2016-2017學(xué)年北京市西城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2016-2017學(xué)年北京市西城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一

個(gè)是符合題意的.

1.（3分）拋物線y=（x-1）2+2的對(duì)稱軸為（）

A.直線x=1B.直線x=-1C.直線x=2D.直線x=-2

2.（3分）我國(guó)民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對(duì)幸福生活的

向往，良辰佳節(jié)的祝賀.比如下列圖案分別表示"福"、"祿"、"壽"、"喜"，其

中是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（）

3.（3分）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,tanA=L,貝UBC的長(zhǎng)度為（）

（分）將拋物線平移，得到拋物線（）2下列平移

4.3y=-3x2y=-3x-1-2,

方式中，正確的是（）

A.先向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位

B.先向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位

C.先向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位

D.先向右平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位

5.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)0為位似中心，把線段AB

放大后得到線段CD.若點(diǎn)A（1,2）,B（2,0）,D（5,0）,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

（5,5）C.(3,5)D.(3,6)

2

6.（3分）如圖，AB是。0的直徑，C,D是圓上兩點(diǎn)，連接AC,BC,AD,CD.若

NCAB=55。，則NADC的度數(shù)為（)

A.55°B.45°C.35°D.25°

7.（3分）如圖，AB是。O的一條弦，ODLAB于點(diǎn)C,交。0于點(diǎn)D,連接0A.若

AB=4,CD=1,則。。的半徑為（）

A.5B.C.3D.3

2

8.（3分）制造彎形管道時(shí)，經(jīng)常要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度"，再下料.右圖

是一段彎形管道，其中NO=NO，=90。，中心線的兩條弧的半徑都是1000mm,

這段變形管道的展直長(zhǎng)度約為（取三.14）（）

五1000

A.9280mmB.6280mmC.6140mmD.457mm

9.（3分）當(dāng)太陽(yáng)光線與地面成40。角時(shí)，在地面上的一棵樹(shù)的影長(zhǎng)為10m,樹(shù)

高h(yuǎn)（單位：m）的范圍是（）

A.3<h<5B.5<h<10C.10<h<15D.15<h<20

10.（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，開(kāi)口向下的拋物線y=ax2+bx+c的一部分

圖象如圖所示，它與x軸交于A（1,0）,與y軸交于點(diǎn)B（0,3）,則a的

取值范圍是（）

A.a<0B.-3<a<0D..J.<a<.J.

二、填空題（本題共18分，每小題3分）

11.（3分）二次函數(shù)y=x2-2x+m的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值

為.

12.（3分）如圖，在^ABC中，點(diǎn)E,F分別在AB,AC上，若△AEFs^ABC,

則需要增加的一個(gè)條件是（寫(xiě)出一個(gè)即可）

13.（3分）如圖，OO的半徑為1,PA,PB是。0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,

B.連接OA,OB,AB,P0,若NAPB=60。，則^PAB的周長(zhǎng)為.

14.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yi=kx+m(kWO)與拋物線

2

y2=ax+bx+c(aWO)交于點(diǎn)A(0,4),B(3,1),當(dāng)”Wy2時(shí)，x的取值范

圍是.

15.(3分)如圖，在^ABC中，NBAC=65。，將^ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到

△AB'C,連接C'C.若C'C〃AB,則NBAB'=

16.(3分)考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一塊古代圓形殘片如圖所示，為了修復(fù)這塊殘片,

需要找出圓心.

(I)請(qǐng)利用尺規(guī)作圖確定這塊殘片的圓心O;

(2)寫(xiě)出作圖的依據(jù)：.

三、解答題(本題共72分，第17?26題，每小題5分，第27題7分，第28

題7分，第29題8分)解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

17.(5分)計(jì)算：4cos30°-3tan60°+2sin45°?cos45°.

18.(5分)如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°,得到線段AE,連接CD,BE.

(1)求證：ZAEB=ZADC；

(2)連接DE,若NADC=105。，求NBED的度數(shù).

A

19.（5分）已知二次函數(shù)y=x2+4x+3.

（1）用配方法將二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a（x-h）2+k的形式;

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)（2）中的圖象，寫(xiě)出一條該二次函數(shù)的性質(zhì).

環(huán)

5-

4-

3

2

1-

llll......................................................ix

-4-3-2-1(912345

-1-

-2

20.（5分）如圖，在^ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，ZDAC=ZB.點(diǎn)E在AD邊上,

CD=CE.

(1)求證：△ABDs^CAE；

(2)若AB=6,AC=2,BD=2,求AE的長(zhǎng).

