三角形的三個內(nèi)角不全為60?！睘檎婷}.

③當k<0時,△=(2k+l)2-4k=4k2+l>0,方程有兩相異實根，原命題與逆否命題均為真命題.

答案:C

5.命題“若方程ax2+bx+c=0(aW0)的A=b2-4ac<0.則方程無實根”的否命題的逆否命題是()

A.若方程ax2+bx+c=0(a#0)的A=b2-4ac20,則方程有二實根

B.若方程ax2+bx+uO(a#O)無實根，則其A=b2-4ac<0

C.若方程ax2+bx+u0(a￥0)有二實根，則其A=b2-4ac20

D.以上均不對

答案:B

6.若命題p的逆命題是q,命題p的否命題是v,則q是v的命題.

答案:逆否

7.給出命題:若函數(shù)y=f(x)是基函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象不過第四象限.在它的逆命題、否命題、逆否命題三

個命題中,是真命題的是________.

答案:逆否命題r

8.有下列四個命題①“若貝內(nèi)=|‘由逆命題1A=也；

2

②“若剛二瞰遞布檢題inB;

③“若皿理數(shù)則都是無理數(shù)”的逆命題；

④“若則之曲逆待命題其中真命題.

的序號是.

答案:②④

9.判斷命題“已知a、xGR,如果關(guān)于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2<0的解集非空，則a》l”的逆否命題的

真假.

解:原命題的逆否命題為：

已知a,xCR,如果a<l,則關(guān)于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2^0的解集為空集.

判斷如下：

拋物線y=x2+(2a+l)x+a2+2開口向上，

判別式A=(2a+l)2-4(a2+2)=4a~7

Va<l,.\4a-7<0.

即拋物線y=x2+(2a+l)x+a2+2與x軸無交點，

???關(guān)于x的不等式x2+(2a+l)x+a2+2^0的解集為空集.

故逆否命題為真.

10.設(shè)命題“如果a,b,c均為奇數(shù),那么方程ax2+bx+c=0(aW0)沒有等根”.試判斷它的四種命題的真假.

解：設(shè)a=2m-l,b=2n-l,c=2p-l(m,n,p^Z),

則b2-4ac=(2n-l)2-4(2m-l)(2p-l)

=4[n2-n-(2m-l)(2p-l)]+l為奇數(shù).

.\b2-4ac^0.

.,.方程ax2+bx+c=0(a*0)沒有等根.

即原命題是真命題.

它的逆否命題“若方程ax2+bx+c=0(aW0)有等根,則a,b,c不全為奇數(shù)”也是真命題.

它的逆命題為“若方程ax2+bx+c=0(a#0)沒有等根,則a,b,c均為奇數(shù)”

當a=l,b=0,c=-l時,方程x2T=0沒有等根,其中b=0不是奇數(shù).

所以它的逆命題是假命題.

它的否命題“如果a,b,c不全為奇數(shù)，則方程ax2+bx+c=0(a#0)有等根”也是假命題.

1.2充分條件與必要條件

自測自評

1.已知集合A、B,則“AUB”是“APB=A”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案:C

2."|x|<2”是ttx2-x-6<0w的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案:A

3.“a=l”是“直線x+y=O和直線x-ay=O互相垂直”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案:C

TT

4.“x=—”是“函數(shù)y=sin2x取得最大值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件1).既不充分也不必要條件

答案:A

典例剖析

【變式訓(xùn)練1】指出下列各題中P是q的什么條件.

(l)p：四邊形對角線互相平分,q：四邊形是矩形；

(2)在△ABC中，p:NA〉/B,q:BC>AC;

(3)p:在aABC中，/A#60°,q:sin憶YL

(4)p:m>0,q:x2+x-m=0有實根.

[答案](1)P是q的必要不充分條件.

(2)p是q的充要條件.

(3)p是q的既不充分也不必要條件.

(4)p是q的充分不必要條件.

【變式訓(xùn)練2】求不等式ax2+2x+l>0恒成立的充要條件.

［解當時項恒成立逆時).a*0,

ax2+2x+l>0恒成立.

a>0A

<=>a>

=4-4a<0

所以頻成立的充要條件是a>1.

【變式訓(xùn)練3］求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=O.

［分析］明確問題的條件是“a+b+c=O”，結(jié)論為“有一根為1".由條件=結(jié)論是證明條件的充分性；由結(jié)論

=條件是證明條件的必要性.

