人教版高中數(shù)學(xué)選修（2-2）第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（稅長(zhǎng)江）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)

通過(guò)生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)

模的意識(shí).

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

能利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際生活中的利潤(rùn)最大、效率最高、用料最省等優(yōu)化問(wèn)題，并體會(huì)導(dǎo)數(shù)在

解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用。

（1）1.4.1.1感受教材中的優(yōu)化案例

（2）141.2提煉運(yùn)用數(shù)學(xué)建模，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的方法過(guò)程

（3）L4.1.3實(shí)際運(yùn)用,提升能力

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問(wèn)題。

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)模型.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1

閱讀教材P34—P36,思考：建立函數(shù)模型的基本步驟是什么？

任務(wù)2

收集資料，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有哪些典型的案例？

2.預(yù)習(xí)自測(cè)

（1）某市在一次降雨過(guò)程中，降雨量）（〃〃〃）與時(shí)間r（min）的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為刖=曲,

則在時(shí)刻10min時(shí)的降雨強(qiáng)度為（）

A.

B八.1,.

C.］加陽(yáng)/min

D.Imm/min

答案：A

解析：略

2.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)M單位：萬(wàn)元）與年產(chǎn)量M單位：萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系式為y=-++

81X—234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為（）

A.13萬(wàn)件

B.11萬(wàn)件

C.9萬(wàn)件

D.7萬(wàn)件

答案：C

解析：略

3.某箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為貝幻=/（竺二），0<x<60,則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，

X

箱子底面邊長(zhǎng)為（）

A.20

B.30

C.40

D.50

答案：C

解析：略

（二）課堂設(shè)計(jì)

1.知識(shí)回顧

（1）若在3,份上，f（x）>0,且/（X）在3,份的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零=式功在3,加上為單

調(diào)遞增函數(shù)；若在（。，加上，/（x）<0,且/（處在（a,份的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零=貝%）在（a,

切上為單調(diào)遞減函數(shù).

（2）求函數(shù)y=/（x）在出,句上的最大值與最小值的步驟：

①求函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（“涉）內(nèi)的極值；

②將函數(shù)y=/（x）各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/（a）,/。）比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的

一個(gè)是最小值。

2.問(wèn)題探究

問(wèn)題探究一：生活中的優(yōu)化案例

活動(dòng)一：聯(lián)系生活，引出問(wèn)題

大家知道，市面上等量的小瓶裝飲料比大瓶裝飲料要貴一些，那么是否飲料瓶越大，飲料公司

的利潤(rùn)越大呢？請(qǐng)大家閱讀教材P34—P35并回答上述問(wèn)題.

1.生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)題.

2.不少優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的有力工具，從

而導(dǎo)數(shù)是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法之一.

活動(dòng)二：整理信息，規(guī)劃思路

利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟是：

(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)；

(2)確定函數(shù)y=/(x)在實(shí)際問(wèn)題中的定義域；

(3)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y=/(x)在實(shí)際問(wèn)題中的最值.

(4)把所得數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到數(shù)學(xué)問(wèn)題中，看是否符合實(shí)際情況并下結(jié)論.

問(wèn)題探究二：提煉生活優(yōu)化問(wèn)題的一般方案|重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)XI

活動(dòng)一：思考通性通法

活動(dòng)二學(xué)以致用，付諸實(shí)踐

例1：有一塊邊長(zhǎng)為。的正方形鐵板，現(xiàn)從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)相同的小正方形，做成

個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器.為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？

【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

【解析過(guò)程】設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)為x,容器容積為V(x),則做成的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器底面邊

長(zhǎng)為a—2x,高為光，V(x)=(a-2x)2x,0<r<^>即內(nèi)尸它一4五+—,00；專(zhuān)

故7(%)=12/-8以+層.令V<x)=O,得12%2—8分+/=().解得用=，，彳2=%(舍去).

當(dāng)Oa<xi時(shí)，V<x)〉O；當(dāng)用4〈卷時(shí)，V(x)<0.

因此加是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間（0,胃內(nèi)，如是唯一的極值點(diǎn)，所以光=/是V（x）的最大值點(diǎn).即

當(dāng)截下的小正方形邊長(zhǎng)為上時(shí)，容積最大.