2

21.（5分）一張長(zhǎng)為30cm,寬20cm的矩形紙片，如圖1所示，將這張紙片的

四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)相同的正方形后，把剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體

紙盒，如圖1所示，如果折成的長(zhǎng)方體紙盒的底面積為264cm2,求剪掉的正

方形紙片的邊長(zhǎng).

22.（5分）一條單車(chē)道的拋物線形隧道如圖所示.隧道中公路的寬度AB=8m,

隧道的最高點(diǎn)C到公路的距離為6m.

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；

（2）現(xiàn)有一輛貨車(chē)的高度是4.4m,貨車(chē)的寬度是2m,為了保證安全，車(chē)頂距

離隧道頂部至少0.5m,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)這條隧道.

23.（5分）如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接AC,BC,ZBCD=ZCAB.E是。O上一點(diǎn)，弧CB=5M

CE,連接AE并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

（1）求證：DC是。。的切線；

￡1E2S3

在《相似》和《銳角三角函數(shù)》的學(xué)習(xí)中，我們了解了借助太陽(yáng)光線、利用標(biāo)桿、

平面鏡等可以測(cè)量建筑物的高度.綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)王老師讓同學(xué)制

作了一種簡(jiǎn)單測(cè)角儀：把一根細(xì)線固定在量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系

一個(gè)重物（如圖1）;將量角器拿在眼前，使視線沿著量角器的直徑剛好看到

需測(cè)量物體的頂端，這樣可以得出需測(cè)量物體的仰角a的度數(shù)（如圖2,3）.利

用這種簡(jiǎn)單測(cè)角儀，也可以幫助我們測(cè)量一些建筑物的高度.天壇是世界上

最大的祭天建筑群，1998年被確認(rèn)為世界…文化遺產(chǎn).它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕ㄖ植?

奇特的建筑構(gòu)造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世.祈年殿是天壇主體建筑，又稱

祈谷殿（如圖4）.采用的是上殿下屋的構(gòu)造形式，殿為圓形，象征天圓；瓦

為藍(lán)色，象征藍(lán)天.祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇.請(qǐng)你利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)

知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，解決"測(cè)量天壇祈年殿的高度"的問(wèn)題.要求：

（1）寫(xiě)出所使用的測(cè)量工具；

（2）畫(huà)出測(cè)量過(guò)程中的幾何圖形，并說(shuō)明需要測(cè)量的幾何量；

（3）寫(xiě)出求天壇祈年殿高度的思路.

25.（5分）如圖，4ABC內(nèi)接于。0,直徑DELAB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,DE

的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接AM.

（1）求證：AM=BM；

（2）若AMLBM,DE=8,ZN=15°,求BC的長(zhǎng).

26.（5分）閱讀下列材料：

有這樣一個(gè)問(wèn)題：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）有兩個(gè)不相等的且

非零的實(shí)數(shù)根.探究a,b,c滿足的條件.

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是

小明的探究過(guò)程：

①設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax?+bx+c（a>0）；

②借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應(yīng)的一元二次中a,b,c滿足的條件，列表如

下:

方程根的幾何意義：請(qǐng)將(2)補(bǔ)充完整

方程兩根的情況對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖a,b,c滿足的條件

象

方程有兩個(gè)

不相等的正實(shí)根

(1)參考小明的做法，把上述表格補(bǔ)充完整;

(2)若一元二次方程mx?-(2m+3)x-4m=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根，且

負(fù)實(shí)根大于-1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

27.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A,B

(A在B的左側(cè)).

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3,AB=4.求拋物線的表達(dá)式；

(2)平移(1)中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,且與x正半軸交于點(diǎn)

C,記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P,若△OCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)m=4時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)M(xi，yi)和N(x2,丫2),若xi<2,X2>2,

XI+X2>4,試判斷yi與y2的大小,并說(shuō)明理由.

28.(7分)在RtaABC中，NACB=90。，AC=BC,CD為AB邊上的中線.在改△

AEF中，NAEF=90°,AE=EF,AF<AC.連接BF,M,N分別為線段AF,BF的

中點(diǎn)，連接MN.

(1)如圖1,點(diǎn)F在aABC內(nèi)，求證：CD=MN；

(2)如圖2,點(diǎn)F在^ABC外，依題意補(bǔ)全圖2,連接CN,EN,判斷CN與EN

的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；

(3)將圖1中的4AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若AC=a,AF=b(b<a),直接寫(xiě)出EN的最

大值與最小值.

29.(8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：對(duì)于。(:及OC外一點(diǎn)P,

M,N是(DC上兩點(diǎn)，當(dāng)NMPN最大，稱NMPN為點(diǎn)P關(guān)于。(：的“視角直

線I與。C相離，點(diǎn)Q在直線I上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q關(guān)于。C的"視角”最大時(shí)，則

稱這個(gè)最大的“視角”為直線I關(guān)于。C的"視角〃.

