第7講循環(huán)群和置換群

Lagrange定理Lagrange定理：|G|=|H|[G:H]證明：令G的不同的陪集為Ha1,Ha2,…,Har,|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|=|H|r=|H|[G:H]2024/5/71Lagrange定理推論推論(1)群的元素的階是群的階的因子.證明：構(gòu)造子群<a>，|<a>|=|a|.(2)素數(shù)階群一定是交換群（實際上是循環(huán)群）.證明：|G|=p,p>1,存在非單位元a,|a|的階是p的因子，只能是|a|=p.故G=<a>.2024/5/72循環(huán)群定義10.7:設(shè)G是群，若在G中存在一個元素a,使得G中的任意元素都是a的冪，則稱該群為循環(huán)群，元素a為循環(huán)群G的生成元。記G=<a>.2024/5/732024/5/74例10.14(1-3)(1)<Z,+>整數(shù)加群,1,-1都是生成元(2)<Zp,+p>模p整數(shù)加群除0外，每個元都是生成元(3)<Zn,+n>模n整數(shù)加群與n互素的元都是生成元

生成元不唯一2024/5/742024/5/75例10.14(4-6)(4)<Mn(R),+>n階實矩陣加群(5)<Mn(R),

>n階實可逆矩陣乘法群；(6)集合A={1,2,3}上所有的雙射函數(shù)關(guān)于映射復(fù)合構(gòu)成群S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，H1={f1,f2}H2={f1,f5,f6}f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}2024/5/75循環(huán)群必是阿貝爾群性質(zhì):任何一個循環(huán)群必為阿貝爾群。

證：設(shè)G為一個循環(huán)群，其生成元為a,則x,y∈G，必r,s∈Z,s.t.x=ar,y=as

而且，x*y=ar*as=ar+s=as+r=as+ar=y*x

因此，G為一阿貝爾群2024/5/76階數(shù)有限群G的階數(shù)——集合G的元素個數(shù).群G的階數(shù)記作|G|=n

元素a的階數(shù)——r是使ar=e成立的最小正整數(shù),此時稱r為元素a的階.2024/5/77循環(huán)群分類生成元的階無限，則G為無限循環(huán)群生成元a為n階元，則G={e,a,a2,?,an?1}為n階循環(huán)群，循環(huán)群的階和生成元的階相等。實例<Z,+>為無限循環(huán)群<Zn,+n>為n階循環(huán)群2024/5/78循環(huán)群的生成元定理10.11G=<a>是循環(huán)群(1)若G是無限循環(huán)群，則G的生成元是a和a?1;(2)若G是n階循環(huán)群，則G有

(n)個生成元，當n=1時G=<e>的生成元為e；當n>1時,?r(r∈Z+∧r<n),ar

是G的生成元?(n,r)=1.2024/5/79Euler函數(shù)Eulerφ函數(shù)φ(n)：當n＝1時，φ(1)＝1；當n>1時，它的值φ(n)等于比n小而與n互素的正整數(shù)的個數(shù)。考慮群(Zn*,×)，Zn*

是Zn中所有可逆元組成的集合，則|Zn*|=φ(n)2024/5/7102024/5/711例10.14(1-3)(1)<Z,+>整數(shù)加群,1,-1都是生成元(2)<Zp,+p>模p整數(shù)加群除0外，每個元都是生成元(3)<Zn,+n>模n整數(shù)加群與n互素的元都是生成元

生成元不唯一2024/5/711證明思路：(1)證明a?1

是生成元證明若存在生成元b，則b=a或a?1.(2)只需證明(r,n)=1,則ar

是生成元反之，若ar

是生成元，則(r,n)=1.2024/5/712證明2024/5/713循環(huán)群的子群定理10.12

G=<a>是循環(huán)群，那么(1)G的子群也是循環(huán)群(2)若G是無限階，則G的子群除{e}外也是無限階(3)若G是n階的，則對于n的每個正因子d,在G中有且僅有一個d階子群.2024/5/714證明思路：(1)子群H中最小正方冪元am

為H的生成元(2)若子群H=<am>有限，a≠e,則推出|a|有限.(3)<an/d>是d階子群，然后證明唯一性.2024/5/715證明2024/5/716證明(續(xù))2024/5/717例10.16G=<a>為r階循環(huán)群，證明|at|=r/(t,r)證：令|at|=s,(t,r)=d?t=dp,r=dq?r/(t,r)=r/d=q只要證s=q(at)q

