第01講 二次根式與二次根式的性質(zhì)（1）（解析版）

第01講二次根式與二次根式的性質(zhì)（1）1.1-1.2（1）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由.2、理解并掌握下列結(jié)論：≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．【基礎(chǔ)知識】1、二次根式的概念概括二次根式的定義：像這樣表示的算術(shù)平方根，且根號內(nèi)含字母的代數(shù)式叫做二次根式。為了方便起見，我們把一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根（如，）也叫做二次根式。2、概念深化：提問：，是不是二次根式？呢？議一議：二次根式表示什么意義？此算術(shù)平方根的被開方數(shù)是什么？被開方數(shù)必須滿足什么條件的二次根式才有意義？其中字母a需滿足什么條件？為什么？③總結(jié)：強(qiáng)調(diào)二次根式根號內(nèi)字母的取值范圍必須滿足被開方數(shù)大于或等于零。交流歸納，總結(jié)：二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)是—被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時(shí)，要保證分母不為零。注意：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同.【知識梳理】一個(gè)概念:二次根式兩類題型:1.求代數(shù)式所含字母的取值范圍2.求二次根式的值三點(diǎn)注意:1.二次根式的雙重非負(fù)性2.分母不能為03.轉(zhuǎn)化思想3、二次根式的性質(zhì)

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

要點(diǎn)：

1.二次根式(a≥0)的值是非負(fù)數(shù)。一個(gè)非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的形式，即.2.與要注意區(qū)別與聯(lián)系：1).的取值范圍不同，中≥0，中為任意值。2).≥0時(shí)，==；<0時(shí)，無意義，=.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)1：二次根式的概念例1．下列各式中，，一定是二次根式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式定義：一般地，我們把形如(ａ≥0)的式子叫做二次根式，逐一進(jìn)行分析判斷即可．，-符合二次根式的定義；不符合二次根式的定義；被開方數(shù)-7<0，不符合二次根式的定義；無論x取何值，x≥0，所以是二次根式．綜上所述，一定是二次根式的有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，二次根式的指數(shù)為2．例2．下列式子一定是二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，據(jù)此解題．解：，當(dāng)時(shí)，二次根式無意義，故A不正確；，當(dāng)時(shí)，二次根式無意義，故B不正確；，當(dāng)時(shí)，二次根式無意義，故C不正確；，恒成立，則一定是二次根式，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的定義，涉及二次根式有意義的條件，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．例3．下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，進(jìn)行逐一判斷即可解：①是二次根式，符合題意；②不是二次根式，不符合題意；③不是二次根式，不符合題意；④（x≤3）是二次根式，符合題意；⑤不一定是二次根式，不符合題意；⑥不是二次根式，不符合題意；⑦（ab≥0）是二次根式，符合題意，∴二次根式一共有3個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．例4．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的定義逐一進(jìn)行判斷即可.解：在①是三次根式；②當(dāng)b<0時(shí)不滿足題意；③中滿足題意；④中>0符合題意；⑤中符合題意，所以一定是二次根式的有③④⑤，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，正確理解二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)2：二次根式有意義的條件1-求字母范圍例5．若有意義，則的取值范圍是（

）A．≤ B．≥ C．﹥0 D．<-1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解．解：由題意可得：3x-1≥0，解得：x≥，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）是解題關(guān)鍵．例6．使二次根式有意義的x的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，列不等式求解即可．解：由題意得：3+2x≥0，解得：．故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方式大于等于零．例7．下列各式一定有意義的共有（

