山西省太原市尖草坪區(qū)第三中學高三數(shù)學理知識點試題含解析

山西省太原市尖草坪區(qū)第三中學高三數(shù)學理知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列有關命題的敘述，①若為真命題，則為真命題；②“”是“”的充分不必要條件；③命題，使得，則，使得；④命題“若，則或”的逆否命題為“若或，則”。其中錯誤的個數(shù)為（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B略2.已知命題p：xAB，則非p是

A．x不屬于AB

B．x不屬于A或x不屬于B

C．x不屬于A且x不屬于B

D．xAB參考答案：【知識點】命題的否定

A3C由知或，所以非p是：不屬于A且不屬于B．故選擇C【思路點撥】因即或．是由“或”連接的復合命題，它的否定是由“且”連接的復合命題．3.已知偶函數(shù)f（x）對任意x∈R滿足f（2+x）=f（2﹣x），且當﹣3≤x≤0時，f（x）=log3（2﹣x），則f（2015）的值為（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2015參考答案：B【考點】抽象函數(shù)及其應用．【專題】計算題；轉化思想；函數(shù)的性質及應用．【分析】利用已知關系式以及函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的周期，然后化簡所求f（2015）為f（﹣1），通過函數(shù)表達式求出函數(shù)值即可．【解答】解：∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（4+x）=f（﹣x）．∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）=f（x+4），函數(shù)的周期為：4，∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=log33=1．故選：B．【點評】本題考查抽象函數(shù)的應用，函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性的應用，考查計算能力．4.若a、b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是()．A.a2＋b2＞2ab

B.a＋b≥2

C.

D.參考答案：D略5.已知，且，則等于

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.若某市所中學參加中學生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由莖葉圖知：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故選B．考點：1、莖葉圖；2、樣本的數(shù)字特征．7.已知三棱錐P﹣ABC四個頂點都在半徑為2的球面上，PA⊥面ABC，PA=2，底面ABC是正三角形，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是（）A． B．2π C． D．3π參考答案：C【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】設正△ABC的中心為O1，連結O1A．根據(jù)球的截面圓性質、正三角形的性質與勾股定理，而經過點E的球O的截面，當截面與OE垂直時截面圓的半徑最小，相應地截面圓的面積有最小值，由此算出截面圓半徑的最小值，從而可得截面面積的最小值．【解答】解：設正△ABC的中心為O1，連結O1A，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三點都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵PA⊥面ABC，PA=2，∴球心O到平面ABC的距離為O1O==1，∴Rt△O1OA中，O1A=，∴又∵E為AB的中點，△ABC是等邊三角形，∴AE=AO1cos30°=．∵過E作球O的截面，當截面與OE垂直時，截面圓的半徑最小，∴當截面與OE垂直時，截面圓的面積有最小值．此時截面圓的半徑r=，可得截面面積為S=πr2=，故選：C．8.如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=，BC=1，以A為圓心，1為半徑畫圓，交線段AB于E，在圓弧DE上任取一點P，則直線AP與線段BC有公共點的概率為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計．分析：由題意知本題是一個幾何概型，由題意，試驗包含的所有事件是∠BAD，而滿足條件的事件是直線AP在∠CAB內時AP與BC相交時，即直線AP與線段BC有公共點，根據(jù)幾何概型公式得到結果．解答： 解：由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件是∠BAD，如圖，連接AC交弧DE于P，則tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，滿足條件的事件是直線AP在∠CAB內時AP與BC相交時，即直線AP與線段BC有公共點∴概率P==，故選：C．點評：本題考查了幾何摡型知識，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．9.定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=，則關于x的函數(shù)F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零點之和為（）A．3a﹣1 B．1﹣3a C．3﹣a﹣1 D．1﹣3﹣a參考答案：B【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】利用奇偶函數(shù)得出當x≥0時，f（x）=，x≥0時，f（x）=，畫出圖象，根據(jù)對稱性得出零點的值滿足x1+x2，x4+x5的值，關鍵運用對數(shù)求解x3=1﹣3a，整體求解即可．【解答】解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵當x≥0時，f（x）=，∴當x≥0時，f（x）=，得出x＜0時，f（x）=畫出圖象得出：

如圖從左向右零點為x1，x2，x3，x4，x5，根據(jù)對稱性得出：x1+x2=﹣4×2=﹣8，x4+x5=2×4=8，﹣log（﹣x3+1）=a，x3=1﹣3a，故x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a，故選：B【點評】本題綜合考察了函數(shù)的性質，圖象的運用，函數(shù)的零點與函數(shù)交點問題，考查了數(shù)形結合的能力，屬于中檔題．10.已知全集，集合，，則（

）A． B．

C． D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程為_______________.參考答案：略12.在三棱錐中，,,PA與平面ABC所成角的余弦值為，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為

．參考答案：12π13.直線截得的弦AB的長為

。參考答案：8試題分析：由題意可得：圓心到直線的距離，所以被圓截得弦長為?？键c：圓的性質.14.已知函數(shù)，則

．參考答案：e15.已知函數(shù)，對任意的，都有，則最大的正整數(shù)為

.參考答案：.試題分析：在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖象如下圖所示，當時，，，16.函數(shù)的定義域是

參考答案：略17.若函數(shù)，則不等式的解集為

.