【思路點(diǎn)撥】1.解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①當(dāng)問(wèn)題涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，列出變量間的關(guān)系式，從而得出

需要的函數(shù)關(guān)系式；

②在建立函數(shù)模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定出函數(shù)的定義域，且所求題目結(jié)論一定要從實(shí)

際意義去考察，不符合實(shí)際意義的應(yīng)舍去；

③在實(shí)際問(wèn)題中，由尸（幻=0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個(gè)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大值（極

小值），那么不與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，也可判斷該極值就是最大值（最小值）.

2.解決幾何體面積或體積的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是分析幾何體的幾何特征，根據(jù)題意選擇適當(dāng)?shù)?/p>

自變量建立面積或體積的函數(shù)關(guān)系式，然后再利用導(dǎo)數(shù)求最值.

問(wèn)題探究三：實(shí)踐運(yùn)用|重點(diǎn)、難點(diǎn)知位*

活動(dòng)一：利潤(rùn)問(wèn)題

例2.某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品，可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則

損失100元.已知該廠制造電子元件過(guò)程中，次品率P與日產(chǎn)量X的函數(shù)關(guān)系是：p=7至

4x十32'

GN+）.

（1）寫(xiě)出該廠的日盈利額T（元）用日產(chǎn)量x（件）表示的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為獲最大日盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)學(xué)建模，導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

【解析過(guò)程】（1）由于次品率P=T%，當(dāng)每天生產(chǎn)x件時(shí)，有斤丁%件次品，有一熹3

件正品.所以T=200“L^5iJ—100x4+32=25?中（*=2+）.

（2）7'二一25。+32）（匚16）,由7=0得x=16或X=一32（舍去）.

U+8）2

當(dāng)0VE16時(shí)，F(xiàn)>0；當(dāng)定16時(shí)，F(xiàn)<0；所以當(dāng)x=16時(shí)，T最大.

即該廠的日產(chǎn)量定為16件，能獲得最大日盈利.

【思路點(diǎn)撥】利潤(rùn)最大問(wèn)題包括銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題、生產(chǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)問(wèn)題等，一般根據(jù)“利潤(rùn)=收入-成

本''將利潤(rùn)表示成其它指標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后再利用導(dǎo)數(shù)求最值.

活動(dòng)二：費(fèi)用最省問(wèn)題

例3.某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為，米，高

為力米，體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米,

底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000%元(乃為圓周率).

(1)將V表示成，?的函數(shù)丫(廠)，并求該函數(shù)的定義域；

(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和〃為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.

【解析過(guò)程】(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100?2萬(wàn)泌=200萬(wàn)M元，底面的總成本160萬(wàn)，元，

所以蓄水池的總成本為20()萬(wàn)功+160萬(wàn)/=12000萬(wàn)，所以/7=30°一*,

5r

從而V(r)=7ir2h-y(300r-4r3)>

由題知/?>(),可得：r<5V3,又r〉0,故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,56).

(2)因?yàn)閂(r)=?(300r-4玲，故H(r)=?(300-⑵?).

令V，(r)=0,可得｛=5,4=—5(舍).

當(dāng)re(0,5)時(shí)，W)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；

當(dāng)re(5,5G)時(shí)，V'⑺<0,故V⑺在(5,56)上為減函數(shù).

由此可知，V(r)在r=5處取最大值，此時(shí)力=8,即當(dāng)廠=5,〃=8時(shí)，該蓄水池的體積最大.

【思路點(diǎn)撥】用料最省、費(fèi)用最低問(wèn)題出現(xiàn)的形式多與幾何體有關(guān)，解題時(shí)根據(jù)題意明確哪一

項(xiàng)指標(biāo)最省(往往要從幾何體的面積、體積入手)，將這一指標(biāo)表示為關(guān)于自變量x的函數(shù)，利

用導(dǎo)數(shù)或其它方法求出最值.

3.課堂總結(jié)

【知識(shí)梳理】

(1)在解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，不僅要注意將問(wèn)題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式

表示出來(lái)，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間。實(shí)際問(wèn)題中，建模時(shí)使用的自變量不一

定是求導(dǎo)的最“優(yōu)”變量，靈活地運(yùn)用換元的方法是優(yōu)化解答過(guò)程的有效手段.

