福建省莆田中山中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)返校考試卷（考試時間：120分鐘）班級__________姓名__________座號__________一、選擇題（本大題共10題，每小題4分，共40分；每小題有且只有一個選項(xiàng)正確）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程是一元二次方程；即可進(jìn)行解答．【詳解】解：A、中含有兩個未知數(shù)，不一元二次方程，故不合題意；B、中分母含有未知數(shù)，不是整式方程，故不合題意；C、是一元二次方程，故符合題意；D、當(dāng)時，的系數(shù)為0，故不是一元二次方程，故不合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義．2.下列四條線段中，不能成比例的是（）A.，，， B.，，，C.，，， D.，，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．【詳解】解：A、，能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，不能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，能成比例，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．3.下列方程中，無實(shí)數(shù)根的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先分別計(jì)算各方程的根的判別式的值，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷四個方程的根的情況即可．【詳解】解：A．方程化為一般式為，，則方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．，則方程沒有實(shí)數(shù)根，所以B選項(xiàng)符合題意；C．方程化為一般式為，，則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以C選項(xiàng)不符合題意；D．，則方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．4.如圖，在下列各式中，不能證明的條件是（）A.AD:DB=DE:BC B.AD:AC=AE:ABC.∠1=∠B D.∠2=∠C【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形相似判定定理對選項(xiàng)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A.兩邊不是對應(yīng)邊，故錯誤；由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似，故B正確，兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，故C、D正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，（1）兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵5.下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)勾股定理，AB=，BC=，AC=，所以△ABC的三邊之比為=，A、三角形的三邊分別為2，，，三邊之比為2：=，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意;B、三角形的三邊分別為2，4，，三邊之比為2：4：2=1：2：，故本選項(xiàng)正確，符合題意；C、三角形的三邊分別為2，3，，三邊之比為2：3：，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、三角形的三邊分別為，，4，三邊之比為：4，故本選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：B．6.如圖，△DEF是由△ABC經(jīng)過位似變換得到的，點(diǎn)O是位似中心，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，則△DEF與△ABC的面積比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點(diǎn)，∴△DEF與△ABC位似比為1︰2，∴其面積比1︰4，故選B．7.用配方法解方程時，配方結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配方法把方程變形即可.【詳解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0時，配方結(jié)果為（x﹣3）2＝17，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握配方法解一元二次方程的基本步驟是解本題的關(guān)鍵．8.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．則k的取值范圍為（）A.k＞﹣ B.k＞4 C.k＜﹣1 D.k＜4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0；即可得出關(guān)于k的一元一次不等式；解之即可得出結(jié)論．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×k2=4k+1＞0，∴k＞﹣．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．9.現(xiàn)定義運(yùn)算“※”：對于任意實(shí)數(shù)、，都有，如，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.3或 B.或1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)新定義有，把轉(zhuǎn)化為，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：∵對于任意實(shí)數(shù)、，都有，∴，∵，∴，∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握新定義．10.如圖，在中，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，P為邊的中點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④當(dāng)時，．其中正確個數(shù)是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】可先證明在和中由斜邊中點(diǎn)可判定①正確，由可判定②正確，證點(diǎn)M，N，B，C共圓，可對③進(jìn)行判斷，證為以為斜邊的等腰直角三角形，可判斷④正確．【詳解】解：①∵于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，P為邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P是和的斜邊的中點(diǎn)，∴，故①正確；②∵于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，∴，又∵，∴，∴，故②正確；③∵于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，P為邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P是和的斜邊的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)M，N，B，C共圓，∴，在中，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，故③正確；④當(dāng)時，為以為斜邊的等腰直角三角形，∴，故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，解直角三角形等，圓的知識，解題關(guān)鍵是能夠認(rèn)真審圖，弄清題意，逐個對結(jié)論進(jìn)行證明．