［證明］必要性：由關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1,

則將x=l代入方程滿足aXF+bxl+c=O,

即a+b+c=O.

充分性：Va+b+c=O,

o

c=-a-b代入ax+bx+c=0中有

ax^+bx-a-b=0,即(xT)(ax+a+b)=0,

故方程ax2+bx+c=O有一個根為1.

綜上所證知關(guān)于x的方程ax^+bx+c=O有一根為1的充要條件是a+b+c=O.

技能演練

1.(2009北京)號“”的6咫2a=g

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析低=工,cos2a=cos工=工cos2(z=—,

6322

得妣珥1?等至keZ,a

36

則“茂喈”的充公派不多要條件

答案:A

2.（2010?福建月考）設(shè)m、n是整數(shù)，則“m、n均為偶數(shù)”是“m+n是偶數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案:A

3.（2009?四川卷）已知a、3c、d為實數(shù)，且c>d,則“a>b”是“a-c>b-d”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析由而"na>b;a=c=2,

c>d

b=d=l時滿足,柒%立a-c>b-d,

所以“'溫的泌妥前淬充分條件選，B.

答案:B

4.“直線與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直”是“直線與平面a垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案:B

5.有下述說法:①a>b>0是a2>b2的充要條件;②a>b>0是的充要條件;③a>b>0是a3+b3>0的充要條

件.其中正確的說法有（）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

答案:A

6.已知^^{xIx?-4x+30},Q={xly=Jx+l+j3-x}

，則,愛"”的黜殳.

解析:P=[1,3],Q=[T,3],...P<Q,

則xWP=xWQ,但xGQ^xGP,

故xGP是xCQ的充分不必要條件.

答案:充分不必要

答案正總

8.圓x*12+3y2=l與直線y=kx+2沒有公共點的充要條件是

解析當圓與直統(tǒng)浜有公共點底kx+2,

有y>1,“2+1<2,...k2<二—百<%<6.

答案：―6〈人<6

V,—1

9.已知p:-2<l—<2,q:x2-2x4-1-m2<0(m>0),

且懸的必裝不充分條件求實數(shù)的取值范圍.

分析：(1)用集合的觀點考察問題,先寫出W和rq,然后，由rq=rp,但rp4rq來求m的取值范圍;

(2)將rp是rq的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為p是q的充分不必要條件再求解.

解解法由W褥W霎*l-m20,1-mx1+m,

/.-)q:A={xIx>1+m或x<l-m,m>0}.

由4導(dǎo)1一-2<X<10,

3

1P:B={xlx〉10或是的典要「p-iq

不充分條件結(jié)合數(shù)軸

1-m-2101+;77

m>0,

At/B=<導(dǎo)2m9.

1+m^lO

解法2:rp是rq的必要不充分條件,

?"q=~>p

，p=q且q#p,即p是q的充分不必要條件.

結(jié)合數(shù)軸

1

,.IPAQ=如l-2WW^^ql9汗設(shè)Il-mxl+m,m>0).

1+m210,

,\CUD,:.<...m>9.

1—mW—2,

所以實數(shù)的取值范圍是2{mlm9}.

K).在直角坐標系中求點(2x+3X耘)

在第四象限的充要條件.

2X+3-X2>0

解該點在第四象限o2工一3

--------<0

、2-x

3

=一1<x<一或2<x<3.

2

感悟高考

1.(2010?北京)若a,b是非零向量，"aJ_b”是“函數(shù)f(x)=(xa+b)?(xb-a)為一次函數(shù)”的()

A.充分而不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析:f(x)=x2a,b-a2?x+b2,x-a,b

=a?bx2+(b2-a2)?x-a?b,

若f(x)為一次函數(shù)，只須a?b=0,且b2-a2/0,

...a_Lb是f(x)為一次函數(shù)的必要不充分條件.

答案:B

2.(2010廣東)“用足“一元二次方程"x2+x+m=0

有實數(shù)解的()

A充分非必要條件充分必要糜件

C必要非充分條件非充分必要條件

11_4;n1

解析由知2+x+m=0,(x+—y=-------->0<=>m<—.

244

答案:A

1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

自測自評

1.命題：“不等式(x-2)(x-3)<0的解為2Vx<3"，使用的邏輯聯(lián)結(jié)詞的情況是()

A.沒有使用邏輯聯(lián)結(jié)詞

B.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”

C.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”

D.使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”

答案:B

2.命題p與非p()

A.可能都是真命題

B.可能都是假命題

C.一個是真命題，另一個是假命題

D.只有p是真命題

答案:C

3.(2010?廣東河源高二質(zhì)檢)如果命題“p或q”與命題中“rp”都是真命題，那么()

A.命題p不一定是假命題

B.命題q一定是真命題

C.命題q不一定是真命題

D.命題p與命題q的真假相同

解析:因為即是真命題，則p為假命題.又p或q為真命題，故q為真命題，故選B.