(2)在實(shí)際問(wèn)題中，由尸(x)=0常常得到定義域內(nèi)的根只有一個(gè)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大

值(極小值)，那么不與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，也可判斷該極值就是最大值(最小值).

【重難點(diǎn)突破】

(1)在建立函數(shù)模型時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定出函數(shù)的定義域；

(2)建立函數(shù)模型，重在讀題，讀題務(wù)必仔細(xì)，理解清楚各個(gè)變量關(guān)系后，再建立模型.

4.隨堂檢測(cè)

（1）某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋箱子，其容積為48加，高為3加，如果箱底每加2的

造價(jià)為15元，箱壁每1〃「的造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為（）

A.900元

B.840元

C.818元

D.816元

答案：。

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

2.要制做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm,要使其體積最大，則高為（）

A.cm

〃1P^3

B.3cm

C.—

八岐

D.—cm

答案：D

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

3.已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4（7,價(jià)格P與產(chǎn)量4的函數(shù)關(guān)系

式為〃=25—%,則當(dāng)利潤(rùn)最大時(shí)，產(chǎn)量4=.

答案:84

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

4.某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元出售，可賣(mài)出（200—x）件，要使利潤(rùn)

最大每件定價(jià)為元.

答案：85

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

5.海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/

小時(shí)，當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用（無(wú)論速度如何）都是每小

時(shí)400元.如果甲、乙兩地相距800海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它

的航速應(yīng)為海里/小時(shí).

答案：20

解析：由已知求出〃=-!■,然后得出航速「與費(fèi)用）、的關(guān)系為y=a/x蜉+蜉*400=20，+

40''yu

320000

v'

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

（三）課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自主突破

1.設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,則其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為（）

A.1

B.^2V

C.病

D.2起

答案：C

解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x（x〉0）,則底面積5=務(wù),看暴'則S-?意X3+務(wù)x2=

噌+冬2,s：x-嚕,令/=0,得而，因?yàn)镾表只有一個(gè)極值，故》=狗為最

小值點(diǎn).

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，數(shù)學(xué)建模

2.如右圖所示，醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個(gè)圓柱的組合體.開(kāi)始輸液時(shí)，滴管內(nèi)勻速滴下液體（滴

管內(nèi)液體忽略不計(jì)），設(shè)輸液開(kāi)始后x分鐘，瓶?jī)?nèi)液面與進(jìn)氣管的距離為/?厘米，已知當(dāng)A0時(shí),

/?=13.如果瓶?jī)?nèi)的藥液恰好156分鐘滴完.則函數(shù)力=公）的圖象為（）

答案：c

解析：略

點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)建模

3.若一球的半徑為r,作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為（）

A.2兀戶(hù)

B.兀戶(hù)

C.4兀，

D.；兀/

答案：A

解析：設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為八，高為r,則5=44戶(hù)亓一汽

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

4.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總

收益r與年產(chǎn)量x的關(guān)系是「=/00%-04x4400,則總利潤(rùn)最大時(shí)，年產(chǎn)量是（）

80000,x>400

A.100

B.150

C.200

D.300

答案：D

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

5.用長(zhǎng)度為/的鐵絲圍成長(zhǎng)方形，則圍成的長(zhǎng)方形的最大面積為（）

答案：。

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

6.某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)

”與到車(chē)站的距離成正比，如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用yi和"分別為2萬(wàn)元

和8萬(wàn)元.那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站千米處.

答案：5

解析：略

點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)建模

能力型師生共研

7.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C（x）=1200+寺3,又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)%成反比,

生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，總利潤(rùn)最大時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)定為件.

答案：25

解析：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為。元，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即層*=匕由題知翠,

總利潤(rùn)曠=50岫一一一1200。＞0）,求導(dǎo)可知總利潤(rùn)的最大值在x=25處取.

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

8.一張1.4加高的圖片掛在墻上，它的底邊高于觀察者的眼睛1.8加，要使觀察者觀察的最清晰，

他應(yīng)與墻的距離為（）（視角最大時(shí)最清晰，視角是指觀察圖片上底的視線與觀察圖片下底的

視線所夾的角).

