北京北外附屬外國(guó)語學(xué)校高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

北京北外附屬外國(guó)語學(xué)校高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.右邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《數(shù)書九章》，稱為“秦九韶算法”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入，則輸出的（

）

A．26

B．48

C．57

D．64參考答案：A考點(diǎn)：算法流程圖及識(shí)讀．2.下列有關(guān)命題的說法正確的是（

）A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”；B．“”是“”的必要不充分條件；C．命題“存在使得”的否定是：“對(duì)任意均有”；D．命題“若，則”的逆否命題為真命題．參考答案：DA．命題“若，則”的否命題為：“若，則”；B．“”是“”的充分不必要條件；C．命題“存在使得”的否定是：“對(duì)任意均有”；D．因?yàn)槊}“若，則”為真，所以它的的逆否命題為真命題，因此正確的命題只有選項(xiàng)D。3.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C4.若函數(shù)f（x）=ax2+bx+1是定義在[﹣1﹣a，2a]上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為（）A．5 B．4 C．3 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=ax2+bx+1是定義在[﹣1﹣a，2a]上的偶函數(shù)，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函數(shù)為：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函數(shù)的最大值為：5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最大值的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力．5.2010年，我國(guó)南方省市遭遇旱澇災(zāi)害，為防洪抗旱，某地區(qū)大面積植樹造林，如圖，在區(qū)域內(nèi)植樹，第一棵樹在點(diǎn)，第二棵樹在點(diǎn)，第三棵樹在點(diǎn)，第四棵樹在點(diǎn)，接著按圖中箭頭方向，每隔一個(gè)單位種一顆樹，那么，第2014棵樹所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A.(9,44)

B.(10,44)

C.(10.43)

D.(11,43)參考答案：B6.如右圖，三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱底面

，正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖為一個(gè)等邊三角形，則該三棱柱的側(cè)視圖的面積為

A.

B.

C4

D．

參考答案：B略7.下列命題正確的個(gè)數(shù)是

①命題“”的否定是“”；

②“函數(shù)的最小正周期為”是“”的必要不充分條件；

③在上恒成立在上恒成立；

④“平面向量與的夾角是鈍角”的充分必要條件是“”.A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B8.“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．即可判斷出結(jié)論．【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要條件．故選：B．9.某物體是空心的幾體體，其三視圖均為右圖，則其體積為（

）

A．8

B．

C．

D．參考答案：D該物體是一個(gè)正方體挖掉了其內(nèi)切球，故為D選項(xiàng)。10.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則=A

B

C

D參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x，x∈R，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是．參考答案：[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣1+cos2x=2（sin2x+cos2x）﹣1=2sin（2x+）﹣1．由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．故答案為：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．12.已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面展開是半圓，則該圓錐的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】半徑為2的半圓的弧長(zhǎng)是2π，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，因而圓錐的底面周長(zhǎng)是2π，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算底面半徑后利用勾股定理求圓錐的高即可求解圓錐的體積．【解答】解：一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，它的側(cè)面展開圖為半圓，圓的弧長(zhǎng)為：2π，即圓錐的底面周長(zhǎng)為：2π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則得到2πr=2π，解得：r=1，這個(gè)圓錐的底面半徑是1，∴圓錐的高為h==．所以圓錐的體積為：V=πr2h=，故答案為：．13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，∠B=2∠A，cosA=，則sinA=，b=．參考答案：解：∵cosA=，A為三角形內(nèi)角，∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得：=，可得：b===2．故答案為：，2考點(diǎn)：正弦定理；二倍角的余弦．專題：計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值；解三角形．分析：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，由二倍角公式可求sinB，利用正弦定理即可求b的值．解答：解：∵cosA=，A為三角形內(nèi)角，∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得：=，可得：b===2．故答案為：，2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.函數(shù)為偶函數(shù)且為減函數(shù)在上，則a的范圍為___________________參考答案：a且a為偶數(shù)為減函數(shù)

a 為偶函數(shù)

a為偶數(shù)類似的，若為奇函數(shù)，減函數(shù)在上，求范圍解析：為減函數(shù)

為奇函數(shù)