答案:B

4.給出命題23>1用:442,3｝廁在下列三個命題：“p且q”“p或q”“非p”中，真命題的個數(shù)為()

A.3B.2

C.lD.0

答案:C

典例剖析

【變式訓(xùn)練1］分別指出下列命題的形式及構(gòu)成它的命題，并判斷真假.

(1)相似三角形周長相等或?qū)?yīng)角相等；

(2)9的算術(shù)平方根不是-3;

(3)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所時的兩段弧.

［分析］根據(jù)組成上述各命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞，并用真值表判斷真假.

［解］(1)這個命題是pVq的形式，其中p:相似三角形周長相等;q:相似三角形對應(yīng)角相等，因為p假q真，所以

pVq為真.

⑵這個命題是rp的形式，其中p：9的算術(shù)平方根是-3,因為p假，所以rp為真.

(3)這個命題是pAq的形式，其中P：垂直于弦的直徑平分這條弦;q:垂直于弦的直徑平分這條弦所對的兩段弧,

因為p真q真，所以pAq為真.

X

【變式訓(xùn)練2】(2010?河南高二上期末)已知命題p:不等式——<0的解集為｛xKRxcl｝;

x-1

命題q:在4ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分條件.有下列四個結(jié)論:①p真q假;②"pAq”

為真;③“pVq”為真;④p假q真.其中正確結(jié)論的序號是.(請把正確結(jié)論的序號都填上)

［解析］的解為0<x<l,故命題p為真命題.

—<0

y_1

在4ABC中,A>BOsinA>sinB,

故A>B是sinA>sinB的充要條件，

故q為假命題.故選①③.

［答案］①③

【變式訓(xùn)練3】設(shè)p:關(guān)于x的不等式ax>l的解集是｛x|x<0),q:函數(shù)y=lg(ax2-x+a)的定義域為R,如果p

和解根麻蒯現(xiàn)篇的取獸內(nèi)圍a。

a>0,1

又若稟由,na>一

A=l-4a2<02

若暇■可且保有(T個正確，

當真腳寸當鍛知*4綜亡所述得，a2L

u［l,+oo).

技能演練

1.（2010?陜西延安）若命題p:2是偶數(shù)，命題q:2是3的約數(shù)廁下列命題中為真的是（）

A.非pB.p且q

C.p或qD.非p且非q

答案:C

2.有下列說法：

①“p/\q”為真是“pVq”為真的充分不必要條件；

②“pAq”為假是“pVq”為真的充分不必要條件；

③“pVq”為真是“R”為假的必要不充分條件；

④“rp”為真是“pAq”為假的必要不充分條件.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案:B

3.已知命題p:040國:{1}『1,2},由它們構(gòu)成的作3"、“pAq”和形式的命題中，真命題有（）

A.0個B.1個

C.2個D.3個

答案:B

4.命題p:若不等式x2+x+m>0恒成立，則m>l/4命題q:在AABC'I1,A>B是sinA>sinB的充要條件，則（）

八邛真4假B.“pAq”為真

C.“pVq”為假D."rp\/rq”為真

解析:x2+x+m>0恒成立，只須△=l-4m<0,即m>1/4,...命題p正確.在AABC中，A>B=sinA>sinB,.,.命題q正

確.故選B.

答案:B

5.命題p:若a,bGR,則a>l是⑸>1的充分不必要條件;命題q:函數(shù)y=J|x一11一2的定義域是（-8,-1]U

[3,+8）,則（）'

A."p或q”為假B.“p且q”為真

C.p真q假D.p假q真

答案:B

11

6.已知命題p：若實數(shù)x、y滿足2/+2/=0,則x、y全為0;命題q:若a>b,則％<'，給出下列四個命題:①p

其中真命題是.

解析:命題P為真命題,命題q為假命題，...pX/q與F為真命題,故填②④.

答案:②④

7.命題p：菱形的對角線互相垂直，則p的否命題是「p是.

答案:不是菱形的四邊形,其對角線不互相垂直

菱形的對角線不互相垂直

8.已知命題p:（x+2）（x-6）WO,命題q:-3WxW7,若"p或q”為真命題，“p且q”為假命題,則實數(shù)x的取值范圍

為.