二、填空題（本大題有6小題，每小題4分，共24分）11.若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m=_____．【答案】2【解析】【詳解】解：由題意得，，解得，∴m=2，故答案為2．12.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，與相交于點(diǎn)F，若周長為6，則周長為_________．【答案】4【解析】【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，可得出，，進(jìn)而可得出，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出的周長．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴∵周長為6，∴的周長故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，牢記“相似三角形的周長比等于相似比”是解題的關(guān)鍵．13.慶“元旦”，市工會組織籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），共進(jìn)行了45場比賽，這次有___________隊(duì)參加比賽【答案】10【解析】【詳解】設(shè)這次有x隊(duì)參加比賽，由于賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場），則此次比賽的總場數(shù)為：場．根據(jù)題意可知：此次比賽的總場數(shù)=45場，依此等量關(guān)系列出方程求解即可．解：設(shè)這次有x隊(duì)參加比賽，則此次比賽的總場數(shù)為場，根據(jù)題意列出方程得：=45，整理，得：x2-x-90=0，解得：x1=10，x2=-9（不合題意舍去），所以，這次有10隊(duì)參加比賽．答：這次有10隊(duì)參加比賽．本題的關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．需注意賽制是“單循環(huán)形式”，需使兩兩之間比賽的總場數(shù)除以2．14.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB=____m．【答案】5.5【解析】【詳解】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，40cm=0.4m，20cm=0.2m，即，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m故答案為：5.5m【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：相似三角形15.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，則CD＝___．【答案】cm．【解析】【分析】先證明△ACD∽△CBD，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例代入求解即可.【詳解】解：如圖，∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠B+∠2＝90°，∵∠2+∠1＝90°，∴∠B＝∠1，∴△ACD∽△CBD，∴，∵AD＝2cm，DB＝6cm，∴，∴CD＝（cm）．故答案是cm．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，是典型的母子相似圖形，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16.已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則_________．【答案】4092529【解析】【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則可變形為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．【詳解】解：∵m是方程的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∵m，n是方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為:4092529．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時，，．三、解答題（本大題有9小題，共86分）17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)因式分解法求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，常見的解法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，選擇合適的解法解方程是解題的關(guān)鍵．18.如圖，已知直線、、分別截直線于點(diǎn)A、B、C，截直線于點(diǎn)D、E、F，且．如果，，求的長．【答案】15【解析】【分析】由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出的長，即可得出的長．【詳解】解：．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．19.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．【小問1詳解】，∵，∴，該方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】方程的兩個實(shí)數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．20.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）將向左平移7個單位，請畫出平移后的．并寫出的坐標(biāo)___________．（2）以原點(diǎn)O為位似中心，將縮小，使變換后得到的與對應(yīng)邊的比為．請?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：___________．【答案】（1）畫圖見解析，（2）畫圖見解析，或【解析】【分析】（1）找出三角形平移后各頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（2）根據(jù)位似變換的要求，找出變換后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接各點(diǎn)即可，注意有兩種情況．【小問1詳解】解：所畫圖形如圖所示，其中即為所求；其中；【小問2詳解】所畫圖形如下所示，其中即為所求，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了平移變換和位似變換后圖形的畫法，解題關(guān)鍵是根據(jù)變換要求找出變換后的對應(yīng)點(diǎn)，難度一般．21.如圖，在等邊△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且，BD=4，CE=3，（1）求證：（2）求AB的邊長【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明∠DAB=∠EDC，可證得△ABD∽△DCE；（2）利用（1）中相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出比例式，求解DC，即可表示等邊三角形的邊長．【小問1詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=，∴∠BAD+∠ADB=，∵∠ADE=，∴∠ADB+∠EDC=，∴∠DAB=∠EDC，又∵∠B=∠C=，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵BD=4，CE=3，∴，解得CD=12．