重慶市西北狼教育聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期開學學業(yè)調(diào)研數(shù)學試題【含答案】

西北狼教育聯(lián)盟2023年秋季開學學業(yè)調(diào)研高二數(shù)學試卷注意事項：1、答卷前考生務必將自己的姓名和考號卸載答題卷上2、回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈，在選圖其他答案標號；回答非選擇題時，將答案卸載答題卡上，卸載本試卷上無效3、考試結(jié)束后將本卷和答題卡一并交回一、單項選擇：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求1.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義即可得解.【詳解】由，得，所以.故選：A.2.有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，66，68，70，71，74，則其75%分位數(shù)為（）A.68 B.69 C.70 D.71【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.【詳解】已知數(shù)據(jù)是按照從小到大的順序排列，因為，所以75%分位數(shù)為第個數(shù)據(jù)，即為.故選：C.3.阿基米德是古時候偉大的古希臘數(shù)學家，他和高斯、牛頓并稱為世界三大數(shù)學家，他一生最為滿意的數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二.今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表面積為，則該模型中圓柱的體積與球的體積之和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設球的半徑為，表示出圓柱的底面半徑以及母線，進而即可根據(jù)已知得出.進而根據(jù)圓柱以及球的體積公式，即可得出答案.【詳解】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線為.則圓柱表面積為，所以.所以，圓柱的體積為，球的體積為.所以，該模型中圓柱的體積與球的體積之和為.故選：C.4.在中，角、、的對邊分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應用正弦定理及倍角正弦公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)及平方關(guān)系求正弦值即可.【詳解】由題設，又，所以，則.故選：B5.已知m，n是兩條直線，，是兩個平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間中線線、線面、面面位置關(guān)系逐一判斷各個選項作答.【詳解】對于A，由知，存在過的平面與平面相交，當為交線時，滿足，而，A錯誤；對于B，當與相交時，令交線為，若，則滿足，B錯誤；對于C，，在平面內(nèi)存在直線垂直于，為此直線時，滿足，而，C錯誤；對于D，因為，則存在過的平面與平面相交，令交線為，有，又，因此，而，所以.故選：D6.正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用線線平行的傳遞性求得異面直線與所成角，再在中利用余弦定理即可得解.【詳解】依題意，不妨設，則，因為在正四棱柱中，，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線與所成角，在中，，，則，由余弦定理得故選：C.7.高郵鎮(zhèn)國寺是國家3A級旅游景區(qū)．地處高郵市京杭大運河中間，東臨高郵市區(qū)，西近高郵湖.實屬龍地也，今有“運河佛城”之稱.某同學想知道鎮(zhèn)國寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高約為7.5，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部A，鎮(zhèn)國寺塔頂部的仰角分別為15°和60°，在A處測得鎮(zhèn)國寺塔頂部的仰角為30°，鎮(zhèn)國寺塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出AC，再解三角形AMC求出MC即可.【詳解】，在中，，在中，，，，由正弦定理得：，（m）；故選：B.8.如圖，在平面四邊形ABCD中，．若點E為邊CD上的動點（不與C、D重合），則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，求出相關(guān)點坐標，求得的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合二次函數(shù)知識，即可求得答案.【詳解】由于，如圖，以D為坐標原點，以為軸建立直角坐標系，連接,由于，則≌,而，故，則，則，設，則，，故，當時，有最小值，故選：B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得得0分9.若復數(shù)，則下列說法正確的是（）A. B.的虛部是C.在復平面內(nèi)，與所對應的點均在四象限 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的概念求出復數(shù)的模，即可判斷A項；根據(jù)復數(shù)的減法運算以及復數(shù)的概念，即可判斷B項；求出，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可判斷C項；根據(jù)復數(shù)的乘方運算，計算即可判斷D項.【詳解】對于A項，由已知可得，，故A項錯誤；對于B項，，所以的虛部是，故B項錯誤；對于C項，由已知可得在復平面對應的點為，該點在第四象限.在復平面對應的點為，該點在第四象限，故C項正確；對于D項，由已知可得，，故D項錯誤.故選：C.10.已知向量，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.與共線B.單位向量C.向量在向量上的投影向量為D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量共線、單位向量、投影向量和向量垂直的坐標表示依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，不存在實數(shù)，使得，則與不共線，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，在上的投影向量為，C錯誤；對于D，，，D正確.故選：BD.11.下列命題正確的是（）A.在中，若，則B.在中，若，則是等腰三角形C.在中，若，則D.在中，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)角的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得出A項；根據(jù)三角形的內(nèi)角和，結(jié)合兩角和與差的正弦，化簡即可得出B項；根據(jù)正弦定理求出的值，即可判斷C項；根據(jù)兩角差的余弦，結(jié)合角的取值范圍，即可得出D項.【詳解】對于A項，由已知可得，在上單調(diào)遞減，所以.故A項正確；對于B項，因為.又，所以有，所以，是等腰三角形.故B項正確；對于C項，由正弦定理結(jié)合已知可得，.又，所以或.故C項錯誤；對于D項，因為，，所以，，，所以.故D項正確.故選：ABD.12.如圖，正方體的棱長為，E是棱上的動點（不包含端點），則下列說法正確的是（）A.若E為的中點，則直線面B.三棱錐的體積為定值C.直線AC與直線所成角為定值D.