湖南省邵陽市杉木橋中學高三數(shù)學理期末試題含解析

湖南省邵陽市杉木橋中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點，且，連接AC，MN交于P點，若，則λ的值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D試題分析：因為，又，所以，而三點共線，，，，故選D.【方法點睛】本題主要考查平面向量的共線的性質、向量運算的平行四邊形法則，屬于難題．向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何問題解答(這種方法將幾何問題轉化為代數(shù)問題你，更加直觀)．本題的解答主要根據向量運算的平行四邊形法則解答的.2.在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0,1,2,3,4.給出如下四個結論：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④“整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件是“a-b∈[0]”.其中正確的結論有（）個A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C

本題是一道新定義題，主要考查考生閱讀能力以及提取信息轉化與化歸能力。②錯誤，因為；①②③正確，故選C3.設是的重心，分別是角的對邊，若,則角（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D4.已知集合，則集合A∪B=（

）A.(－2,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(－2,+∞)參考答案：D【分析】根據并集的定義求解即可.【詳解】故選：D【點睛】本題主要考查了求兩個集合的并集，屬于基礎題.5.已知集合，，則A∩B=（

）A． B．{0,1,2} C． D．{1,2}參考答案：A∵集合A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故選：A．

6.已知是虛數(shù)單位，則（

） A．

B．

C． D．參考答案：B7.已知函數(shù)，則的最小值等于A．

B．

C．

D．參考答案：D8.已知，，則tanθ=（）A．﹣2 B． C． D．參考答案：C【考點】同角三角函數(shù)間的基本關系．【分析】根據同角三角函數(shù)的基本關系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，求得tanθ的值．【解答】解：∵已知，，∴cosθ=﹣=﹣，則tanθ==﹣，故選：C．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎題．9.下列命題中是假命題的是

（

）

A．，使是冪函數(shù)，且在上遞減

B．

C．;

D．都不是偶函數(shù)

參考答案：D10.已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)），若對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）參考答案：A【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】根據若對任意給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調，從而求得a的取值范圍．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，e]上單調遞減，又因為g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域為（0，1]．，當時，f′（x）=0，f（x）在處取得最小值，由題意知，f（x）在（0，e]上不單調，所以，解得，所以對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，當且僅當a滿足條件且f（e）≥1因為f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得綜上所述，a的取值范圍是．故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：

現(xiàn)在加密密鑰為，如上所示，明文“6”通過加密后得到密文“3”，再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得到明文“6”。若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文為

；參考答案：14略12.已知是兩個互相垂直的單位向量，且，則對任意的正實數(shù)，的最小值是

參考答案：13.每年的三月十二號是植樹節(jié)，某學校組織高中個學生及其父母以家庭為單位參加“種一棵小樹，綠一方凈土”的義務植樹活動．活動將個家庭分成兩組，組負責種植棵銀杏樹苗，組負責種植棵紫薇樹苗．根據往年的統(tǒng)計，每個家庭種植一棵銀杏樹苗用時，種植一棵紫薇樹苗用時.假定兩組同時開始種植,若使植樹活動持續(xù)時間最短，則組的家庭數(shù)為

，此時活動持續(xù)的時間為

．參考答案：【知識點】函數(shù)模型及其應用【試題解析】因為由已知得，得

所以，

故答案為：14.已知f（x）=alnx+，若對于?x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2都有＞4，則a的取值范圍是

．參考答案：（4，+∞）【考點】導數(shù)的幾何意義；導數(shù)的運算．【專題】函數(shù)思想；導數(shù)的概念及應用．【分析】解法一，假設x1＜x2，把＞4化為f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），構造函數(shù)g（x）=f（x）﹣4x，利用g（x）的導數(shù)g'（x）＞0，求出a的取值范圍．解法二：根據題意，得出f（x）的導數(shù)f′（x）＞4，求出a的取值范圍．【解答】解：解法一，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵＞4，f（x1）﹣f（x2）＜4（x1﹣x2），構造函數(shù)g（x）=f（x）﹣4x，∴g（x）在（0，+∞）是單調遞增函數(shù)，∴g'（x）=f′（x）﹣4=﹣4＞0；即+x﹣4＞0；∴a＞（4﹣x）x，設函數(shù)t=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，∴a＞4；∴a的取值范圍是（4，+∞）．解法二：根據題意，f（x）=alnx+，其中x＞0，∴f′（x）=+x=＞4，∴a+x2＞4x，即a＞4x﹣x2=4﹣（x﹣2）2；∵4﹣（x﹣2）2≤4，當且僅當x=2時，取“=”，∴a＞4；∴a的取值范圍是（4，+∞）．故答案為：（4，+∞）．【點評】本題考查了導數(shù)的概念以及不等式恒成立問題，解題時應根據導數(shù)的概念，化為f′（x）＞4，從而使問題得以解答．15.設D為不等式組表示的平面區(qū)域，對于區(qū)域D內除原點外的任一點，則的最大值是_______，的取值范圍是___.參考答案：，畫出可行域如圖所示令，，當直線過點是有最大值，聯(lián)立，得，代入；第二空：解法一、由圖可知，令，則，，當時，有最小值，代入得，故的取值范圍為.解法二、