∴【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠證得是解答此題的關(guān)鍵．22.某農(nóng)場要建一個長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，（墻長），墻對面有一個2米寬的門，另外三邊用木欄圍成，木欄長．（1）若養(yǎng)雞場面積，求雞場長和寬各為多少米？（2）養(yǎng)雞場面積能達(dá)到嗎？如果能，請給出設(shè)計(jì)方案，如果不能，請說明理由．【答案】（1）垂直于墻的邊長為10米，平行于墻的邊長為12米（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)垂直于墻的邊長為，根據(jù)雞場的面積列出方程，解之即可；（2）根據(jù)雞場的面積列出方程，根據(jù)解的情況判斷即可．【小問1詳解】解：設(shè)垂直于墻的邊長為．由題意可得：，解得，，當(dāng)時，，不合題意，舍去．當(dāng)時，．．答：垂直于墻的邊長為，平行于墻的邊長為12米時，雞場的面積為；【小問2詳解】雞場的面積不能達(dá)到．理由如下：，整理得：．，此方程無解．答：雞場的面積不能達(dá)到．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用．得到平行于墻的邊長的代數(shù)式是解決本題的易錯點(diǎn)．23.如圖所示，點(diǎn)P是的邊的延長線上一點(diǎn)，連結(jié)分別交、于點(diǎn)M、N．（1）圖中有_________對相似三角形，請寫出其中任意三對相似三角形．（2）求證：．【答案】（1）5；，（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定方法結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明得到，再證明得出，從而得到，故可得出結(jié)論．【小問1詳解】圖中有5對相似三角形，為：故答案為：5；【小問2詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∴，∴，∵，∴又，∴∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練證明相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．24.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．素材1某校統(tǒng)一安裝了日光燈，日光燈中最易損壞的是燈管和鎮(zhèn)流器．素材2該校后勤部準(zhǔn)備補(bǔ)進(jìn)燈管和鎮(zhèn)流器共400件．批發(fā)市場燈管的單價(jià)為30元，鎮(zhèn)流器的單價(jià)為80元．商家為了促銷且保證有一定的利潤，當(dāng)鎮(zhèn)流器購買數(shù)量超過80件時，每多購買1件，單價(jià)下降1元，但單價(jià)不低于50元．問題解決任務(wù)1若鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)90件，則學(xué)校補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共多少元？任務(wù)2設(shè)鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)x件，若，剛補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器的單價(jià)為________元，補(bǔ)進(jìn)燈管的總價(jià)為____________（用含x的代數(shù)式表示）；任務(wù)3若學(xué)校后勤部補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共花15000元，求補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器多少件？【答案】任務(wù)1：若鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)90件，則學(xué)校補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共元；任務(wù)2：；任務(wù)3：補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器件【解析】【分析】任務(wù)1：根據(jù)題意“當(dāng)鎮(zhèn)流器購買數(shù)量超過80件時，每多購買1件，單價(jià)下降1元，但單價(jià)不低于50元”列出算式即可求解．任務(wù)2：設(shè)鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)x件，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；任務(wù)3：根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：任務(wù)1：依題意，鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)90件，學(xué)校補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共元，答：若鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)90件，則學(xué)校補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器和燈管共元任務(wù)2：設(shè)鎮(zhèn)流器補(bǔ)進(jìn)x件，若，剛補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器的單價(jià)為（元）補(bǔ)進(jìn)燈管的總價(jià)為：（元）故答案為：．任務(wù)3：依題意，解得：,∵∴答：補(bǔ)進(jìn)鎮(zhèn)流器件【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，分情況列出方程．25.如圖,已知四邊形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,對角線AC=10cm,(1)求證:四邊形ABCD是矩形;(2)如圖(2),若動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),在CA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動,同時動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在BC邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動,運(yùn)動時間為t秒(0≤t＜2),連接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如圖(3),若點(diǎn)Q在對角線AC上,CQ=4cm,動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以每秒1cm的速度沿BC運(yùn)動至點(diǎn)C止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動了t秒,請你探索:從運(yùn)動開始,經(jīng)過多少時間,以點(diǎn)Q、P、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?請求出所有可能的結(jié)果.【答案】（1）見解析；（2）；（3）t=4秒或1.6秒或5.5秒.【解析】【分析】（1）先根據(jù)一對對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明∠B＝90°，得出四邊形ABCD是矩形；（2）先過Q作QM⊥BC于