(1)如圖，。0的半徑為1,

①已知點(diǎn)A(1,1),直接寫(xiě)出點(diǎn)A關(guān)于。。的“視角”大小；已知直線y=2,直接

寫(xiě)出直線y=2關(guān)于。0的“視角”；

②若點(diǎn)B關(guān)于。0的“視角"為60。，直接寫(xiě)出一個(gè)符合條件的B點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)OC的半徑為1,

①點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),直線I：y=kx+b(k>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(-2后1,0),若

直線I關(guān)于。C的"視角”為60。，求k的值；

②圓心C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，若直線丫=后+遙關(guān)于。C的"視角"大于120°,

直接寫(xiě)出圓心C的橫坐標(biāo)xc的取值范圍.

2016-2017學(xué)年北京市西城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一

個(gè)是符合題意的.

1.（3分）拋物線y=（x-1）2+2的對(duì)稱軸為（）

A.直線x=1B.直線x=-1C.直線x=2D,直線x=-2

【分析】由拋物線解析式可求得答案.

【解答】解：

":Y=（x-1）2+2,

...對(duì)稱軸為直線x=l,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，

即在y=a（x-h）2+k中，對(duì)稱軸為x=h,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）.

2.（3分）我國(guó)民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對(duì)幸福生活的

向往，良辰佳節(jié)的祝賀.比如下列圖案分別表示"福"、"祿"、"壽"、"喜"，其

中是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

D、軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋

找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋

轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

3.（3分）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=4,tanA=l,貝UBC的長(zhǎng)度為（）

A.2B.8C.473D.4A/5

【分析】根據(jù)角的正切值與三角形邊的關(guān)系求解.

【解答】解：：在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=4,

tanA=A_=^2^

2AC4

BC=2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠選擇合適的邊角關(guān)

系求解，難度不大.

4.（3分）將拋物線y=-3x2平移，得到拋物線y=-3（x-1）2-2,下列平移

方式中，正確的是（）

A.先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位

B.先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位

C.先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位

D.先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位

【分析】找到兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)即可判斷是如何平移得到.

【解答】解：,；￥=-3x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,y=-3（x-1）2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)

為（1,-2）,

??.將拋物線y=-3x2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，可得到拋物線y=

-3(x-1)2-2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知"上加下減，左加右減"

的法則是解答此題的關(guān)鍵.

5.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)0為位似中心，把線段AB

放大后得到線段CD.若點(diǎn)A(1,2),B(2,0),D(5,0),則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

【分析】利用位似圖形的性質(zhì)得出位似比，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.

【解答】解：???以原點(diǎn)O為位似中心，把線段AB放大后得到線段CD,且B(2,

0),D(5,0),

.?.強(qiáng)=2,

*,0DT

VA(1,2),

AC(旦5).

2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.在平面

直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖

形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

6.(3分)如圖，AB是。。的直徑，C,D是圓上兩點(diǎn)，連接AC,BC,AD,CD.若

NCAB=55。，則NADC的度數(shù)為()

A.55°B.45°C.35°D.25°

【分析】推出Rt^ABC,求出NB的度數(shù)，由圓周角定理即可推出NADC的度數(shù).

【解答】解：：AB是。。的直徑，

AZACB=90",

VZCAB=55°,

NB=35°,

AZADC=ZB=35".

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角的有關(guān)定理，關(guān)鍵作好輔助線，構(gòu)建直角三角形,

找到同弧所對(duì)的圓周角.

7.（3分）如圖，AB是。0的一條弦，ODLAB于點(diǎn)C,交。0于點(diǎn)D,連接0A.若

AB=4,CD=1,則。。的半徑為（）

【分析】設(shè)。。的半徑為r,在Rt^ACO中，根據(jù)勾股定理列式可求出r的值.

【解答】解：設(shè)。0的半徑為r,則OA=r,OC=r-1,

VOD±AB,AB=4,

：.AC=1AB=2,

2

在RtAACO中，OA2=AC2+OC2,

r2=22+（r-1）2,

r.5

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理和勾股定理，是常考題型，熟練掌握垂徑定理是關(guān)

鍵，垂直于弦的直徑平分弦；確定一個(gè)直角三角形，設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定

理列方程解決問(wèn)題.

