2022年吉林省四平市梨樹縣沈洋鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

2022年吉林省四平市梨樹縣沈洋鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=asinx+bx3+1（a，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f+f′=（）A．2017 B．2016 C．2 D．0參考答案：C【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=acosx+3bx2，則f′（x）為偶函數(shù)，則f′=f′=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f=asin2016+b?20163+1，f（﹣2016）=﹣asin2016﹣b?20163+1，則f=2，則f+f′=2+0=2，故選：C2.已知命題p:,命題q:,則下列命題中為真命題的是（）A．p∧q

B．p∧q

C．p∧q

D．p∧q參考答案：C略3.不等式x2+2x－3≥0的解集為

（

）A.{x|x≤－3或x≥1}

B.{x|－1≤x≤3}C.{x|x≤－1或x≥3}

D.{x|－3≤x≤1}參考答案：A4.設(shè)x∈R，i是虛數(shù)單位，則“x=﹣3”是“復(fù)數(shù)z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由x=﹣3能得到復(fù)數(shù)z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i為純數(shù)，反之，復(fù)數(shù)z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i為純數(shù)得到x=﹣3，則答案可求．【解答】解：由x=﹣3，得x2+2x﹣3=（﹣3）2+2×（﹣3）﹣3=0，x﹣1=﹣3﹣1=﹣4．而由，得x=﹣3．所以“x=﹣3”是“復(fù)數(shù)z=（x2+2x﹣3）+（x﹣1）i為純數(shù)”的充要條件．故選C．5.曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′(x)＞f(x)，若f(2)=0，則不等式的解集為（

）A．{x|－2＜x＜0或0＜x＜2} B．{x|x＜－2或x＞2}C．{x|－2＜x＜0或x＞2} D．{x|x＜－2或0＜x＜2}參考答案：C7.對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）的概率密度函數(shù)，下列說法不正確的是（

）A.為偶函數(shù)

B.的最大值是

C.在上是單調(diào)減函數(shù),在上是單調(diào)增函數(shù)D.關(guān)于x=1是對(duì)稱的

參考答案：D略8.在四面體中，已知, 該四面體的其余五條棱的長度均為2，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）棱長的取值范圍是：

該四面體一定滿足：

當(dāng)時(shí)，該四面體的表面積最大

當(dāng)時(shí)，該四面體的體積最大參考答案：D略9.正方體ABCD—的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．2

B．3

C.4

D.5

參考答案：C10.三位同學(xué)獨(dú)立地做一道數(shù)學(xué)題，他們做出的概率分別為、、，則能夠?qū)⒋祟}解答出的概率為（）A、0.25B、0.5C、0.6D、0.75參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓O：，圓O1：（、為常數(shù)，）對(duì)于以下命題，其中正確的有_______________．①時(shí)，兩圓上任意兩點(diǎn)距離②時(shí)，兩圓上任意兩點(diǎn)距離③時(shí)，對(duì)于任意，存在定直線與兩圓都相交④時(shí)，對(duì)于任意，存在定直線與兩圓都相交參考答案：②③12.已知函數(shù)y=loga（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)是．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由loga1=0，知x+3=1，求出x，y，由此能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：∵loga1=0，∴x+3=1，即x=﹣2時(shí)，y=﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和特殊點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．13.《九章算術(shù)》是我國古代一部重要的數(shù)學(xué)著作，書中給出了如下問題：“今有良馬與駑馬發(fā)長安，至齊，齊去長安一千一百二十五里．良馬初日行一百零三里，日增一十三里．駑馬初日行九十七里，日減半里．良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，問幾何日相逢？”其大意為：“現(xiàn)有良馬和駑馬同時(shí)從長安出發(fā)到齊去，已知長安和齊的距離是1125里．良馬第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．駑馬第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良馬到齊后，立刻返回去迎駑馬，多少天后兩馬相遇？”在這個(gè)問題中兩馬從出發(fā)到相遇的天數(shù)為

