遼寧省沈陽市市第一〇四高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

遼寧省沈陽市市第一〇四高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.平面向量與的夾角為60°，,則等于

(

)

A． B． C．4 D．12參考答案：B略2.若則的大小關(guān)系為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.設(shè)的定義域?yàn)?，若滿足下面兩個(gè)條件則稱為閉函數(shù)：①是上單調(diào)函數(shù)；②存在，使在上值域?yàn)?現(xiàn)已知為閉函數(shù)，則的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A4.已知集合，，則是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.函數(shù)的圖像大致是（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=m﹣1+（m+1）i，（其中m∈R）是純虛數(shù)，則m=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接由實(shí)部為0且虛部不為0求得m的值．【解答】解：∵數(shù)z=m﹣1+（m+1）i，（其中m∈R）是純虛數(shù)，∴，即m=1．故選：B．7.已知正數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的最小值是（

）A. B.2 C.4 D.8參考答案：B【分析】畫出可行域，計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，表示原點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方，由圖可知，原點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離是原點(diǎn)到直線的距離，其平方為2.故的最小值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性可行域的畫法，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.9.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：甲：；乙：函數(shù)在上是減函數(shù)；丙：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；?。喝?，則關(guān)于的方程在上所有根之和為，其中正確的是A．甲、乙、丁

B．乙、丙

C．甲、乙、丙

D．甲、丙參考答案：A由，得，所以周期是8.所以，所以甲正確.當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在也是增函數(shù)，由，所以關(guān)于直線對(duì)稱，所以丙不正確，所以在上函數(shù)遞減，在上函數(shù)遞增，所以乙不正確.由于函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且周期是8，所以函數(shù)也關(guān)于直線對(duì)稱.由圖象可知的根有四個(gè)，兩個(gè)關(guān)于直線對(duì)稱，另外兩個(gè)根關(guān)于對(duì)稱，所以所有根之和為，丁正確，所以答案選A.10.設(shè)函數(shù)，將y＝f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于

()A.

B．3

C．6

D．9參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知________.參考答案：212.已知變量滿足約束條件若取整數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是

.

參考答案：5

略13.在中，若，則的形狀一定是

參考答案：略14.某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到

（保留三位小數(shù)），所以判定

（填“有”或“沒有”）的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系.參考答案：，有15.若雙曲線－=1的漸近線與圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：216.已知，則BC=___________參考答案：略17.若向量，滿足，，且，的夾角為，則．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.電子商務(wù)在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物成為很多人的選擇．某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動(dòng)，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級(jí)口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供你選擇（其中有一種為草莓口味）．小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁一看，只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見具體口味，由購買者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇．（各種口味的高級(jí)口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點(diǎn)擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動(dòng)補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖．）（1）小王花10元錢買三瓶，請(qǐng)問小王共有多少種不同組合選擇方式？（2）小王花10元錢買三瓶，由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶，請(qǐng)列出有小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列；計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）若8種口味均不一樣，有種，若其中兩瓶口味一樣，有種，若三瓶口味一樣，有8種．由此能求出小王共有多少種選擇方式．（2）由已知得，由此能求出小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．【解答】（本題滿分12分）解：（1）若8種口味均不一樣，有=56種，若其中兩瓶口味一樣，有=56種，若三瓶口味一樣，有8種．所以小王共有56+56+8=120種選擇方式．…（5分）（2）ξ的取值為0，1，2，3．由于各種口味的高級(jí)口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，有8種不同口味，所以小王隨機(jī)點(diǎn)擊一次獲得草莓味口香糖的概率均為，…（7分）故隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，即，，，，，∴ξ的分布列為ξ0123P…（10分）其數(shù)學(xué)期望，方差．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，要認(rèn)真審題，要將題目中的關(guān)系讀懂，是中檔題．19.己知橢圓C：=1，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)M滿足（λ＞1，λ是常數(shù)）．當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M形成的曲線為Cλ．（I）求曲線Cλ的軌跡方程；（II）直線l是橢圓C在點(diǎn)P處的切線，與曲線Cλ的交點(diǎn)為A，B兩點(diǎn)，探究△OAB的面積是否為定值．若是，求△OAB的面積，若不是，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），由點(diǎn)P在橢圓C上得曲線Cλ的軌跡方程為．（Ⅱ）由△=0，得過點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為，設(shè)切點(diǎn)A（x2，y2），B（x3，y3）聯(lián)立，結(jié)合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0，可得|AB|=×|x3﹣x4|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d=，△OAB的面積s=|AB|×d=×=2（定值）【解答】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）由于點(diǎn)P在橢圓C上，得，即曲線Cλ的軌跡是橢圓，標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）①當(dāng)過點(diǎn)P（x1，y1）切線的斜率存在時(shí)，設(shè)該切線的方程為y﹣y1=k（x﹣x1），即y=kx+（y1﹣kx1）聯(lián)立y=kx+（y1﹣kx1）、橢圓C：=1得（）x2+2k（y1﹣kx1）x+=0，由△=0，得1+4k2=[（y1﹣kx1）2，的k=﹣．此時(shí)過點(diǎn)A（x1，y1）的切線方程為過點(diǎn)P切線的斜率不存在時(shí)，切點(diǎn)為（±2，0），方程為x=±2，符合方程為．∴過點(diǎn)P的切線方程為．設(shè)切點(diǎn)A（x2，y2），B（x3，y3）聯(lián)立，結(jié)合得4x2﹣8x1x+16﹣16=0∴|AB|=×|x3﹣x4|=．原點(diǎn)O到直線AB的距離d=∴△OAB的面積s=|AB|×d=×=2（定值）故△OAB的面積是定值220.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，取相同的長(zhǎng)度單位，若曲線C1的極坐標(biāo)方程為，曲線C2的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)P是曲線C1上任一點(diǎn)，Q是曲線C2上任一點(diǎn).(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)已知直線，點(diǎn)P在曲線C2上，求點(diǎn)P到l的距離的最大值.參考答案：（1）的直角坐標(biāo)方程為，的普通方程為由，得或又，所以與的交點(diǎn)極坐標(biāo)為與（2）圓的圓心到直線的距離為，圓半徑為2所以點(diǎn)到的距離的最大值為.

21.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）（y≥0）到定點(diǎn)F（0，1）的距離比它到x軸的距離大1，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)圓M過A（0，2），且圓心M在曲線C上，EG是圓M在x軸上截得的弦，試探究當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|EG|是否為定值？為什么？參考答案：【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；軌跡方程．【分析】（Ⅰ）由題意知，P的軌跡滿足拋物線的定義，故可求出拋物線的焦點(diǎn)，繼而求出拋物線方程．（Ⅱ）待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，設(shè)出圓與x軸的兩個(gè)焦點(diǎn)E，G的坐標(biāo)，再根據(jù)圓心在拋物線上，將圓心坐標(biāo)代入拋物線，兩個(gè)式子聯(lián)立可求出x1﹣x2是否為定值．【解答】解：（Ⅰ）依題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，1）的距離等于P到直線y=﹣1的距離，曲線C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)（0，1）為焦點(diǎn)的拋物線∵∴p=2∴曲線C方程是x2=4y（Ⅱ）設(shè)圓的圓心為M（a，b），∵圓M過A（0，2），∴圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2令y=0得：x2﹣2ax+4b﹣4=0設(shè)圓與x軸的兩交點(diǎn)分別為（x1，0），（x2，0）不妨設(shè)x1＞x2，由求根公式得，∴又∵點(diǎn)M（a，b）在拋物線x2=4y上，∴a2=4b，∴，即|EG|=4∴當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|EG|為定值4已知函數(shù)22.y=