直線與平面所成角正切值的范圍為【答案】BCD【解析】【分析】若為中點，連接，判斷為平行四邊形，結(jié)合面判斷A；由，數(shù)形結(jié)合及棱錐體積公式判斷B；根據(jù)正方體性質(zhì)及線面垂直的判定、性質(zhì)判斷C；根據(jù)線面角定義求其正切值的范圍判斷D.【詳解】A：若為中點，連接，又E為的中點，正方體中易知，所以平行四邊形，則，而面，顯然面不成立，錯；B：，顯然的面積為定值，且到面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，對；C：由題意且面，面，則，，面，則面，而面，所以，直線AC與直線所成角為定值，對；D：由上到面的距離為a，而E是棱上的動點（不包含端點），所以，則直線與面所成角正切值范圍為，對.故選：BCD三、填空題：本題共4題，每題5分，共20分13.已知圓錐的底面面積為，高，則該圓錐的母線長為____________【答案】11【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，根據(jù)已知得出底面半徑，結(jié)合已知，根據(jù)勾股定理，即可得出答案.【詳解】如圖，作出圓錐的軸截面，點為底面圓心.設圓錐的底面半徑為，母線為由已知可得，，解得，所以.又，所以，，解得，即.故答案為：11.14.如圖，在中，，若，且，則_______【答案】##【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合已知可求得的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，所以，.所以，，，則.故答案為：.15.已知三棱錐中，，三棱錐的體積為，則三棱錐的外接球的表面積為___________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知可求得以及球心的位置.進而根據(jù)正弦定理得出外接圓的半徑，即可根據(jù)勾股定理得出三棱錐的外接球的半徑，根據(jù)面積公式，即可得出答案.【詳解】如圖，設球心為點，為外接圓圓心，則，連接.由已知可得，為等邊三角形，且.又，所以.過點作交于點，則，.設，則，由可得，，所以，.所以，.根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，.所以，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.16.設銳角的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則周長的取值范圍為____【答案】【解析】【分析】由銳角三角形求得，由正弦定理可得，求出，關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得范圍．【詳解】∵為銳角三角形，且，∴，∴，，又∵，∴，又∵，，∴，由，即，∴，令，則，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)值域為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分17.已知向量（1）若向量和的夾角為，求；（2）若，求向量與夾角的余弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)模得坐標公式求出，再根據(jù)結(jié)合數(shù)量積得運算律即可得解；（2）由，得，再根據(jù)數(shù)量積得運算律即可得解.【小問1詳解】，則，則；【小問2詳解】由，得，則，所以，即向量與夾角的余弦值為.18.如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.（1）求證平面（2）求直線與平面所成的角的大小【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，進而證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意證明平面,故是直線與平面所成的角的平面角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【小問1詳解】如圖1，取中點，連接，因為是的中點，所以，又因為在直三棱柱中，是的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以,因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖2，連接，，由直三棱柱的性質(zhì)可知平面，因為平面，所以，因為，，是的中點，所以，因為，平面,所以平面,所以是直線與平面所成的角的平面角，因為，，所以不妨設，則，，，所以，則，所以，因為，所以所以直線與平面所成的角的大小.19.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.（1）求角的大小；（2）若，為線段的中點，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，即可求出角.（2）利用中線向量公式和余弦定理得出，的等量關(guān)系，解方程組得的值，即可求出的面積.【小問1詳解】由題意，在中，由正弦定理得，，∵，∴代入上式可得，∵，∴，∴，∵，∴【小問2詳解】由題意及（1）得，在中，為線段的中點，，，，，即，整理得，.由余弦定理得，，即，聯(lián)立，解得：，∴，20.在四棱錐中，，，平面，分別為的中點，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的大小【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）易得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可證得平面，進而可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）分別取的中點，連接，不妨設，先利用勾股定理求出，從而可證得，進而可得即為二面角的平面角，再解即可得解.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，因為分別為的中點，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】分別取的中點，連接，不妨設，則，在中，，則，在中，，則，因平面，平面，所以，則，因為分別為的中點，所以，由（1）得平面，因為平面，所以，則，因為為的中點，所以，因為為的中點，所以且，又，所以，所以即為二面角的平面角，因為為的中點，所以且，又平面，所以平面，又平面，所以，在中，，所以，即二面角的大小為.21.如圖，在直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，且，.（1）求證：；（2）線段上是否存在點E，使得平面？若存在，求出的值，若不存在，說明理由【答案】（1）證明見解析（2）存在，，理由見解析【解析】【分析】（1）取中點為，連接.由已知可證明得出四邊形為平行四邊形，進而得出.結(jié)合已知根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面.然后即可根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理得出證明；（2）連接，交于點.設，用表示出，進而根據(jù)共線，即可得出的值，從而得出.然后即可得出的值.【小問1詳解】如圖1，取中點為，連接.因為為等腰直角三角形，，所以.又，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，.因為，所以.因為平面，，所以，平面.因為平面，所以.【小問2詳解】假設線段上是否存在點E，使得平面.如圖2，連接，交于點設，則，.又，共線，所以，解得，即，所以.連接，當時，有，此時有.因為平面，所以平面.所以，線段上存在點E，使得平面，此時有.22.如圖，在等邊中，，點分別在邊上，且，，（1）用表示;（2）若為等腰直角三角形，求的取值范圍；（3）若，求的面積的最小值【答案】（1）、且；（2）；