格林互易定理在求解靜電學奧賽題中的應用

例析格林互易定理在求解靜電學奧賽題中的應用金彪〔浙江省春暉中學浙江紹興312353〕在靜電場中，有一組固定的n個導體系統(tǒng)，n個導體上的電荷為它們的電勢分別為當?shù)膎個導體的電荷變?yōu)樗鼈兊碾妱菽敲幢赜谐闪?。上面的定理叫做格林互易定理，其嚴格證明超出了中學物理的范圍，但在求解有關靜電感應的一些中學物理競賽問題時,假設用格林互易定理的方法來求解,那么可以起到事半功倍的效果，下面就來看幾個往年競賽真題。例1：〔第13屆預賽第5題〕在靜電復印機里，常用如下圖的電路來調(diào)節(jié)A、C兩板間電場強度的大小，從而用來控制復印件的顏色深淺．在操作時，首先對由金屬平板A、B組成的平行板電容器充電．該電容器的B板接地，A、B板間填充有介電常數(shù)為的電介質(zhì)，充電后兩板間的電勢差為U．而后，斷開該充電電源，將連接金屬平板C和可調(diào)電源E的開關K閉合．這樣，A、C兩板間的電場強度將隨可調(diào)電源E的電動勢變化而得以調(diào)節(jié)．C板與A板很近，相互平行，且各板面積相等．A、B板間距離為dl，A、C板間距離為d2，A、C板間空氣的介電常數(shù)取為1．試求；當電源E的電動勢為U0時，A、C兩板間某點P處的電場強度．解：先求出上下兩電容器的電容：A、C兩板間EMBEDEquation.KSEE3的電容為 A、B兩板間的電容為對由金屬平板A、B組成的平行板電容器充電后，由條件可的C、A、B三塊板的電勢分別為所帶電量分別為 當斷開該充電電源，連接金屬平板C和可調(diào)電源E的開關K閉合后，A板總電量不變，電勢變化，設此時A板電勢為；B板電量變化而電勢仍為零，設B板電量為；C板電勢變?yōu)椋娏靠梢愿鶕?jù)A、C兩板的電勢差求得那么C、A、B三塊板的電勢分別為所帶電量分別為 將變化前的電勢與變化后的電量相乘，變化前的電量與變化后的電勢相乘，由格林互易定理可得上式消去得：左右兩邊都減去，可得可得：那么P點場強為例2：(第12屆決賽第3題)如下圖，正四面體ABCD各面均為導體，但又彼此絕緣．帶電后四個面的靜電勢分別為、、和，求四面體中心O點的電勢。解：由題意，設四個面與中心O的電荷量分別為、、、、0同時，四個面與中心的電勢分別為、、、、現(xiàn)將外面四個面接地，中心放一個電量為Q的點電荷，中心電勢為U，而四個面產(chǎn)生的感應電荷都相等，為，那么此時四個面與中心O的電荷和電勢分別為、、、、、、、、由格林互易定理可得：即可得 例3：〔第14屆決賽第7題〕有100塊平行放置的正方形大導體板，每塊邊長均為，相鄰兩板彼此相對的兩個外表的間距均為，，將這些導體板從左至右順次編號為1，2，...100.開始每板上都帶有凈電荷，第1塊板上的凈電量為〔設〕，第n塊板上的凈電量為，今將第1塊和第100塊導體板接地，如下圖.忽略邊緣效應.問：從第1塊和第100塊導體板上流入大地的電量和各為的多少倍？上述兩板接地后哪塊板上的電勢最高？其電勢是多少？解：當?shù)?塊和第100塊導體板接地后，這兩塊板電量發(fā)生改變，所有極板的電勢也發(fā)生了改變，那么可設極板的總電量和電勢分別為：現(xiàn)改變各導體板電量。變化一：使極板電量都變?yōu)?，而1板電量為，100板電量為，且假設1板接地，100板電勢為〔其中C為相鄰兩板間的電容〕。那么極板的電量和電勢分別為：將變化后的電勢與電量和題給條件的電勢與電量結(jié)合，由格林互易定理可得：那么可以求得第100塊板流入大地的電荷為：變化二：使極板電量都變?yōu)?，1板電量為，100板電量為，且假設100板接地；1板電勢為〔其中C為相鄰兩板間的電容〕。那么極板的電量和電勢分別為：將變化后的電勢與電量和題給條件的電勢與電量結(jié)合，由格林互易定理可得：那么可以求得第100塊板流入大地的電荷為：變化三：使第極板帶電量為，極板帶電量為且接地，其它極板都不帶電。那么極板電勢皆為，極板電勢皆為零，那么極板的電量和電勢分別為：將