=(at)r/d

=(ar)t/d=ep

=e

s|q(at)s=e?ats=e?r|ts?q|ps

q|s（p,q互素）2024/5/718實例(1)<Z12,⊕>,求生成元、子群.生成元為與12互質(zhì)的數(shù)：1,5,7,1112的正因子為1,2,3,4,6,12，子群：<0>,<1>,<2>,<3>,<4>,<6>(2)G=<a2>為12階群，求生成元和子群.生成元為a2,a10,a14,a22G的子群：<e>,<a2>,<a4>,<a6>,<a8>,<a12>2024/5/719實例(3)<a>為無限循環(huán)群，求生成元和子群.生成元為a,a?1；子群為<ai>，i=0,1,2,…；(4)G=<Z,+>，求生成元和子群.生成元：1,?1;子群nZ,n=0,1,…,2024/5/720置換定義：設(shè)A是一個非空有限集合，從集合A到A的一個雙射稱為A的一個置換A上的n元置換：|A|=n時A上的一一變換置換的表示法：令A(yù)={1,2,…,n},2024/5/7212024/5/7例10.14(6)(6)集合A={1,2,3}上所有的雙射函數(shù)關(guān)于映射復(fù)合構(gòu)成群S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>}f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}f6={<1,3>,<3,2>,<2,1>}2024/5/722置換舉例eg:A={1,2,3,4}

f:A

A

1

2

23

34

41

則f1,f2,f3,

f4

2024/5/723置換的表示法2-k階輪換輪換:(i1

i2…ik)不交輪換的分解式：σ

=τ1τ2…τt,其中τ1,τ2,…,τt,為不交輪換(1234),(13)(24),(1432),(1)2024/5/724置換的表示法2(132)(5648)2024/5/725n元置換的輪換表示性質(zhì)：

任何n元置換都可以表成不交的輪換之積，并且表法是唯一的.

=

1

2…

t

=

1

2…

l

{

1,

2,…,

t}={

1,

2,…,

l}2024/5/726置換的表示法3對換分解式：對換(ij)=(ji)(i1

i2…ik)=(i1

i2)…(i1

ik-1)(i1

ik)(12)(13)(14),(13)(24),(14)(13)(12),(1)2024/5/727置換的表示法3(132)(5648)=(13)(12)(56)(54)(58)2024/5/728n元置換的對換表示任意輪換都可以表成對換之積對換可以有交表法不唯一，但是對換個數(shù)的奇偶性不變2024/5/729奇置換、偶置換奇置換：表成奇數(shù)個對換之積偶置換：表成偶數(shù)個對換之積奇置換與偶置換之間存在一一對應(yīng)，因此各有n!/2個

2024/5/730置換的乘法與求逆置換的乘法：函數(shù)的復(fù)合例如：8元置換

=(132)(5648)，

=(18246573),則

=(15728)(3)(4)(6)=(15728)置換求逆：求反函數(shù)

=(132)(5648)，

-1=(8465)(231),

2024/5/731對稱群、置換群、交錯群令Sn為{1,2,…,n}上所有n元置換的集合.Sn關(guān)于置換乘法構(gòu)成群，稱為n元對稱群.Sn的子群稱為n元置換群.所以偶置換的集合做成Sn的子群稱為n元交錯群An.

例3元對稱群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}3元交錯群A3={(1),(123),(132)}2024/5/732置換群舉例eg:A={1,2,3,4}

f:A

A

1

2

23

34

41

則f1,f2,f3,

f4

對f復(fù)合做成一個置換群.(1234),(13)(24),(1432),(1)2024/5/733置換群中元素的階元素的階k階輪換(i1

i2…ik)的階為kσ=τ1τ2…τl

是不交輪換的分解式，則|σ|=[|τ1|,|τ2|,…,|τl|]2024/5/734置換群子群{(1)},Sn，n元交錯群An2元子群,……2024/5/735置換群子群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}子群6個<(1)>,S3,<(12)>,<(13)>,<(23)>,A3=<(123)>2024/5/736置換群子群S4={(1),(12),(13),(14),(23)