8.（3分）制造彎形管道時(shí)，經(jīng)常要先按中心線計(jì)算"展直長(zhǎng)度"，再下料.右圖

是一段彎形管道，其中/0=/0，=90。，中心線的兩條弧的半徑都是1000mm,

這段變形管道的展直長(zhǎng)度約為（取必.14）（）

A.9280mmB.6280mmC.6140mmD.457mm

【分析】先計(jì)算出扇形的弧長(zhǎng)再加上直管道的長(zhǎng)度3000即可.

【解答】解：圖中管道的展直長(zhǎng)度=2X9°7T義10°°+3000=1000/3000吐1000X

180

3.14+3000=6140mm.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了扇形的弧長(zhǎng)公式，這個(gè)公式要牢記.弧長(zhǎng)公式為：1=理

180

（弧長(zhǎng)為I,圓心角度數(shù)為n,圓的半徑為R）.

9.（3分）當(dāng)太陽(yáng)光線與地面成40。角時(shí)，在地面上的一棵樹(shù)的影長(zhǎng)為10m,樹(shù)

高h(yuǎn)（單位：m）的范圍是（）

A.3<h<5B.5<h<10C.10<h<15D.15<h<20

【分析】利用坡度算出坡角最大或最小時(shí)樹(shù)高的范圍即可.

【解答】解：AC=10.

①當(dāng)NA=30°時(shí)，BC=ACtan30°=10X^2^5.7.

3

②當(dāng)NA=45°時(shí)，BC=ACtan45°=10.

.*.5.7<h<10,

故選：B.B

AA

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的定義，利用三角函數(shù)的定義求得相應(yīng)角度時(shí)樹(shù)

的高度是解題的關(guān)鍵.

10.（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，開(kāi)口向下的拋物線y=ax2+bx+c的一部分

圖象如圖所示，它與x軸交于A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,3),則a的

取值范圍是()

A.a<0B.-3<a<0C.a<D<a<

2-44

【分析】根據(jù)圖象得出a<0,b<0,由拋物線與x軸交于A(1,0),與y軸交

于點(diǎn)B(0,3),得出a+b=-3,得出-3<a<0即可.

【解答】解：根據(jù)圖象得：a<0,b<0,

?拋物線與x軸交于A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,3),

?(a+b+c=0

*lc=3

/.a+b=-3,

Vb<0,

-3<a<0,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，難度一

般，關(guān)鍵是正確獲取圖象信息進(jìn)行解題.

二、填空題(本題共18分，每小題3分)

11.(3分)二次函數(shù)丫=*2-2x+m的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為

【分析】根據(jù)442-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)得到△=(-2/-4m=0,

然后解關(guān)于m的方程即可.

【解答】解：根據(jù)題意得△=(-2)2-4m=0,

解得m=l.

故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c

是常數(shù)，aWO）,-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：-4ac>0

時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；

△=b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

12.（3分）如圖，在aABC中，點(diǎn)E,F分別在AB,AC±,若△AEFs^ABC,

則需要增加的一個(gè)條件是EF〃BC（寫(xiě)出一個(gè)即可）

【分析】利用平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原

三角形相似進(jìn)行添加條件.

【解答】解：當(dāng)EF〃BC時(shí)，△AEFS/XABC.

故答案為EF〃BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊

相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

13.（3分）如圖，?O的半徑為1,PA,PB是。O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,

B.連接OA,OB,AB,PO,若NAPB=6O。，則^PAB的周長(zhǎng)為3立.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OALPA,OB±PB,OP平分NAPB,PA=PB,推出

△PAB是等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PA=V3AO=V3-于是得到

結(jié)論.

【解答】解：：PA、PB是半徑為1的。。的兩條切線，

AOAXPA,OB±PB,OP平分NAPB,PA=PB,

而NAPB=60°,

ZAPO=30°,APAB是等邊三角形，

??PA=\,r3AO=-\/3>

/.△PAB的周長(zhǎng)=

故答案為：3M.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算，熟

練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線yi=kx+m(k/0)與拋物線

y2=ax2+bx+c(aWO)交于點(diǎn)A(0,4),B(3,1),當(dāng)yiWy2時(shí)，x的取值范

圍是0WxW3.

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象以及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，寫(xiě)出拋物線在直線上方部分的x的

取值范圍即可.

【解答】解：???兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)A(0,4),B(3,1),

???當(dāng)”Wy2時(shí)，x的取值范圍是0WxW3.

故答案為：04W3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想之一，解

決函數(shù)問(wèn)題更是如此.

15.(3分)如圖，在^ABC中，NBAC=65。，將^ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到

△AB'C,連接CC.若CC〃AB,則NBAB'=50

々B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC,NB，AB=NCAC,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

得NACC=NACU,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)由CCWAB得NACC，=NCAB=65。，

則NAC'C=NACC'=65°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出NCAC=50。，所以N

B'AB=50°.