如圖當點在與平行的直線：上運動時，為（負）定值，故對每一個，這道當落在與的交點時，與原點的距離最小，從而取得最小值；當變化時，與的交點在上運動，此時，故=，為常數(shù)，綜上知道，的最小值在線段上取到，最小值為，而最大值在線段上取到，最大值為0，故取值范圍為.解法三：注意到所求為一次齊次式，可以考慮分子分母同除以，當時，得到；當時，得到，這里為原點與點的直線的斜率，容易得到，從而上述的取值范圍為；當是，得到這里為原點與點的直線的斜率，容易得到，從而上述的取值范圍為；綜上所述，知道取值范圍為.解法四：設，令，，由在可行域內，，故.16.

函數(shù)的導數(shù)為

。參考答案：答案:

17.若實數(shù)x，y滿足不等式組目標函數(shù)z=2x+y的最大值為

．參考答案：16【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出約束條件表示的可行域，判斷目標函數(shù)z=2x+y的位置，求出最大值．【解答】解：作出約束條件不等式組的可行域如圖：目標函數(shù)z=2x+y在的交點A（5，6）處取最大值為z=2×5+6=16．故答案為：16．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△ABC的頂點A（1，0），點B在x軸上移動，|AB|=|AC|，且BC的中點在y軸上．（Ⅰ）求C點的軌跡Γ的方程；（Ⅱ）已知過P（0，﹣2）的直線l交軌跡Γ于不同兩點M，N，求證：Q（1，2）與M，N兩點連線QM，QN的斜率之積為定值．參考答案：【考點】J3：軌跡方程．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求C點的軌跡Γ的方程；（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx﹣2，與拋物線方程聯(lián)立，求出斜率，即可證明結論．【解答】解：（Ⅰ）設C（x，y）（y≠0），因為B在x軸上且BC中點在y軸上，所以B（﹣x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）2=（x﹣1）2+y2，化簡得y2=4x，所以C點的軌跡Γ的方程為y2=4x（y≠0）．（Ⅱ）直線l的斜率顯然存在且不為0，設直線l的方程為y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由得ky2﹣4y﹣8=0，所以，，，同理，，所以Q（1，2）與M，N兩點連線的斜率之積為定值4．19.已知二次函數(shù)+的圖象通過原點，對稱軸為，．是的導函數(shù)，且．（1）求的表達式（含有字母）；（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式；（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數(shù)，使得當時恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，說明理由．參考答案：試題解析：（1）由已知，可得，，

∴解之得，

4分（2）

=

8分（3）

9分

（1）

（2）（1）—（2）得：

…11分=，即，當時，

…12分，使得當時，恒成立

13分略20.已知不等式|x+|＜的解集為A，關于x的不等式（）2x＞π﹣a﹣x（a∈R）的解集為B，全集U=R，求使?UA∩B=B的實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】交、并、補集的混合運算；集合的包含關系判斷及應用．【專題】綜合題；集合思想；定義法；集合．【分析】首先根據絕對值不等式，求出集合A；由指數(shù)函數(shù)的單調性，求出集合B，化簡B，根據A∩B=A?A?B，求出a的取值范圍【解答】解：由x+|＜解得﹣2＜x＜1，則A=（﹣2，1），∴?UA=（﹣∞．﹣2]∪[1，+∞），由（）2x＞π﹣a﹣x，得2x＜a+x，解得x＜a，∴B=（﹣∞，a），∵?UA∩B=B，∴B??UA，∴a≤2，即a的取值范圍為（﹣∞，﹣2]【點評】本題主要考查集合的包含關系及判斷，考查絕對值不等式和指數(shù)不等式的解法，考查基本的運算能力，是一道中檔題．21..如圖，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上一點A處有一個水聲監(jiān)測點，另兩個監(jiān)測點B，C分別在A的正東方20km和54km處。某時刻，監(jiān)測點B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波，8s后監(jiān)測點A、20s后監(jiān)測點C相繼收到這一信號。在當時的氣象條件下，聲波在水中傳播速度是.（1）設A到P的距離為xkm，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；（2）求靜止目標P到海防警戒線a的距離。參考答案：（1)PA－PB＝x－PB＝，。同理，

（2）作，垂足為D，在中，答：靜止目標P到海防警戒線a的距離為略22.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，過A1、B、C1三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體ABCD﹣A1C1D1，E、F分別為A1B、BC1的中點．（Ⅰ）求證：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1與平面ABCD的夾角θ的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥A1C1，由平行公理得EF∥AC，由此能證明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）以D為坐標軸原點，以DA、DC、DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABCD的一個法向量和平面A1BC1的一個法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1與平面ABCD的夾角θ的余弦值．【解答】（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：∵在△A1BC1中，E、F分別為A1B、BC1的中點，∴EF∥A1C1，∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴EF∥AC，∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（Ⅱ）解：以D為坐