）個(gè)．①；②；③；④；⑤；⑥．A．0 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義，被開方數(shù)非負(fù)數(shù)對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解．解：①3＞0，故一定有意義；②-3＜0，故無意義；③＞0，故一定有意義；④＞0，故一定有意義；⑤不一定大于等于0，故不一定有意義；⑥＞0，故一定有意義．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．例8．使代數(shù)式有意義的整數(shù)x有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【解析】分析：根據(jù)組合代數(shù)式有意義的條件，分別根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式求解即可.詳解：根據(jù)題意可得：x+3＞0，3-3x≥0聯(lián)立不等式組求解可得-3＜x≤1，所以使代數(shù)式有意義的整數(shù)有-2，-1，0，1.共有4個(gè).故選B.點(diǎn)睛：此題主要考查了代數(shù)式有意義的條件，關(guān)鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式（組）求解，是常考題型，比較簡單.例9．當(dāng)x_____時(shí)，有意義；當(dāng)x_______時(shí)，有意義．【答案】

【解析】【分析】二次根式有意義：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義：分母不為零；根據(jù)分式與二次根式有意義列不等式，再解不等式從而可得答案.解：由有意義，可得：＞＜由有意義，可得：＞＞故答案為：＜＞【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)與分母不為零是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)3：二次根式有意義的條件2-二次根式有意義的條件的逆用例10．以下二次根式中，未知數(shù)取任意實(shí)數(shù)都有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件,逐項(xiàng)分析計(jì)算得出答案．A.當(dāng)時(shí)，，二次根式無意義，A選項(xiàng)不符合題意；B.當(dāng)時(shí)，，二次根式無意義，B選項(xiàng)不符合題意；C.當(dāng)時(shí)，，二次根式無意義，C選項(xiàng)不符合題意；D.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，，D選項(xiàng)符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，注意題干中“任意實(shí)數(shù)都有意義”，掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．例11．已知y＝1＋＋，則2x＋3y的算術(shù)平方根為_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性求出，代入計(jì)算得到，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答．解：∵，∴，∴，∴，∴2x＋3y的算術(shù)平方根為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的非負(fù)性，算術(shù)平方根的定義，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：二次根式的性質(zhì)題型1-數(shù)字型例12．的值等于（

）A．21 B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)：，求解即可．解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟知二次根式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例13．下列各式中，運(yùn)算正確的是（）A．2 B．±3 C．＝﹣3 D．（）2＝9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和立方根的意義計(jì)算各項(xiàng)即可得到答案．解：A.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.±3，故此選項(xiàng)正確，符合題意；C.≠﹣3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.（）2＝3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和立方根的意義，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和立方根的意義是解答本題的關(guān)鍵．例14．下列運(yùn)算中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求解．A、，故選項(xiàng)A不正確；B、，故選項(xiàng)B不正確；C、，故選項(xiàng)C不正確；D、，故選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：二次根式的性質(zhì)題型2-字母型及復(fù)合型例15．若等式，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．解：∵等式成立，∴a≥0．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．例16．化簡：=__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．例17．若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．x<【答案】C【解析】【分析】由題意利用二次根式的性質(zhì)，進(jìn)而去絕對值討論即可得出x的取值范圍.解：∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．例18．下列各式中，正確的數(shù)有幾個(gè)（

）①=，②=a，③=，④=x-2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法及要求，可進(jìn)行正確的計(jì)算并判斷．解：①=，故正確；②，故錯(cuò)誤；③=，故正確；④，故錯(cuò)誤；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡．二次根式規(guī)律總結(jié)：當(dāng)a≥0時(shí)，=a，當(dāng)a＜0時(shí)，=-a．考點(diǎn)6：根據(jù)參數(shù)范圍和二次根式性質(zhì)化簡二次根式例19．當(dāng)時(shí)，化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先確定是正是負(fù)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．解：，當(dāng)時(shí)，，而，所以．原式＝，故答案選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和分式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是判斷的正負(fù)，再根據(jù)二次根式和絕對值的性質(zhì)熟練進(jìn)行化簡．例20．實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式，結(jié)果為（）A．2a B．2b C．﹣2a D．2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)a、b在數(shù)軸上的位置，即可推出，，，由此進(jìn)行求解即可．解：由數(shù)軸得：，，∵，∴∴，，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸判定式子的符號，無理數(shù)故值，化簡絕對值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．例21．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（）A．7 B．-7 C． D．無法確定【答案】A【解析】【分析】由數(shù)軸可得5＜a＜10，然后確定a-4和a-11的正負(fù)，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡計(jì)算即可．解：由數(shù)軸可得5＜a＜10∴a-4＞0，a-11＜0∴=a-4-（a-11）=7．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，掌握并靈活應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．例22．如圖，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果為______________【答案】a【解析】【分析】利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到a＜b＜0＜c，|b|＞c，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到原式=|b|-|b+c|-|c-a|，然后去絕對值后合并即可．解：由數(shù)軸得a＜b＜0＜c，|b|＞c，∴b+c＜0，c-a＞0，原式=|b|-|b+c|-|c-a|=-b+（b+c）-（c-a）=-b+b+c-c+a=a．故答案為：a．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式例23．已知m是的小數(shù)部分，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算求出的范圍，從而得到m值，再將所求式子變形，將m值代入計(jì)算即可．解：∵是的小數(shù)部分，且，∴m=，0＜m＜1，∴====故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡求值，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)．例24．若a、b、c為三角形的三條邊，則+|b-a-c|=(