A.2.4m

B.2.3m

C.3.5m

D.2.1m

答案：A

解析：如右圖所示，設(shè)。。=-/ADO=B，ZBDO=y,。為視角，

32_k8

3.21.8tany-tan^xx1.4x

則a=y-P，tany=T>tana=tan(y一夕尸在贏麗=口^=壬記(x>°),

1?2

1.4(f+5.76)-2xxl.4x

由=0,解得尤=2.4或x=-2.4(舍去)

(tana)'=(?+5.76)2

在x=2.4附近，導(dǎo)數(shù)值由正到負(fù)，所以在x=2.4時(shí)，tana取得最大值，a也取得最大值.

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

9.如圖所示，一窗戶(hù)的上部是半徑為x的半圓，下部是邊長(zhǎng)分別為2x與〃的矩形，若窗戶(hù)面積

一定，則窗戶(hù)周長(zhǎng)最小時(shí)，x與〃的比為.

答案：1:1

解析：設(shè)窗戶(hù)面積為S,周長(zhǎng)為3則5=#+2/M，。=以一/，.?.窗戶(hù)周長(zhǎng)L=7LX+2X+2/?=/

九+2葉**=殲2—3?由〃=。，得x=^^，xe(0,時(shí)，+』

一—八.I2s4?加曰t,士,,,h2S—TUT2s7i兀+4兀

時(shí)，L'>0,..當(dāng)干時(shí)，L取取小值，此時(shí)ri,=4I=歸一歹丁—『?

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模，函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

10.某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，從而擴(kuò)大內(nèi)需，提高旅游增加值，

經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，旅游增加值y萬(wàn)元與投入x(xN10)萬(wàn)元之間滿(mǎn)足：y=?x)=ax2+端x—Z?ln今，a,

匕為常數(shù).當(dāng)x=10萬(wàn)元時(shí)，y=19.2萬(wàn)元；當(dāng)x=30萬(wàn)元時(shí)，)=50.5萬(wàn)元.(參考數(shù)據(jù)：ln2=

0.7,ln3=l.l,ln5=1.6).

(1)求_/U)的解析式；

(2)求該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值.(利潤(rùn)=旅游增加值一投入).

答案：見(jiàn)解析

(101

axl02+-777xl0-Mnl=19.2,

501

解析：(1)由條件可得J解得。=一而，b=l,

[ax3()2+端x30-〃n3=50.5,

f101x

則7W=-赤+與產(chǎn)Tnm(后10)?

⑵W)=?—x=—蓋+張一喊(定10),則U/5。),

令T'(x)=0,則x=l(舍)或x=50,

當(dāng)xG(10,50)時(shí)，r(x)>0,因此"x)在(10,50)上是增函數(shù)；

當(dāng)xd(50,+oo)時(shí)，r(x)<0,因此7U)在(50,+s)上是減函數(shù)，

當(dāng)x=50時(shí)，T(x)取最大值.又T(50)=一■^+轟50—1端=24.4(萬(wàn)元).

即該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值為24.4萬(wàn)元.

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

探究型多維突破

11.某地建一座橋，兩端的橋墩己建好，這兩墩相距m米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的

橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程

費(fèi)用為(2+4)》萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下

工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元。

(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)加=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？

答案：見(jiàn)解析

解析：(1)設(shè)需要新建"個(gè)橋墩，(〃+l)x=〃7,即n='-l

X

所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+?)x=256(--1)+—(2+Vx)x=4如+mVx+2m-256.

XXX

256n71-->77—

(2)由(1)矢口，f\x)^-=^P+-mx2=-^(x2-512).

%-22x2

令1(x)=0,得戶(hù)=512,所以x=64.

當(dāng)0<x<64時(shí).(x)<0,/(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù);

當(dāng)64<x<640時(shí),1(x)>0](x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)，

所以/(x)在x=64處取得最小值，此時(shí)，〃=生-1=史-1=9.

x64

故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.

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12.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條

連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為小心山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)

劃修建的公路為/，如圖所示，M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到44的距離分別為5千米和

40千米，點(diǎn)N到44的距離分別為20千米和2.5千米，以4,4所在的直線分別為龍，y軸，建立

平面直角坐標(biāo)系X。)，，假設(shè)曲線c符合函數(shù)y=q(其中a,。為常數(shù))模型.