【解答】解：:△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，

.?.AC'=AC,ZB,AB=ZC,AC,

NACC=NACU,

VCCWAB,

NACC'=NCAB=65°,

，NAC'C=NACC'=65°,

ZCAC=180°-2X65°=50°,

NB'AB=50°,

故答案為50.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距

離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了平行線的

性質(zhì).

16.（3分）考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一塊古代圓形殘片如圖所示，為了修復(fù)這塊殘片，

需要找出圓心.

（1）請(qǐng)利用尺規(guī)作圖確定這塊殘片的圓心O;

（2）寫(xiě)出作圖的依據(jù)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓?

【分析】（1）直接在圓形殘片上確定3點(diǎn)，進(jìn)而作出兩條垂直平分線的交點(diǎn)得出

圓心即可；

（2）利用垂直平分線的性質(zhì)得出圓心的位置.

【解答】（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求作的圓心；

B

（2）作圖的依據(jù)：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確

定一個(gè)圓.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)，正確把握

垂徑定理的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

三、解答題（本題共72分，第17?26題，每小題5分，第27題7分，第28

題7分，第29題8分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

17.（5分）計(jì)算：4cos30°-3tan60°+2sin45°?cos45°.

【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=4X直-3X后2X返X叵：L-

222

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.（5分）如圖，D是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60°,得到線段AE,連接CD,BE.

（1）求證：ZAEB=ZADC；

（2）連接DE,若NADC=105。，求NBED的度數(shù).

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)知NBAC=60。，AB=AC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知N

DAE=60°,AE=AD,從而得NEAB=NDAC,再證^EAB咨aDAC可得答案；

（2）由NDAE=60°,AE=AD知4EAD為等邊三角形，即NAED=60°,繼而由NAEB=

NADC=105°可得.

【解答】解：（1）?.'△ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,AB=AC.

?.?線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AE,

AZDAE=60°,AE=AD.

AZBAD+ZEAB=ZBAD+ZDAC.

AZEAB=ZDAC.

在AEAB和ADAC中，

'AB=AC

?*NEAB=/DAC，

,AE=AD

A△EABADAC.

AZAEB=ZADC.

(2)如圖,

VZDAE=60°,AE=AD,

.?.△EAD為等邊三角形.

ZAED=60°,

XVZAEB=ZADC=105°.

AZBED=45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性

質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證得三角形的全等是解題的關(guān)鍵.

19.(5分)已知二次函數(shù)y=x2+4x+3.

(1)用配方法將二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k的形式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；

（3）根據(jù)（2）中的圖象，寫(xiě)出一條該二次函數(shù)的性質(zhì).

環(huán)

5-

4-

3

2

1

?1111?>x

-4-3-2-1。12345

-1

-2

-3

-4

【分析】（1）利用配方法把二次函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式;

（2）利用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)圖象；

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答】解：（1）y=x2+4x+3

=x2+4x+22-22+3

=(x+2)2-1；

（2）列表:

x...-4-3-2-10

y30-103

如圖,

（3）當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>-2時(shí)，y隨x的增大而增大.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的三種形式：一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常

數(shù)，aWO）,該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

是（0,c）；頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a,h,k是常數(shù)，aWO）,其中（h,k）

為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,

k）；交點(diǎn)式：y=a（x-xi）（x-x2）（a,b,c是常數(shù)，aWO）,該形式的優(yōu)勢(shì)

是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（XI,0）,（X2,0）.

20.(5分)如圖，在^ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，ZDAC=ZB.點(diǎn)E在AD邊上,

CD=CE.

(1)求證：△ABDs^CAE；

(2)若AB=6,AC=2,BD=2,求AE的長(zhǎng).

2

【分析】(1)由CE=CD,推出NCDE=NCED,推出NADB=/CEA,由/DAC=NB,

即可證明.

（2）由（1）AABD^ACAE,得到膽型，把AB=6,AC=2,BD=2,代入計(jì)算

AC-AE2

即可解決問(wèn)題.

【解答】（1）證明：：CE=CD,

AZCDE=ZCED.

AZADB=ZCEA.

VZDAC=ZB,

/.△ABD^ACAE.

(2)解：由(1)△ABDs/XCAE,

；iAB_BD

AC=AE'

VAB=6,AC=2,BD=2,

2

.?.AE=旦.

2

A

BDC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角

的性質(zhì)等知識(shí)，就提到過(guò)房間數(shù)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考

題型.