).A．2b-2c B．2a C．2 D．2a-2c【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，，再利用算術(shù)平方根和絕對值非負(fù)性進(jìn)行化簡即可解答.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，∴∴故選B【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)涉及三角形的三邊關(guān)系，算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)性以及化簡，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)8：復(fù)雜的復(fù)合型二次根式化簡例25．若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＜b＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】D【解析】【分析】先分別化簡各數(shù)，然后再進(jìn)行比較即可．解：a=2021×2022-20212=2021×（2022-2021）=2021，b=1013×1008﹣1012×1007=（1012+1）（1007+1）-1012×1007=1012×1007+1012+1007+1-1012×1007=1012+1007+1=2020，c====，∴2020<c<2021，∴b<c<a，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，實(shí)數(shù)的大小比較，準(zhǔn)確化簡各數(shù)是解題的關(guān)鍵．例26．設(shè)為正整數(shù)，，，，，…，….，已知，則(

).A．1806 B．2005 C．3612 D．4011【答案】A【解析】【分析】利用多項(xiàng)式的乘法把各數(shù)開方進(jìn)行計(jì)算，然后求出A1，A2，A3的值，從而找出規(guī)律并寫出規(guī)律表達(dá)式，再把k=100代入進(jìn)行計(jì)算即可求解.∵(n+3)(n-1)+4=n2+2n-3+4=n2+2n+1=(n+1)2，∴A1=∵(n+5)A1+4=(n+5)(n+1)+4=n2+6n+5+4=n2+6n+9=(n+3)2，∴A2=∵(n+7)A2+4=(n+7)(n+3)+4=n2+10n+21+4=n2+10n+25=(n+5)2，∴A3=??依此類推，Ak=n+(2k-1)∴A100=n+(2×100-1)=2005解得，n=1806.故選A.【點(diǎn)睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，對被開方數(shù)整理，求出A1，A2，A3，從而找出規(guī)律寫出規(guī)律的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.【真題演練】一、單選題1．（2022·湖北黃石·中考真題）函數(shù)的自變量x的取值范圍是（