．參考答案：9【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】利用等差數(shù)列的求和公式與不等式的解法即可得出．【解答】解：由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1=103，d=13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；設(shè)第m天相逢，則a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化為m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案為：914.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，求出直線AF的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)A的坐標(biāo)，由此可求△AKF的面積【解答】解：由題意，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1∵∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∴∴直線AF的方程為：代入拋物線方程可得：3（x﹣1）2=4x∴3x2﹣10x+3=0∴x=3或∵∠AFO=120°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），∴A（3）∴△AKF的面積是故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題以拋物線的性質(zhì)為載體，考查三角形面積的計(jì)算，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．15.拋物線C：y2=4x的交點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，p為拋物線C上一點(diǎn)，且P在第一象限，PM⊥l交C于點(diǎn)M，線段MF為拋物線C交于點(diǎn)N，若PF的斜率為，則=．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐標(biāo)，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），過N作l的垂線，垂足為Q，則|NF|=|NQ|，∵PF的斜率為，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案為：．16.計(jì)算：

．參考答案：11

17.參考答案：7略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某地為了調(diào)查市民對(duì)“一帶一路”倡議的了解程度，隨機(jī)選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進(jìn)行問卷調(diào)查，并通過問卷的分?jǐn)?shù)把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類.得到下表：年齡調(diào)查人數(shù)/名30302515了解“一帶一路”倡議/名1228155

（I）完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)“一帶一路”倡議的了解有差異（結(jié)果精確到0.001）；

年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計(jì)了解

不了解

合計(jì)

（Ⅱ）以頻率估計(jì)概率，若在該地選出4名市民（年齡在20歲至60歲），記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差.附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

，其中.參考答案：（Ⅰ）填表見解析，有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)“一帶一路”倡議的了解有差異（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）由表格讀取信息，年齡低于歲的人數(shù)共60人，年齡不低于歲的人數(shù)，代入公式計(jì)算；（Ⅱ）在總體未知的市民中選取4人，每位市民被選中的概率由頻率估計(jì)概率算出，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.【詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表

年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計(jì)了解不了解合計(jì)

故有的把握認(rèn)為以歲為分界點(diǎn)“一帶一路”倡議的了解有差異.（Ⅱ）由題意，得市民了解“一帶一路”倡議的概率為，.，，，，，則的分布列為

，.【點(diǎn)睛】本題要注意選取4人是在總體中選，而不是在100人的樣本中選，如果看成是在樣本中100人選4人，很容易誤用超幾何分布模型求解.19.如圖，四棱錐S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求證：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M為棱SA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面SBC．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．【分析】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直以及線段的垂直平分線的性質(zhì)證明即可；（Ⅱ）由線線平行面面平行從而推出線面平行即可．【解答】證明：如圖示：（Ⅰ）設(shè)BD中點(diǎn)為O，連接OC，OE，則由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分線，所以SB=SD，（Ⅱ）取AB中點(diǎn)N，連接DM，MN，DN，∵M(jìn)是SA的中點(diǎn)，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．

20.（14分）如圖，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱錐A﹣CDE的體積；（Ⅲ）線段EF上是否存在一點(diǎn)M，使得BM⊥CE？若存在，確定M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】（I）如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接CN，可得四邊形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，可得AC⊥CB，利用AF⊥平面ABCD，AF∥BE，可得BE⊥平面ABCD，即可證明．（II）利用V三棱錐A﹣CDE=V三棱錐E﹣ACD=即可得出．（III）線段EF上存在一點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，使得BM⊥CE．連接MN，BM，EN，則四邊形BEMN為正方形，可得BM⊥EN，利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得：CN⊥平面ABEF，可得CN⊥BM，又BM⊥CE．即可證明BM⊥平面CEN．【解答】（I）證明：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接CN，則四邊形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，∴AC⊥CB，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．（II）解：V三棱錐A﹣CDE=V三棱錐E﹣ACD===．（III）解：線段EF上存在一點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，使得BM⊥CE．連接MN，BM，EN，則四邊形BEMN為正方形，∴BM⊥EN，∵CN⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴CN⊥平面ABEF，∴CN⊥BM，又CN∩EN=N，∴BM⊥平面CEN，∴BM⊥CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、正方形的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.現(xiàn)將一根長為180cm的木條制造成一個(gè)長方體形狀的木質(zhì)框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？參考答案：解：設(shè)長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為.----------2分故長方體的體積為，而

-----------4分令，解得x=0（舍去）或，因此x=1.

-----------6分當(dāng)0＜x＜10時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

-----------8分故在x=10處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值。

-----------10分從而最大體積（cm3），此時(shí)長方體的長為20cm，高為15cm.答：當(dāng)長方體的長為20cm時(shí)，寬為10cm，高為15cm時(shí)，體積最大，最大體積為3000cm3。-----------12分22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線