21.（5分）一張長(zhǎng)為30cm,寬20cm的矩形紙片，如圖1所示，將這張紙片的

四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)相同的正方形后，把剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方?體

紙盒，如圖1所示，如果折成的長(zhǎng)方體紙盒的底面積為264cm2,求剪掉的正

方形紙片的邊長(zhǎng).

【分析】設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm,那么長(zhǎng)方體紙盒的底面的長(zhǎng)為（30-2x）

cm,寬為（20-2x）cm,然后根據(jù)底面積是81cm2即可列出方程求出即可.

【解答】解：設(shè)剪掉的正方形紙片的邊長(zhǎng)為xcm.

由題意，得（30-2x）（20-2x）=264.

整理，得x2-25x+84=0.

解方程，得xi=4,X2=21（不符合題意，舍去）.

答：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為4cm.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，首先要注意讀懂題意，正確理解

題意，然后才能利用題目的數(shù)量關(guān)系列出方程.

22.（5分）一條單車(chē)道的拋物線形隧道如圖所示.隧道中公路的寬度AB=8m,

隧道的最高點(diǎn)C到公路的距離為6m.

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；

（2）現(xiàn)有一輛貨車(chē)的高度是4.4m,貨車(chē)的寬度是2m,為了保證安全，車(chē)頂距

離隧道頂部至少0.5m,通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這輛貨車(chē)能否安全通過(guò)這條隧道.

【分析】(1)以AB所在直線為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐

標(biāo)系xOy,如圖所示，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.

(1)求出x=l時(shí)的y的值，與4.4+0.5比較即可解決問(wèn)題.

【解答】解：(1)本題答案不唯一，如：

以AB所在直線為x軸，以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如

圖所示.

AA(-4,0),B(4,0),C(0,6).

設(shè)這條拋物線的表達(dá)式為y=a(x-4)(x+4).

拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,

二-16a=6.

?a——3

8

二拋物線的表達(dá)式為y=-當(dāng)2+6,(-4WXW4).

8

(2)當(dāng)x=l時(shí)，y=至，

8

74.4+0.5=4.9

8

???這輛貨車(chē)能安全通過(guò)這條隧道.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、平面直角坐標(biāo)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)

構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，掌握待定系數(shù)法解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

23.(5分)如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的

延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,連接AC,BC,ZBCD=ZCAB.E是。0上一點(diǎn)，弧CB=5M

CE,連接AE并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.

（1）求證：DC是。0的切線；

（2）若。。的半徑為3,sinD=上，求線段AF的長(zhǎng).

【分析】（1）連接0C,由AB是。。的直徑,得到ZACB=90。,即Nl+N3=90°.根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N1=N2.得到NDCB+N3=90。.于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到0D=5,AD=8.根據(jù)圓周角定理得到N2=N4.推

出OC〃AF.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接OC,BC,

VAB是。O的直徑，

ZACB=90°,即Nl+N3=90°.

VOA=OC,

/.Z1=Z2.

VZDCB=ZBAC=Z1.

AZDCB+Z3=90°.

AOCXDF.

ADF是。O的切線；

(2)解：在RtZXOCD中，0C=3,sinD=W.

5

.*.0D=5,AD=8.

VCE=BC，

.\Z2=Z4.

/.Z1=Z4.

AOC^AF.

.,.△DOC^ADAF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

24.（5分）測(cè)量建筑物的高度

在《相似》和《銳角三角函數(shù)》的學(xué)習(xí)中，我們了解了借助太陽(yáng)光線、利用標(biāo)桿、

平面鏡等可以測(cè)量建筑物的高度.綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)王老師讓同學(xué)制

作了一種簡(jiǎn)單測(cè)角儀：把一根細(xì)線固定在量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系

一個(gè)重物（如圖1）;將量角器拿在眼前，使視線沿著量角器的直徑剛好看到

需測(cè)量物體的頂端，這樣可以得出需測(cè)量物體的仰角a的度數(shù)（如圖2,3）.利

用這種簡(jiǎn)單測(cè)角儀，也可以幫助我們測(cè)量一些建筑物的高度.天壇是世界上

最大的祭天建筑群，1998年被確認(rèn)為世界…文化遺產(chǎn).它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕ㄖ植?

奇特的建筑構(gòu)造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世.祈年殿是天壇主體建筑，又稱

祈谷殿（如圖4）.采用的是上殿下屋的構(gòu)造形式，殿為圓形，象征天圓；瓦

為藍(lán)色，象征藍(lán)天.祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇.請(qǐng)你利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)

知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，解決"測(cè)量天壇祈年殿的高度"的問(wèn)題.要求：

（1）寫(xiě)出所使用的測(cè)量工具；

（2）畫(huà)出測(cè)量過(guò)程中的幾何圖形，并說(shuō)明需要測(cè)量的幾何量；

（3）寫(xiě)出求天壇祈年殿高度的思路.