）A．且 B．且 C． D．且【答案】B【分析】直接利用二次根式有意義的條件、分式有意義的條件分析得出答案．【解析】解：依題意，∴且故選B【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)自變量的取值范圍，正確掌握二次根式與分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．2．（2021·河北·中考真題）與結(jié)果相同的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算和二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【解析】∵，且選項(xiàng)B、C、D的運(yùn)算結(jié)果分別為：4、6、0故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式、有理數(shù)運(yùn)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算的性質(zhì)，即可得到答案．3．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件可得結(jié)果．【解析】解：由題意得：，，解得：且，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件以及分式有意義的條件，熟知根號下為非負(fù)數(shù)以及分母不為零是解題的關(guān)鍵．4．（2019·湖北恩施·中考真題）函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)分式及二次根式有意義的條件解答即可.【解析】∵有意義，∴x+1≠0，2-3x≥0，解得：且，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查分式及二次根式有意義的條件，要使分式有意義，分母不為0；要使二次根式有意義，被開方數(shù)大于等于0.二、填空題5．（2022·山東菏澤·中考真題）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．【答案】x>3【分析】根據(jù)分式有意義條件和二次根式有意義的條件得x-3>0，求解即可．【解析】解：由題意，得所以x-3>0，解得：x>3，故答案為：x>3．【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義條件和二次根式有意義的條件，熟練掌握分式有意義條件：分母不等于0，二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是___________．【答案】且【分析】根據(jù)二次根式與分式有意義的條件求解即可．【解析】解：由題意得：x+1≥0，且x≠0，解得：且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式與分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；分式有意義的條件：分母不等于零是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．給出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷．【解析】解：①∵，∴是二次根式；②6不是二次根式；②∵，∴不是二次根式；④∵，∴，∴是二次根式；⑤∵，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的定義，解題時(shí)，要注意：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式．2．使三個(gè)式子都有意義的x的取值范圍是（

）A．x＞0 B．x≥0且x≠3 C．x＞0且x≠3 D．﹣1≤x＜0【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、分式及零指數(shù)冪的意義，分別求出每個(gè)式子中x的取值范圍，再求出它們的公共部分即可．【解析】解：解不等式組，得x＞0且x≠3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；分式有意義，分母不為0；（a≠0）．3．已知下列各式：，，，，，其中二次根式有（

）個(gè)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的根指數(shù)是2且被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，解答即可．【解析】解：中當(dāng)x<3時(shí)，被開方數(shù)小于0，不是二次根式；，，，是二次根式，共有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的定義，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．注意，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．4．若二次根式有意義，且是一個(gè)完全平方式，則滿足條件的值為（）A． B． C．12 D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式有意義，可得的取值范圍，根據(jù)完全平方公式即可求解．【解析】解：二次根式有意義，∴，即，又∵是一個(gè)完全平方式，即或，∴或，∴或，且，故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義，完全平方公式的綜合應(yīng)用，掌握二次根式有意義的條件，完全平方公式的中一次項(xiàng)系數(shù)的確定方法是解題的關(guān)鍵.5．計(jì)算的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用即可求解．【解析】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．6．當(dāng)時(shí)，的化簡結(jié)果（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【解析】解：∵有意義，∴，∵，∴，∴，∴，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)，．7．若，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵，∴，∴，解得，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握是解答本題的關(guān)鍵．8．若、為實(shí)數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分母不等于零，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得答案．【解析】解：由題意，得，，，解得，當(dāng)時(shí)，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，分式有意義的條件．利用被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)及分母不為零得出的值是解題關(guān)鍵．9．把式子根號外的移到根號內(nèi)，所得結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，按照二次根式的性質(zhì)，求解即可．【解析】解：由題意可得：，則則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的有關(guān)性質(zhì)．10．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（）．A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置判斷出及的符號，再把原式進(jìn)行化簡即可．【解析】解：∵由圖可知：，∴，，∴原式，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，先根據(jù)題意得出a的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．11．若，，則的值是（

）A． B．－2 C．±2 D．【答案】A【分析】利用完全平方公式的變形公式，即可算出的值，根據(jù)來判斷與的大小，即可算出答案．【解析】解：∵∴又∵∴又∵∴∴即故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式的變形式以及二次根式的化簡運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟悉完全平方公式與二次根式的化簡時(shí)注意正負(fù)值．12．，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用因式分解和平方差公式和完全平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算即可．【解析】解：，，，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的混合運(yùn)算，會利用平方差公式和完全平方公式簡便運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．二、填空題13．若有意義，則x的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可得解．【解析】解：由題意得，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．14．化簡：__________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，由此判斷即可．【解析】解：根據(jù)題意可得，則，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷出．15．填空：（1）___________，___________，___________，___________．（2）數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則___________．【答案】