為奇數(shù)注意；冪函數(shù)的定義性質(zhì)必須弄懂15.已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（正視圖弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是cm3．參考答案：8+π考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專題：計(jì)算題．分析：三視圖復(fù)原幾何體是一個(gè)組合體，上部是圓柱的一半，下部是正方體，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的體積．解答：解：三視圖復(fù)原幾何體是一個(gè)組合體，上部是圓柱的一半，底面是一個(gè)半圓，半徑為1，高為2的半圓柱；下部是正方體，棱長(zhǎng)為2，；正方體體積是：8；半圓柱的體積為：π；所以組合體的體積：8+π；故答案為8+π．點(diǎn)評(píng)：本題考查由三視圖求組合體的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．16.如果：=1+mi（mR，i是虛數(shù)單位），那么m=

．參考答案：1略17.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績(jī)由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成．將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個(gè)等級(jí)．參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布．（Ⅰ）求物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間(47,86)的人數(shù)；（Ⅱ）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（附：若隨機(jī)變量，則，，）參考答案：（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）見解析。【分析】（Ⅰ）根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，可將區(qū)間分為和兩種情況，然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率，進(jìn)而可求出相應(yīng)的人數(shù)；（Ⅱ）由題意得成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]的概率為，且，由此可得的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】（Ⅰ）因?yàn)槲锢碓汲煽?jī)，所以．所以物理原始成績(jī)?cè)冢?7，86）的人數(shù)為（人）．（Ⅱ）由題意得，隨機(jī)抽取1人，其成績(jī)?cè)趨^(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為．所以隨機(jī)抽取三人，則的所有可能取值為0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列為0123

所以數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)睛】（1）解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個(gè)特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間，再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解，解題時(shí)注意結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性．（2）解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，然后可得分布列及其數(shù)學(xué)期望．當(dāng)被抽取的總體的容量較大時(shí)，抽樣可認(rèn)為是等可能的，進(jìn)而可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布．19.（13分）已知函數(shù)f（x）=ex．（Ⅰ）過原點(diǎn)作曲線y=f（x）的切線，求切線的方程；（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】（I）先求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率即可；（II）由f（x）=mx2，令h（x）=（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)切線方程為y=kx，切點(diǎn)為（x0，y0），則，∴x0=1，k=e，∴函數(shù)y=f（x）的圖象過原點(diǎn)的切線方程為y=ex；（Ⅱ）當(dāng)x＞0，m＞0時(shí)，令f（x）=mx2，化為m=，令h（x）=（x＞0），則h′（x）=，則x∈（0，2）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=2時(shí)，h（x）取得極小值即最小值，h（2）=．∴當(dāng)m∈（0，）時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)m=時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)m＞時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m＞0）公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線、單調(diào)性、方程的根的個(gè)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分類討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．20.已知橢圓E：+=1（a＞）的離心率e=，右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)A（，0）的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，求證：M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線；（3）當(dāng)△FPQ面積最大時(shí)，求直線PQ的方程．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由橢圓的離心率公式，計(jì)算可得a與c的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣3），聯(lián)立直線與橢圓的方程可得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系的分析求出、的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法，分析可得證明；（3）設(shè)直線PQ的方程為x=my+3，聯(lián)立直線與橢圓的方程，分析有（m2+3）y2+6my+3=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析用y1．y2表示出△FPQ的面積，分析可得答案．【解答】解：（1）由，c=ea=×=2，則b2=a2﹣c2=2，∴橢圓E的方程是．（2）證明：由（1）可得A（3，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣3），由方程組，得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，依題意△=12（2﹣3k2）＞0，得．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，∵，由（2﹣x1）y2﹣（x2﹣2）y1=（2﹣x1）?k（x2﹣3）﹣（x2﹣2）?k（x1﹣3）=，得，∴M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線．（3）設(shè)直線PQ的方程為x=my+3．由方程組，得（m2+3）y2+6my+3=0，依題意△=36m2﹣12（m2+3）＞0，得．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則．∴=，令t=m2+3，則，∴，即時(shí)，S△FPQ最大，∴S△FPQ最大時(shí)直線PQ的方程為．21.已知函數(shù).（1）求的值及f(x)的最小正周期；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的最大值.參考答案：（1）1；π；（2）.【分析】（1）由函數(shù)的解析式求解的值即可，整理函數(shù)的解析式為的形式，然后由最小正周期公式確定函數(shù)的最小正周期即可；（2）由(1)中函數(shù)的解析式可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．據(jù)此結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）由已知.因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為．（2）由得，.所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，．當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.22.已知函數(shù)f(x)＝xm+ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x+1，,點(diǎn)An(n,Sn)在函數(shù)y=f(x)(n