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)正切的概念解答即可.

【解答】解：（1）測(cè)量工具有：簡(jiǎn)單測(cè)角儀，測(cè)量尺；

（2）設(shè)CD表示祈年殿的高度，測(cè)量過(guò)程的幾何圖形如圖所示;

需要測(cè)量的幾何量如下：

①在點(diǎn)A,點(diǎn)B處用測(cè)角儀測(cè)出仰角a,仇

②測(cè)出A,B兩點(diǎn)之間的距離s；

（3）設(shè)CD的高度為xm.

在RtADBC中，BC__—,

tanp

在RtADAC中，_--，

tanC1

VAB=AC-BC,

5tan0.tanP

s，tanQ，tan

解得，x=^.

tanP-tana

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概

念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

25.（5分）如圖，4ABC內(nèi)接于。0,直徑DELAB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)M,DE

的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接AM.

（1）求證：AM=BM；

（2）若AMLBM,DE=8,ZN=15°,求BC的長(zhǎng).

【分析】（1）由垂徑定理可求得AF=BF,可知DE為AB的垂直平分線，可得AM=BM；

（2）連接AO,BO,可求得NACB=60。，可求得NAOF,由DE的長(zhǎng)可知A0,在

RtAAOF中得AF,在RtZXAMF中可求得AM,在ACM中，由七血/ACM望■，

CM

可求得CM,則可求得BC的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：

,直徑DELAB于點(diǎn)F,

，AF=BF,

.\AM=BM；

（2）連接AO,B0,如圖，

由（工）可得AM=BM,

VAM±BM,

AZMAF=ZMBF=45°,

AZCMN=ZBMF=45°,

VAO=BO,DELAB,

ZAOF=ZBOF=l/A0B-

VZN=15",

AZACM=ZCMN+ZN=60°,即NACB=60°,

：NACB=；/AOB-

AZAOF=ZACB=60°.

VDE=8,

AA0=4.

在Rt^AOF中，由sin/McF，得AF=2^,

AO

在RtAAMF中，AM=BM=&AF=2遍.

在ACM中，由tan/ACMh^，得CM=2料,

CM

BC=CM+BM=272+2瓜

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、垂徑定理，在(2)中注意在不同的直角三

角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

26.(5分)閱讀下列材料：

有這樣一個(gè)問(wèn)題：關(guān)于x的一元二次方程ax?+bx+c=O(a>0)有兩個(gè)不相等的且

非零的實(shí)數(shù)根.探究a,b,c滿足的條件.

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是

小明的探究過(guò)程：

①設(shè)一元二次方程ax?+bx+c=O(a>0)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax?+bx+c(a>0)；

②借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應(yīng)的一元二次中a,b,c滿足的條件，列表如

下:

方程根的幾何意義：請(qǐng)將(2)補(bǔ)充完整

方程兩根的情況對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖a,b,c滿足的條件

方程有兩個(gè)a>0

2_

不相等的負(fù)實(shí)根A=b4ac>,0

*<0

da

c>0.

(1)參考小明的做法，把上述表格補(bǔ)充完整；

(2)若一元二次方程mx2-(2m+3)x-4m=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根，且

負(fù)實(shí)根大于-1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【分析】(1)由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系容易

得出答案；

(2)根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可.

【解答】解：(1)補(bǔ)全表格如下：

方程兩根的情況二次函數(shù)的大致圖1得出的結(jié)論

象

方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根J

一個(gè)正實(shí)根1______

'a>0

△=b2-4ac?>0

T>。

Na

c>0.

a〉0

A=b2_4ac>0

故答案為：方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根,

c>0.

(2)解：設(shè)一元二次方程mx2-(2m+3)x-4m=0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為：y=mx2

-(2m+3)x-4m,

，元二次方程mx2+(2m-3)x-4=0有一個(gè)負(fù)實(shí)根,一個(gè)正實(shí)根,

且負(fù)實(shí)根大于-1,

①當(dāng)m>0時(shí)，x=-1時(shí)，y>0,解得m<2,

.,.0<m<2.

②當(dāng)m<0時(shí)，x=-l時(shí)，y<0,解得m>2(舍棄)

Am的取值范圍是0Vm<2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以及

二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)；熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系以

及二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

27.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+mx+n與x軸交于點(diǎn)A,B

(A在B的左側(cè)).