1

3

##

4

【分析】（1）根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡即可；（2）根據(jù)點(diǎn)a在數(shù)軸上的位置關(guān)系得出，然后根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【解析】解：（1）；；；；故答案為：1；3；；4．（2）根據(jù)數(shù)a在數(shù)軸上的位置可知，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，用數(shù)軸上的數(shù)表示有理數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練二次根式的性質(zhì)．16．若是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)n的值為_____．【答案】6【分析】把24分解因數(shù)，分解出平方數(shù)，再根據(jù)二次根式的定義判斷出n的最小值即可．【解析】解：，∵是整數(shù)，∴滿足條件的最小正整數(shù)．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的定義，熟練把24分解成平方數(shù)與另一個(gè)數(shù)相乘的形式是解題的關(guān)鍵．17．已知，化簡二次根式的結(jié)果是______．【答案】【分析】二次根式有意義，，結(jié)合已知條件得，化簡即可得出最簡形式．【解析】解：根據(jù)題意，，得和同號，又中，，，，則原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】主要考查了二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握開平方的結(jié)果為非負(fù)數(shù)．18．若兩不等實(shí)數(shù)a，b滿足，，則的值為_____．【答案】4【分析】根據(jù)平方差公式以及完全平方公式可求出和，然后代入原式即可求出答案．【解析】∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵∴∴原式＝．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是，本題屬于基礎(chǔ)題型．19．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡_____．【答案】##【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置，求得，，，進(jìn)而化簡二次根式即可求解．【解析】解：根據(jù)數(shù)軸可得，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)數(shù)軸判斷式子的符號，二次根式的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．20．化簡：______．【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式，得出，根據(jù)的取值范圍得出，化簡絕對值即可求解．【解析】解：；∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？．【答案】是二次根式；不是二次根式【分析】根據(jù)二次根式的定義（形如的式子叫做二次根式）逐個(gè)判斷即可得．【解析】解：都是二次根式，因?yàn)?，所以是二次根式，是三次根式，不是二次根式，的被開方數(shù)為，不是二次根式，綜上，是二次根式；不是二次根式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式，熟記定義是解題關(guān)鍵．22．求下列二次根式中字母的取值范圍．(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)為全體實(shí)數(shù)【分析】（1）直接利用二次根式的定義得出的取值范圍；（2）直接利用二次根式的定義、分式有意義的條件分析得出的取值范圍；（3）直接利用二次根式的定義得出的取值范圍；（4）直接利用二次根式的定義、偶次方的性質(zhì)得出的取值范圍．【解析】（1）解：，則，解得：；（2）解：，則，解得：；（3）解：，則，解得：；（4）解：，，為全體實(shí)數(shù)．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的長條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．23．【答案】【分析】直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解析】==．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，，．24．若，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】利用二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，二次根式的值也是非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可.【解析】∵≥0，∴-x≥0，x+2≥0，∴-2≤x≤0.【點(diǎn)睛】本題是對二次根式非負(fù)性的考查，熟練掌握二次根式被開方數(shù)和值都是非負(fù)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.25．已知，化簡【答案】【分析】首先根據(jù)，可得，，，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，最后去絕對值符號，進(jìn)行整式的加減運(yùn)算，即可求得答案．【解析】解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡及去絕對值符號法則，整式的加減運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用二次根式的化簡及去絕對值符號法則是解決本題的關(guān)鍵．26．填空：___________，___________；___________，___________；___________，___________．比較左右兩邊的式子，議一議：與有什么關(guān)系？當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，___________．【答案】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【解析】，；，；，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．27．已知，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)2022(2)5【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可得關(guān)于a、b的不等式組，解不等式組即可求得答案；（2）把a(bǔ)+b的值代入所給式子，繼而根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于x、y的方程組，解方程組求解x、y的值代入所求式子進(jìn)行計(jì)算即可．（1）由題意，由①得：a+b≥2022，由②得：a+b≤2022，所以a+b=2022；（2）∵