廠+b

(1)求a,b的值；

(2)設(shè)公路/與曲線C相切于尸點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為「

①請(qǐng)寫(xiě)出公路/長(zhǎng)度的函數(shù)解析式/⑴，并寫(xiě)出其定義域;

②當(dāng)，為何值時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.

答案：見(jiàn)解析

解析：(1)由題意知，點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).

a

=40

25+ba=1000

將其分別代入y二號(hào)得，解得

a

=2.5b=0

400+J

,八、,‘八k1000(5<x<20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為「”

(2)①由(1)知，y=—v-

X-

設(shè)在點(diǎn)P處的切線/交X,y軸分別于A,B點(diǎn)，y'=-"詈，

則/的方程為y一竿=一等（XT）,由此得A（?,o）,B（o,等）.

故力伯飛等j=|啟乎,問(wèn)5,犯

②設(shè)8?）=產(chǎn)+寫(xiě)1,則g（）=2一寫(xiě)令g'（，）=（）,解得=10逝.

當(dāng)向5,10⑹時(shí)，g（）＜0,g⑺是減函數(shù)；

當(dāng)人（10亞,20）時(shí),g'（r）＞0,g⑺是增函數(shù).

從而，當(dāng)f=10應(yīng)時(shí),函數(shù)g⑺有極小值，也是最小值，所以g0mhi=300,

此時(shí)技

所以，當(dāng)，=10夜時(shí)，公路/的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15G千米.

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自助餐

1.某公司的盈利y（元）和時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系是y=/（x）,且:（100）=-1,這個(gè)數(shù)據(jù)說(shuō)明

在100天時(shí)（）

A.公司已經(jīng)在虧損

B.公司的盈利在增加

C.公司的盈利在逐漸減少

D.公司有時(shí)盈利有時(shí)虧損

答案：C

解析：略

點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)建模

2.福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)，原油溫度（單

位：。C）為人?uj？—f+glOS爛5）,那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是（）

A.8

C.11

D.-8

答案：C

解析：略

點(diǎn)撥：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

3.把一個(gè)周長(zhǎng)為12cm的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱底面周長(zhǎng)與高的

比為（）

A.1：2

B.I：71

C.2：1

D.2：久

答案：C.

解析：設(shè)圓柱高為x,底面半徑為r,則『WT，圓柱體積丫=兀（、詈）,4獲

V=4~K（x-2）（x-6）,當(dāng)x=2時(shí)，V最大.此時(shí)底面周長(zhǎng)為4,底面周長(zhǎng)：高=4:2=2：1

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

4.設(shè)圓柱的體積為V,那么其表面積最小時(shí)，底面半徑為（）

A.浙

C.旃

答案：D

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

5.某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入yi（萬(wàn)元）是產(chǎn)量雙千臺(tái)）的函數(shù)：丁1=17/。>0）；生產(chǎn)成本”（萬(wàn)元）是產(chǎn)量尤（千

臺(tái)）的函數(shù)：yi=2x3-x1（x>0）,為使利潤(rùn)最大，則應(yīng)生產(chǎn)（）

A.6千臺(tái)

B.7千臺(tái)

C.8千臺(tái)

D.9千臺(tái)

答案：A

解析：略

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6.某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需

要砌新的墻壁，當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為（）

A.32米，16米

B.30米，15米

C.40米，20米

D.36米，18米

答案：A

解析略

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7.某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)

為k（k>0）,貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x（xe（0,

4.8%））,則使銀行獲得最大收益的存款利率為.

答案：3.2%

解析：依題意知，存款額是kx2,銀行應(yīng)支付的存款利息是廢,銀行應(yīng)獲得的貸款利息是0.048履2,

所以銀行的收益是ynCHMgfcc2一去3（0<》<0.048）,故y=0.096自一3米2.令y=o,解得》=0.032

或x=0（舍去）.當(dāng)0VxV0.032時(shí)，/>0；當(dāng)0.032VxV0.048時(shí)，VVO.因此，當(dāng)x=0.032時(shí)，

y取得極大值，也是最大值，即當(dāng)存款利率為3.2%時(shí)，銀行可獲得最大收益.

