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1、矩形波導(dǎo)中電磁波的傳播模式摘要人類進入 21 世紀的信息時代,電子與信息科學技術(shù)在飛速發(fā)展,要求人們制造各種高科技的儀器。在電磁學領(lǐng)域,能約束或引導(dǎo)電磁波能 所以我們有必要對波導(dǎo)中的電磁波傳播模式參數(shù)進行研究關(guān)鍵詞:矩形波導(dǎo) TM波 TE波矩形波導(dǎo)由良導(dǎo)體制作而成,一般為了提高導(dǎo)電性能和抗腐蝕性能,在波導(dǎo)內(nèi)壁鍍上一層高電導(dǎo)率的金或銀,是由矩形波導(dǎo)構(gòu)成的。為了簡化分TEM波,只能傳輸 TE 波和 TM 波。設(shè)矩形波導(dǎo)寬為 a,高為 b,()沿 Z 軸放置,如圖(1)所示。下面分別求解矩形波導(dǎo)中傳輸?shù)?TE波和 TM 波。1TM 波對于 TM 波,E 可以表示為;HzzE (x,y,z) E (x
2、,y)e jk z(1)zz0式中E (x,y)滿足齊次亥姆霍茲方程,故有0 E (x,y)k E (x,y)022(2)(3)0c0采用分離變量法解此方程,在直角坐標系中,令E (,)X(Y()0將(3)式代入(2)式中,并在等式兩邊同除以 ( ) ( )得:X x Y yX () Y ()k 02(4)X() Y()c上式中第一項僅是 X的函數(shù),第二項僅是Y的函數(shù),第三項是與Y無關(guān)的常數(shù),要使上式對任何 、Y都成立,第一和第二項也應(yīng)分別是常數(shù),記為:X (x)Y (y) k k22X(x)Y(y)xy這樣就得到兩個常微分議程和 3 個常數(shù)所滿足的方程:X (x)k X(x) 02(5)(6
3、)x2Y (y)k Y(y)0yk k k222(7)cxy常微分方程(5)和(6)的通解為Y(x) C cos(k x)C sin(k x)(8)(9)1x2xY(y)C cos(k y)C sin(k y)3y4y將(8)式和( 9)式代入( 3)式,再代入( 1)式,就得到的通解為EzE (x, y,z) C cos( k x) C sin( k x) C cos( k y) C sin( k y) e zzz1x2x3y4y由矩形波導(dǎo)理想導(dǎo)電壁的邊界條件 0 4 個理想E導(dǎo)電壁上, 是切向分量,因此有:Ez(1) 在 0的波導(dǎo)壁上,由 ( , )0得 0;XE x y zCz1(2)
4、在 0的波導(dǎo)壁上,由 ( , )0得C 0;E x yYz3z(3) 在 ( , , )0有sin(k a) 0X aE x a y zzxk a ,其中mx1.,2,3為整數(shù),由此得mk (10)xa(4)在 的波導(dǎo)壁上,要使 ( , , )0有,sin( ) 0X bE x y b zk bzy從而必定有k b n,其中 1.,2,3 也為整數(shù),由此得ynbk (11)y將以上利用邊界條件求出的常數(shù)代入后,波導(dǎo)中 TM 波的電場縱向分量為nmE (x,y,z) E sin( )sin( )(12)z0abE C C ,由電磁波源確定。024在無源區(qū),麥克斯韋方程組中的兩個旋度方程為:H j
5、 EE j HE(x,y,z) E (x,y,)e zz0H(x,y,z) H (x,y)ejk zz0將 3 個矢量方程分解為 6 個標量方程:H H j Ez(13)yzyxHx jk H j Ez(13b)zxyHH j Eyx(13c)(13d)x yzE jk E j HzyzyxE jk E j Hz( )13xzxyEE j Hyx(13f)x yz由(13)和(13)以及(13b)和(13d)可得:1EHyE ( )zz(14a)xkx2zc1EHxE (jk j)z(14b)zyky2zc1EHxH (j jk)zz(14c)(14d)ykx2zc1EHH ( zzxyky2
6、zc將(18)式代入(20)式中,就可以得到波導(dǎo)中波的其他場分量nk mmE (x,y,z) j ( )E cos( x)sin( y)e zz2(14)zk a0abxck nnmE (x,y,z) j ( )E sin( y)cos( x)ejk zzz(14b)k bc0aby2 nnmH (x,y,z) j ( )E sin( y)cos( )e jk zz(14c)k bc0abx2 nmmH (x,y,z) j ( )E x) y)e z(14d)zk ac0aby2n 2 2mk 2其中(15)(15) a b ck k k222zc從式(13)式中可以看出:(1) 矩形波導(dǎo)中的
7、 TM 波 , 至少一個從零開始,否則全部的場分量為零,m n當 , 對應(yīng)有無限多組解;m n(2) 對于給定 , 值的每一組解,如果 為實數(shù),其場為沿 Z 方向傳播的非km nz均勻平面波,在 、Y 方向為駐波分布, , 分別表示在寬邊和窄邊上m n駐波的波腹個數(shù);(3) 對于不同 , 值的場,有兩方面不同:一是橫截面的場分布不同:二是m n沿傳播方向的 不同。我們將波導(dǎo)中一對 , 值對應(yīng)的一個 TM 模式,km nz記作TM 。mn2TE 波對于 TE波, 0,用求解 TM 波的方法可以得到 TE波各場分量的表達式:Ez mnH (x,y,z) H cos xcos yejk zz(16a
8、)z0 a b nk mmH (x,y,z) j ( )H sin x ye zz2(16b)zk ac0 a b x nk nmH (x,y,z) j ( )H xsin ye zz2(16)zk bc0 a b y nnmE (x,y,z) j ( )H xsin ye z(16d)zk bc0 a b x2 nmmE (x,y,z) j ( )H sin xcos yejk zz (16e)k ac0 a b y2由上式可以看出:(1)矩形波導(dǎo)中的波中的不可同時為零,當 , 值取不同值的m,nm n無限多組解;對于給定值,如果 為實數(shù),其場為沿方向傳播的非均勻平面波,在km,nz、方向為駐波分布, , 也分別表示在寬邊和窄邊上駐波的波腹的個數(shù)。m nm 或 n 等于零意味著場在對應(yīng)方向無變化,是均勻的;對于不同值的場,也同樣有兩個方面不同:一是橫截面的場分布不同;m,n二是沿傳播方向的 , km nz模式,記作TE 。如當 對應(yīng)的模應(yīng)為TE 。mnmn10上述的TM 和TE 模統(tǒng)稱為矩形波導(dǎo)內(nèi)的正規(guī)模,具有很重要的特性。容易mnmn看出矩形波導(dǎo)內(nèi)的正規(guī)模構(gòu)成了一個完備的正交系。所以,波導(dǎo)內(nèi)傳輸?shù)娜我怆姶挪梢员硎緸檎?guī)模的線性疊加。這就是正規(guī)模的正交性和完備性。所謂正交性是指正規(guī)模能夠獨立存在,能量互不耦合;所謂完備性是指任意電磁波都可以用
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