解析:由題條件可知p與q-真一假,p為真命題時,x滿足-2WxW6,.?.滿足條件的x的范圍是[-3,-2）U

（6,7].

答案:[-3,-2）U（6,7]

9.已知命題p:lg（x2-2x-2）20;命題q:0<x<4.若p且q為假,p或q為真,求實數(shù)x的取值范圍.

解：由lg（x2-2x-2）20,得X2-2X-221,

.??x23或x^-1.B|Jp:x23或x

/._|p：-l<x<3.又,.,q:（Kx<4,

...「q:x24或xWO,

由p且q為假,p或q為真知p、q一真一假，

當真假時由3或*2或W卷3或W0X4X-1,

當假巽時由得一1<X<30<X<40<x<3,

.,?實數(shù)的取值范圍是?我喊法10<x<3x4}.

10.已知p:|3x-4|>2,q:——--->0,

x—x—2

求和對應(yīng)的的取值范圍9

解員8解得神>2,「p:|3-x4|<2,-x2.

q:-*---------->0,即是—x—2>0,―iQ:x—-x—20,

x-x-2

解得WlWx2.

感悟高考

（2010?全國新課標卷）已知命題P]:函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù);P2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù).則

:pp,

在命題qj：P|Vp2,q2l^2。3：（*1）Vp2和q/P1八（*2）在真命題是（）

A.Qpq.3B.q?,

C.qpq4D.q2,q4

解析：由題知,P]為真命題,P2為假命題,

."1方4為真命題,故選C.

答案:C

1.4全稱量詞與存在量詞

自測自評

1.下列命題中是全稱命題的是（）

A.圓有內(nèi)接四邊形

B.V3>V2

D.舞繞斕三邊長分別為3、4、5.則這個三角形為直角三角形

答案:A

2.下列命題為存在性命題的是（）

A.偶函數(shù)的圖象關(guān)丁?y軸對稱

B.正四棱柱都是平行六面體

C.不相交的兩條直線是平行直線

D.存在實數(shù)大于等于3

答案:D

3.將“x2+y2,2xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是()

A.Vx,yGR,都有x2+y222xy

B.mx,yGR,使x?+y2》2xy

C.Vx>0,y>0,都有x2+y2>2xy

D.三x<0,y<0,使x2+y2<2xy

答案:A

4.下列四個命題：

①VndR,n2^n;

②VndR,n2<n;

③VnGR,SmGR,m2<n;

(4)3nGR,VmGR,m?n=m.

其中真命題的序號是.

答案:③④

典例剖析

【變式訓(xùn)練11判斷下列命題是否是全稱命題或特稱命題,并判斷其真假.

⑴有一個實數(shù)a,sin2a+cos2a#1；

(2)任何一條直線都存在斜率；

(3)對所有實數(shù)a,b,方程ax+b=O恰有唯一解；

(4)存在實數(shù)X,使得丁!一=2.

X-X+1

［解］(1)(4)是特稱命題，(2)(3)是全稱命題.

⑴對于VaCR,都有si/a+cos2a=1,.?.⑴是假命題.

(2)當直線的傾斜角是90°時,不存在斜率，(2)是假命題.

(3)當a=0,b=-l時,方程無解，二(3)是假命題.

(4)..?對于任意xGR,1W2,；.(4)是假命題.

【變式訓(xùn)練2】寫出W列命題的“否定”.

(1)VxGR,x3-x2+1^0;

(2)VxRR,有cosxWl;

2

(3)3x0GR,X0-2X0<1;

(4)有些三角形是銳角三角形.

［解］(1)否定：mxGR,x3-x2+l>0.

(2)否定：^x￡R,使cosx>l.

2

⑶否定:VX0GR,X0-2X0^1.

(4)否定:所有的三角形不是銳角三角形.

【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)=x2-2x+5.

(1)是否存在實數(shù)m,使不等式m+f(x)>0對于任意xGR恒成立,并說明理由.

(2)若存在一個實數(shù)x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求實數(shù)m的取值范圍.

［解］(1)不等式m+f(x)>0可化為m>-f(x),

即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.

要使m>-(x-l)2-4對于任意xGR恒成立,只需m>-4即可.

故存在實數(shù)m,使不等式m+f(x)>0對于任意x￡R恒成立,此時,只需m>-4.