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8.一艘輪船在航行時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知速度為每小時(shí)10千米時(shí)的燃料

費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，當(dāng)此輪船行使每千米的費(fèi)用總和最

小時(shí)，該輪船的航行速度為千米/時(shí).

答案：20千米/時(shí)

解析：略

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

9.做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若需使其體積是27K,且用料最省，則圓柱的底面半徑為

答案：3

解析：略

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10.某造船公司年造船量是20艘，已知造船九艘的產(chǎn)值函數(shù)為口光）=3700匠+45/—10?（單位:

萬(wàn)元)，成本函數(shù)為C(x)=460x+5000(單位：萬(wàn)元)，又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)/(x)的邊際函數(shù)WU)

定義為WU)=Xx+l)一大辦

(1)求利潤(rùn)函數(shù)尸(x)及其邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；(提示：利潤(rùn)=產(chǎn)值一成本)

(2)問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？

(3)求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？

答案：見(jiàn)解析

解析：(1)P(x)=R(x)~C(x)=-1Ox3+45x2+3240A—5000(XEM,且1M20)；

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30%2+60x+3275(xeM,且1<A<19).

(2)P'(x)=-30/+90^+3240=一30(x-12)-(x+9).

因?yàn)閤〉0,所以P，(x)=O時(shí)，x=12.

所以當(dāng)0<r<12時(shí)，P(x)>0,當(dāng)x>12時(shí)PQ)<0,所以x=12時(shí)，P(x)有最大值.

即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大.

(3)心。)=-30%2+60%+3275=-30(》-1)2+3305.所以，當(dāng)x>\時(shí)，MP(x)單調(diào)遞減，所以

單調(diào)減區(qū)間為[1,19],且xEN,單調(diào)遞減的實(shí)際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤(rùn)與前

一艘比較，利潤(rùn)在減少.

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

11.為了解決老百姓"看病貴''的問(wèn)題，國(guó)家多次下調(diào)藥品價(jià)格，各大藥廠也在積極行動(dòng)，通過(guò)技

術(shù)改造來(lái)提高生產(chǎn)能力，降低能耗，從而降低藥品生產(chǎn)的成本.某藥廠有一條價(jià)值。萬(wàn)元的藥

品生產(chǎn)線，經(jīng)過(guò)測(cè)算，生產(chǎn)成本降低y萬(wàn)元與技術(shù)改造投入x萬(wàn)元之間滿(mǎn)足：①y與(a—x)和％2

的乘積成正比；②當(dāng)時(shí)，>=/,并且技術(shù)改造投入比率一^€(0,小/為常數(shù)且停(0,2].

(1)求y=*x)的表達(dá)式及定義域；

(2)為了有更大的降價(jià)空間，要盡可能地降低藥品的生產(chǎn)成本，求)，的最大值及相應(yīng)的x值.

答案：見(jiàn)解析

2

解析：(1)設(shè)幻/，當(dāng)時(shí)，y—a3,即爐=令./所以女=8.

所以人x)=8(a—x)d.因?yàn)?<^^由，所以函數(shù)的定義域是0衿空■.

2(a-x)，，十1

(2)/(x)=-24x2+16ar,令/(尤)=0,則尤=0(舍)或％=等

當(dāng)04<當(dāng)時(shí)，/(x)〉0,所以於)在(0,牛)上是增函數(shù)；

當(dāng)x>爭(zhēng)時(shí)，/(x)<0,所以/(x)在(與，+8)上是減函數(shù).所以％=華為極大值點(diǎn).

當(dāng)堵*N岑，即1$也2時(shí)，ymax=/（4）=條3；

出2at2aB1r/2at、32/J

T而<了,即0?1時(shí)'^=/（^7T）=^7I7.

綜上，當(dāng)國(guó)2時(shí)，投入半萬(wàn)元，y的最大值為粉;

當(dāng)0</<1時(shí)，投入碧?萬(wàn)元，y的最大值為四/.

點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，數(shù)學(xué)建模

12.兩縣城A和8相距20切?，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以A8為直徑的半圓弧/W上選擇一點(diǎn)C建造

垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為

城A與城8的影響度之和，記C點(diǎn)到