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知圓C：，直線過定點(4，0)．

（1）若直線與方向向量為a=(l，3)的直線1垂直，求原點到直線的距離

（2）直線與圓C相交于A，B兩點，若△ABC的面積為，求直線的方程參考答案：19.（12分）（2012?石景山區(qū)一模）已知橢圓+=1（a＞b＞0）右頂點與右焦點的距離為﹣1，短軸長為2．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若三角形OAB的面積為，求直線AB的方程．參考答案：考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．

專題： 綜合題．分析： （Ⅰ）根據(jù)橢圓右頂點與右焦點的距離為，短軸長為，可得，由此，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，，此時不符合題意；當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得，進而可求三角形的面積，利用，即可求出直線AB的方程．解答： 解：（Ⅰ）由題意，，解得．即橢圓方程為（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，，此時S=不符合題意，故舍掉；當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．設A（x1，y1），B（x2，y2），則，所以．原點到直線的AB距離，所以三角形的面積．由可得k2=2，∴，所以直線或．點評： 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理確定三角形的面積是關鍵．20.某學校為調查高三年級學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取100名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（圖（2））.已知圖（1）中身高在170～175cm的男生人數(shù)有16人.（1）試問在抽取的學生中，男，女生各有多少人？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，完成下列的2×2列聯(lián)表，并判斷能有多大（百分之幾）的把握認為“身高與性別有關”？

總計男生身高

女生身高

總計

（3）在上述100名學生中，從身高在175～185cm之間的男生和身高在170～175cm之間的女生中間按男、女性別分層抽樣的方法，抽出6人，從這6人中選派2人當旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.參考公式：參考數(shù)據(jù)：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）40,60；（2）列聯(lián)表見解析，有的把握認為身高與性別有關；（3）.【分析】（1）根據(jù)直方圖求出男生的人數(shù)為40，再求女生的人數(shù)；（2）完成列聯(lián)表，再利用獨立性檢驗求出有的把握認為身高與性別有關；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.【詳解】（1）直方圖中，因為身高在的男生的頻率為0.4，設男生數(shù)為，則，得.由男生的人數(shù)為40，得女生的人數(shù)為.（2）男生身高的人數(shù)，女生身高的人數(shù)，所以可得到下列列聯(lián)表：

總計男生身高301040女生身高65460總計3664100

，所以能有的把握認為身高與性別有關；（3）在175～185cm之間的男生有12人，在170～175cm之間的女生人數(shù)有6人.按分層抽樣的方法抽出6人，則男生占4人，女生占2人.設男生為，，，，女生為，.從6人任選2名有：，，，，，，，，，，，，，，共15種可能，2人中恰好有一名女生：，，，，，，，共8種可能，故所求概率為.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的計算，考查獨立性檢驗解決實際問題，考查古典概型的概率的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.設f（x）=|x|+|x+10|．（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；（Ⅱ）當a，b∈M時，求證：5|a+b|≤|ab+25|參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（I）把要解的不等式等價轉化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）當a，b∈M時，等價轉化不等式5|a+b|≤|ab+25|為（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0，結合題意可得（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0成立，從而得出結論．【解答】解：（I）由f（x）=|x|+|x+10|≤x+15得：①，或②，或③．解①求得x∈?，解②求得﹣5≤x≤0，解③求得5≥x＞0，故原不等式的解集為M={x|﹣5≤x≤5}．（II）當a，b∈M時，﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，不等式5|a+b||≤|ab+25|，等價于25（a+b）2≤（ab+25）2，即25（a2+b2+2ab）≤a2?b2+50ab+625，即25a2+25b2﹣a2?b2﹣625≤0，等價于（a2﹣25）?（25﹣b2）≤0．而由﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，可得a2≤25，b2≤25，∴a2﹣25≤0，25﹣b2≥0，∴（a2﹣25）?（25﹣b2）≤成立，故要證的不等式5|a+b|≤|ab+25|成立．22.某運動員進行20次射擊練習，記錄了他射擊的有關數(shù)據(jù)，得到下表：環(huán)數(shù)78910命中次數(shù)2783（1）求此運動員射擊的環(huán)數(shù)的平均值；（2）若將表中某一環(huán)數(shù)所對應的命中次數(shù)作為一個結果，在四個結果（2次、7次、8次、3次）中，隨機取2個不同的結果作為基本事件進行研究，記這兩個結果分別為m次、n次，每個基本事件為（m，n），求事件“m+n≥10”的概率．參考答案：解：（1）運動員射擊的總次數(shù)為