(2)不等式m-f(x0)>0可化為m>f(x0),若存在一個實數(shù)x0,使不等式m>f(xQ)成立,只需m>f(x)min.

又f(x)=(xT)2+4,,\f(x)min=4,.??m〉4?

所以，所求實數(shù)m的取值范圍是(4,+8),

技能演練

1.(2010?山東日照質(zhì)檢)命題“Vx>0,x2+x>0”的否定是()

A.3x>0,使得x2+x>0

B.3X>0,X2+X<0

C.Vx>0,都有x2+xW0

D.VxWO,都有x2+x>0

答案:B

2.(2010?北京東城區(qū)期末)下列四個命題中的真命題為()

A.3xQeZ,K4x0<3

B.3XQGZ,5XQ+1=0

C.VxWR,x2-l=0

D.VxSR,X2+X+2>0

答案:D

3.(2010?福建高二質(zhì)檢)已知命題p:VxeR,sinxW14iJ()

A.「p:3x^R,sinx^l

B.-?p:Vx￡R,sinx>1

C.->p:3x^R,sinx>l

D.-ip:Vx￡R,sinx>1

答案:c

4.命題“存在點P(xo，yo),使Xo2+y02-iwO成立”的否定是()

22

A.不存在點P(x0,y0),使xQ+y0-l>0成立

22

B.存在點P(x0,y0),使x0+y0-l>0成立

C.對任意的點P(xg,YQ),使x2+y2-l>0成立

D.對任意的點P(x0,y0),使x2+y2-l<0成立

答案:C

5.給出下列四個命題：

①p:VxGR,有x4>x2;

②q:Ea￡R,使sin3a=3sina；

③r:mxER,使得|x+l|Wl且X2>4;

@s:V4>€R,函數(shù)y=sin(2x+6)都不是偶函數(shù).

以上命題的否定為真命題的序號是()

A.①②③B.①③④

C.②③D.①③

解析:①X=1時,X4=X2,Ap是假命題，*是真命題.

②當a=0時，sin(3X0)=3sin0,Aq為真命題,為假命題.

③由Ix+11W1,得-2Wx<0,由x2>4得x>2或x<-2,命題r是假命題，T為真命題.

TTTT

④當小=,時，函數(shù)y=si〃(2x+,)是偶函數(shù)，故s為真命題,飛為假命題.

答案:D

6.已知命題p:VxGR,乂220,貝bp：.

答案：3XGR,X2<0

7.已知命題：”存在xe[1,2],使x2+2x+a20”為真命題,則a的取值范圍是

答案：［-8,+8)

8.(2010?福建莆田月考)下列命題是真命題的是.

①命題“若x2-3x+2=0,則x=l”的逆否命題為“若xNl,則x2-3x+2W0”；

②若命題P：3xeR,x2+x+l=0,則中為VxGR,x2+x+l#：0;

③全稱命題“VxGR,x2是有理數(shù)”是真命題；

?□a,BGR,使sin(a+B)=sina+sinB.

答案:①②④

9.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.

⑴p：mxo，yoGZ,使得缶o+*=3；

(2)q:VxFR,x2+x-4>0.

解：(l)rp：Vx,yGZ,J2x+yW3,

當x=0,y=3時，J2x+y=3,

因此rp是假命題.

(2)rq：3xeR,X2+X-4^0,

當x=0時，X2+X-4=-4W0,

因此F是真命題

10.(2010?湖南長沙月考)已知函數(shù)f(x)=2x2-2ax+b,f(T)=-8.對VxGR,都有f(x)2f(-1)成立,記集合

A={xIf(x)>0},B={x||x-t|Wl}.

(1)當t=l時,求(CRA)UB；

(2)設(shè)命題p:AC!BW。,若為真命題,求實數(shù)t的取值范圍.

解：由題意(-1,-8)為二次函數(shù)的頂點，

f(x)=2(x+1)2-8=2(X2+2X-3).

A={xx<-3或x>l}.

(l)B={x||x-l|Wl}={x|0WxW2}.

A(CRA)UB={X|-3WX0}U{X|0WXW2}

={x|-3WxW2}.

(2)B={x|t-lWx〈t+l}.

t-l>-3

't+l<l

”的否定是.

解析:特稱命題的否定是全稱命題，“存在”對應(yīng)“任意”.這類問題的常見錯誤是沒有把全稱量詞改為存在

量詞.

