江蘇省南通市區(qū)第二中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

江蘇省南通市區(qū)第二中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數(shù)，若時，恒成立，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.某學校需要把6名實習老師安排到A，B，C三個班級去聽課，每個班級安排2名老師，已知甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班級，則安排方案的種數(shù)有（

）A．24

B．36

C．48

D．72參考答案：C3.已知函數(shù)，則實數(shù)a的值等于（

）A．-3

B．-1

C．1

D．3參考答案：A4.設，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A.故選A.5.對于集合，如果定義了一種運算“”，使得集合中的元素間滿足下列4個條件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得對，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，則稱集合對于運算“”構成“對稱集”．下面給出三個集合及相應的運算“”：①，運算“”為普通加法；②，運算“”為普通減法；③，運算“”為普通乘法．其中可以構成“對稱集”的有(

)A①②

B①③

C②③

D①②③參考答案：B略6.已知，則等于（

）A．

B．

C．

D．1參考答案：C略7.已知函數(shù)滿足關系式，則實數(shù)的值是A.1

B.

C.

D.-1參考答案：B8.同時具有性質：“①最小正周期為；②圖象關于直線對稱；③在上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是A. B. C. D.參考答案：C9.已知B（m，2b）是雙曲線﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一點，A為右頂點，O為坐標原點，若∠AOB=60°，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．y=± B．y=± C．y=± D．y=±參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】由題意可知，B（m，2b）是雙曲線﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一點，代入可得m=a，利用tan60°=，解得=，從而求得此雙曲線的漸近線方程．【解答】解：由題意得，B（m，2b）是雙曲線﹣=l（a＞0，b＞0）的右支上一點，代入可得m=a∵A為右頂點，O為坐標原點，∠AOB=60°，∴tan60°=，∴=，∴此雙曲線的漸近線方程是y=±x，故選C．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用，利用tan60°=是解題的關鍵．10.若A為△ABC的內角，且sin2A=﹣，則cos（A+）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由題意可得sin2A=2sinAcosA=﹣，sin2A+cos2A=1聯(lián)立結合三角形內角的范圍可得可得sinA和cosA的值，代入cos（A+）=（cosA﹣sinA），計算可得．【解答】解：∵A為△ABC的內角，且sin2A=2sinAcosA=﹣，結合sin2A+cos2A=1可得sinA=，cosA=﹣，∴cos（A+）=（cosA﹣sinA）=﹣故選：B．【點評】本題考查兩角和與差的余弦公式，涉及同角三角函數(shù)基本關系，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設等差數(shù)列的前項和為，若，則

.參考答案：答案：

12.（5分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*），定義：使乘積a1?a2?…?aK為正整數(shù)的k（k∈N*）叫做“簡易數(shù)”．（1）若k=3時，則a1?a2?a3=；（2）求在[3，2015]內所有“簡易數(shù)”的和為．參考答案：2,2024.【考點】：數(shù)列的求和．【專題】：新定義．【分析】：利用an=logn+1（n+2），化簡a1?a2?a3…ak，得k=2m﹣2，給m依次取值，可得區(qū)間[3，2015]內所有簡易數(shù)，然后求和．解：（1）當k=3時，則a1?a2?a3=1?log23?log34=log24=2；（2）∵an=logn+1（n+2），∴由a1?a2…ak為整數(shù)得1?log23?log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）為整數(shù)，設log2（k+2）=m，則k+2=2m，∴k=2m﹣2，∵211=2048＞2015，∴區(qū)間[3，2015]內所有和諧數(shù)為：23﹣2，24﹣2，…，210﹣2，其和M=23﹣2+24﹣2+…+210﹣2=23（1+2+22+…+27）﹣2×8=﹣16=2024．故答案為：2，2024．【點評】：本題以新定義“簡易數(shù)”為切入點，主要考查了對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算性質的應用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．13.已知三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，=3，若P是BC邊上的動點，則?的取值范圍是．參考答案：[﹣，]【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】運圖形得出=×4×（﹣）=﹣8，=，=，0≤λ≤1化簡得出?=（+）=2+λ2+3×，運用數(shù)量積求解即可．【解答】解：∵三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°∴AB=，∠ABC=30°，求出=×4×（﹣）=﹣8，∵=3，∴=，=，0≤λ≤1∵?=（+）=2+λ2+3×∴?=﹣8λ+12λ×（﹣8）=4，0≤λ≤1根據(jù)單調性得出：?的取值范圍，故答案為：[﹣，]

【點評】本題考查了平面向量的運用算，向量的分解合成，數(shù)量積的運用，屬于中檔題，關鍵是轉化為統(tǒng)一的向量求解．14.定義：，其中是虛數(shù)單位，，且實數(shù)指數(shù)冪的運算性質對都適應。若，，則

．

參考答案：15.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n－1+k，則f(x)=x3－kx2－2x+1的極大值

參考答案：

;

16.已知數(shù)列滿足，則=_________；參考答案：217.如圖所示，畫中的一朵花有止片花瓣，規(guī)定要給每片花瓣涂一種顏色，有四種不同顏色可供選擇.若恰有三片花瓣涂同一種顏色，則不同的涂色種數(shù)為__________.(用數(shù)字作答)

參考答案：答案：240三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的焦距與短軸長相等，且點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若點P為橢圓C上異于左、右頂點A、B的任意一點，過原點O作直線PA的垂線交直線PB于點M，設直線PA的斜率為，直線PB的斜率為.①求證：與之積為常數(shù)；②求點M的軌跡方程.參考答案：（1）（2）①證明見解析，②【分析】（1）由已知條件求得橢圓的,可得出其標準方程;（2）①設，直線PA的方程為：，直線PB的方程為：，可得出的值，可得證；②設直線OM的方程為：，聯(lián)立，再由①的結論代入可得軌跡方程.【詳解】（1）橢圓C的焦距與短軸長相等，，，點在橢圓C上，，又，，，橢圓C的標準方程為.（2）①證明：由（1）知，，，設，直線PA的方程為：，直線PB的方程為：，則，為常數(shù)；②由題意知，直線OM的方程為：，由，得，，，點M的軌跡方程為.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系中的定值問題,以及求動點的軌跡方程,解決的關鍵在于設點,設直線的方程,聯(lián)立得交點的坐標的關系,屬于?？碱},難度題.19.已知定點、，直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為，記動點M的軌跡為曲線C.（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設直線l與曲線C交于P、Q兩點，若直線AP與AQ斜率之積為，求證：直線l過定點，并求定點坐標.參考答案：（Ⅰ）設動點，則，，即，化簡得：，由已知，故曲線的方程為.（Ⅱ）由已知直線斜率為0時，顯然不滿足條件。當直線斜率不為0時，設的方程為，則聯(lián)立方程組，消去得，設，則，直線與斜率分別為,，，由已知得，化簡得，解得或，當時，直線的方程為過點A，顯然不符合條件，故舍去；當時，直線的方程為.直線過定點.綜上，直線過定點，定點坐標為.

20.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底）．（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若，證明：參考答案：解：（Ⅰ）因為，所以．顯然，當時，；當時，．因此，在上單調遞減，在上單調遞增．因此，當時，取得最小值；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知：當時，有，即，故（），從而有w。w-w*k&s%5￥u．略21.已知數(shù)列的前項和，（Ⅰ）求通項公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項和參考答案：略22.已知直角梯形ABCD中，，∥，，，E為A