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3,AB=4.求拋物線的表達(dá)式；

(2)平移(1)中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,且與x正半軸交于點(diǎn)

C,記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P,若AOCP是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)當(dāng)m=4時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)M(xi,yi)和N(x2)丫2),若xi<2,x2>2,

XI+X2>4,試判斷yi與丫2的大小，并說(shuō)明理由.

【分析】(1)先根據(jù)拋物線和X軸的交點(diǎn)及線段的長(zhǎng)，求出拋物線的解析式；

(2)根據(jù)平移后拋物線的特點(diǎn)設(shè)出拋物線的解析式，再利用等腰直角三角形的

性質(zhì)求出拋物線解析式；

(3)根據(jù)拋物線的解析式判斷出點(diǎn)M,N的大概位置，再關(guān)鍵點(diǎn)M,N的橫坐

標(biāo)的范圍即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)拋物線y=-x2+mx+n的對(duì)稱軸為直線x=-3,AB=4.

??.點(diǎn)A(-5,0),點(diǎn)B(-1,0).

，拋物線的表達(dá)式為y=-(x+5)(x+1)

/.y=-x2-6x-5.

(2)如圖1,

依題意，設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為：y=-x2+bx.

??.拋物線的對(duì)稱軸為直線x/，拋物線與x正半軸交于點(diǎn)C(b,0).

2

.,.b>0.

記平移后的拋物線頂點(diǎn)為P,

??.點(diǎn)P的坐標(biāo)(旦,旦),

24

VAOCP是等腰直角三角形，

：.b=2.

??.點(diǎn)P的坐標(biāo)(1,1).

(3)如圖2,

當(dāng)m=4時(shí)，拋物線表達(dá)式為：y=-x2+4x+n.

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.

?點(diǎn)M(xi，yi)和N(X2，y2)在拋物線上,

且xi<2,X2>2,

點(diǎn)M在直線x=2的左側(cè)，點(diǎn)N在直線x=2的右側(cè).

Vxi+X2>4,

2-Xi〈X2一2,

...點(diǎn)M到直線x=2的距離比點(diǎn)N到直線x=2的距離近，

yi>y2.

【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平移

的性質(zhì)，頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定，函數(shù)值大小的確定，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握拋

物線的性質(zhì)，是一道中等難度的中考常考題.

28.(7分)在Rt^ABC中，ZACB=90",AC=BC,CD為AB邊上的中線.在Rt^

AEF中，ZAEF=90°,AE=EF,AF<AC.連接BF,M,N分別為線段AF,BF的

中點(diǎn)，連接MN.

(1)如圖1,點(diǎn)F在^ABC內(nèi)，求證：CD=MN；

(2)如圖2,點(diǎn)F在^ABC外，依題意補(bǔ)全圖2,連接CN,EN,判斷CN與EN

的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；

(3)將圖1中的4AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若AC=a,AF=b(b<a),直接寫(xiě)出EN的最

大值與最小值.

【分析】（1）利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線即

可；

（2）構(gòu)造出aEMN咨aDNC進(jìn)而利用互余即可得出結(jié)論；

（3）借助（2）的結(jié)論，先判斷出點(diǎn)N是以點(diǎn)D為圓心，口為半徑的圓上，即可

2

得出結(jié)論.

【解答】解：（1）證明：在Rt^ABC中，

'/CD是斜邊AB上的中線.

.*.CD=1TXB.

2

在^ABF中，點(diǎn)M,N分別是邊AF,BF的中點(diǎn)，

/.MN=1AB,

2

，CD=MN.

（2）答：CN與EN的數(shù)量關(guān)系CN=EN,

CN與EN的位置關(guān)系CN±EN.

證明：連接EM,DN,如圖.

與（1）同理可得CD=MN,EM=DN.

在ABC中，CD是斜邊AB邊上的中線,

ACDXAB.

在4ABF中，同理可證EMLAF.

AZEMF=ZCDB=90°.

VD,M,N分別為邊AB,AF,BF的中點(diǎn),

，DN〃AF,MN〃AB.

NFMN=NMND,ZBDN=ZMND.

AZFMN=ZBDN.

AZEMF+ZFMN=ZCDB+ZBCN.

AZEMN=ZNDC.

.,.△EMN^ADNC.

.*.CN=EN,Z1=Z2.

VZ1+Z3+ZEMN=18O",

AZ2+Z3+ZFMN=90°.

AZ2+Z3+ZDNM=90",

即NCNE=90°.

.*.CN±EN.

（3）點(diǎn)N是以點(diǎn)D為圓心，卜為半徑的圓上，

2

在RtaABC中,AC=BC=a,

AB=&a,

：CD為AB邊上的中線.

.*.CD=1TXB=2ZZ￡,

22__

.?.CN最大=CD+旦