答案:對任意xGR,都有X2+2X+5^0

第二章圓錐曲線與方程

2.1橢圓

2.1.1橢圓及其標準方程

自測自評

2，

L橢圓“副標為()

259

A.(5,0),(-5,0)B.(9,0),(-9,0)

C.(4,0),(-4,0)]D.(O,4),(O,-4)

答案:C

2.橢圓的焦點坐標為(4,0),(40),橢圓上一點到兩焦點的距離之和為10,則橢圓的標準方程為()

22

6.工+匕=1

169259

2222

C'+皂=1D工+J

9252516

答案:B,,

3.焦點在軸上的橢圓弧熱事則

2,m

m4

A.8B.5C.5或3D.6

答案:B

4.已知a=4,c=3,焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.

22

答案:三+匯=1

716

典例剖析

【變式訓(xùn)練11求適合下列條件的橢圓的標準方程.

(1)兩個焦點的坐標分別為年卿圓性觸點(5,0);

(2)焦點伽上且經(jīng)過兩個點和仙2)(1,0);

(3)經(jīng)過點Pg,；),2(0,-；).

［分析］求橢圓的標準方程時，要先判斷焦點的位置,確定出適合題意的橢圓的標準方程的形式，最后由條件

確懶靠嬲Kfe在軸上x,

22

設(shè)它的標準方程為?+當=1(?>^>0).

ah~

2a=J(5+守+J(5-4)2=10,

a=5.

又c=4,

b2=a2-c2=25-16=9.

故所求橢圓的方程為《+￡=1.

259

(2)?.?橢圓的焦點而軸上，

22

設(shè)它的標準方程為3+與=l(a>b>0).

a~b~

又橢圓經(jīng)過點即,2)(1,0),

4O

-+F

a2=1,a2=4

oI=>V

+F/=1

a2二1

2

故所求橢圓的方程為v匕+X2=1.

4

(3)設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,mwn

鏟二］

m=5

n=4

1

故所求的橢圓方程為5x2+4y2=1.

【變式訓(xùn)練2】過橢圓4x2+y2=l的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一個焦

點F2構(gòu)成AABF2的周長是（）

A.2B.4C.V2D.273

［分析］依題意畫出圖形，根據(jù)橢圓的定義可得出結(jié)果.

［解析］如下圖所示，???|AF］|+|AF2l=2,

IBF/+IBF2U2,

|AFil+|BF]|+|AF21+|BF2l=4,

即|AB|+|AF2l+|BF21=4.

［答案］B

【變式訓(xùn)練3］已知4ABC的一邊BC長為8,周長為20,求頂點A的軌跡方程.

［分析］注意頂點A到B和C的距離之利為定值，故可考慮利用橢圓的定義來求其方程.

［解］以BC邊所在直線為x軸,BC中點為原點,建立如下圖所示的直角坐標系，則B、C兩點的坐標分別為

(-4,0)、(4,0).

?.1AB|+|BC|+|CA|=20且|BC|=8,

A|AB|+|AC|=12,12>|BC|,

.?.點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓(除去與x軸的交點).

由2a=12,2c=8及a2=b2+c2得a2=36,b2=20.

故所求的軌跡方程為

22

—+2L=l(y^0).

1.已知兩定點F](-4,0),F2(4,0),點P是平面上一動點，且|PF1|+|PF2I=8,則點P的軌跡是()

A.圓B.直線

C.橢圓D.線段

答案:D22

2.橢圓酢感卷機為()

169')

A.(5,0),(-5,0)B.(O,5),(O,-5)

C.(0,12),(0,-12)D.(12,0),(-12,0)

答案:C

22

3.設(shè)F懸橢圓的嘮邸圓上一點P,

則曲愜為()

A.16B.18C.20D.不確定

答案:B

4.如果方程x2+ky2-2表示焦點在y軸上的橢圓,那么實數(shù)k的取值范圍是()

A.(0,2)B.(O,+oo)

C.(-8,1)D.(0,1)

22

解析將方程化為標準方程為—+^-=l,.-.k>0.

22

k

又因為焦點在軸上即?脩>2,k<l,0<k<l.

答案:D2

5.橢圓百兩傘焦點為過作垂直下,F2，F(xiàn)2x

軸的直線與橢圓相交L個交點為則，等,用()

A.y/3B.~C.-DA

22]

解析由軸得_Lx,|PF2|=-,

7

|PFj=2a—|P同=了

答案:C

6.與橢圓x2+4y2=4有公共的焦點,且經(jīng)過點A⑵1)的橢圓的方程為.

解析橢圓艙標準歷程的?+/=1,