2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編 復(fù)數(shù)（學(xué)生版+解析版）（共2講）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題54復(fù)數(shù)第一講

1.【2021年福建預(yù)賽】若與=1,x2=l-i,x3=l+i"為虛數(shù)單位)為方程/+a/+bx+c=0的

三個(gè)解，則a+b-c=.

2.【2021年重慶預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z1,Z2滿足|Z]|=|zi—2zzl,=V3(l-i),i為敘述單位，則包=_

z2

3.【2021年浙江預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi的實(shí)虛部x,y所形成的點(diǎn)(x,y)在橢圓差+3=1上。若丁為

實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z=.

4.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】設(shè)m為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)Zi=l+2i,z2=m+3氏這里i為虛數(shù)單位)，若z[?

石為純虛數(shù)，則IZ1+Z2I的值為.

5.【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)z為復(fù)數(shù).若三為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則|z+3|的最小值為一

6.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】設(shè)9元集合4={a+bi\a,be{1,2,3}},i是虛數(shù)單位.a=

(Zi，Z2,…z。是A中所有元素的一個(gè)排列，滿足<|z2|<-<IzJ,則這樣的排列a的個(gè)數(shù)為.

7.【2020年福建預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z—i|,若z—W為正實(shí)數(shù)，則z=.

Z—L

8.[2020年甘肅預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|-z=3-i.則z=.

9.【2020年廣西預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z+J5i|+|z-舊i|=4.則|z-i|的最小值為.

10.【2020年四川預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)2=。+8i(a,beZ)，滿足z3=2+11i.則a+b=.

11.【2020年浙江預(yù)賽】己知z為復(fù)數(shù)，且|z|=1.當(dāng)|l+z+3Z2+Z3+Z4I取得最小值時(shí)，復(fù)數(shù)z=__

或.

12.【2020年新疆預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l，則|z+iz+l|的最小值為.

13.【2019年內(nèi)蒙古預(yù)賽】己知％+則％2。2。一募=.

14.[2019年上海預(yù)賽】若復(fù)數(shù)z滿足|z-V3|+|z+V3|=4,則|z+i|的最大值為.

15.[2019年上海預(yù)賽】設(shè)a為實(shí)數(shù)，關(guān)于z的方程Q2-2z+5)(z2+2az+1)=0有四個(gè)互不相等的根，它

們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)共圓.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16.【2019年浙江預(yù)賽】設(shè)Zi，Z2為復(fù)數(shù)，且滿足|z/=5*=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，則^-Zzl取值為_

Z2

17.【2019年重慶預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)Zi，Z2，Z3使得且為純虛數(shù)，|z/=\z2\=1,|zj+z2+z3|=1,則的

最小值是.

18.【2019年福建預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z,Zi，Z2（Z]KZ2）滿足zf=z/=-2-2bi,且|z—z/=|z—z2|=4,則

|z|=?

19.【2018年江蘇預(yù)賽】已知（a+bi）2=3+4i,其中a,be/?,i是虛數(shù)單位，則。2+爐的值為.

20.【2018年浙江預(yù)賽】已知虛數(shù)z滿足z3+l=0,則7（7六\20）18+（Z210\2018=.

21.【2018年廣西預(yù)賽】設(shè)a、b為正整數(shù)，且|（a+i）（2+i）|=|蹤.則a+b=.

22.【2018年安徽預(yù)賽】設(shè)三個(gè)復(fù)數(shù)1、i、z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)共線，且|z|=5,則2=.

23.【2018年山東預(yù)賽】若復(fù)數(shù)z滿足|z-l|+|z—3—2i|=2&,則口的最小值為.

24.【2018年甘肅預(yù)賽】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi，Z2，Z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Zi%%.若閭=㈤=,西?

兩=0,%+Z2-Z3I=2,則怙3|的取值范圍是.

25.【2018年河南預(yù)賽】已知i為虛數(shù)單位，則在（遮+i）】°的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和是.

26.[2018年河北預(yù)賽】若zeC,且|z+2-2i\=1,則|z-2-2i|的最小值為.

27.【2018年浙江預(yù)賽】己知虛數(shù)z滿足z3+l=0,則（六）+（±）=.

28.[2018年遼寧預(yù)賽】設(shè)a、b均為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)4=一1+（b一b）i與z2=2-V3a+尻的模長相

等，且Zi豆為純虛數(shù)，則a+b=.

29.【2018年福建預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=2,則|z-z1的最大值為.（i為虛數(shù)單位，N為復(fù)數(shù)z的

共規(guī)復(fù)數(shù)）

30.【2018年全國】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,使得關(guān)于x的方程zM+2衣+2=0有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)z的和

為.

31.【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】設(shè)復(fù)數(shù)滿足團(tuán)=1,使得關(guān)于x的方程2/+2女+2=0有實(shí)

根，則這樣的復(fù)數(shù)z的和為.

32.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】已知復(fù)數(shù)4/2,23滿足%|=㈤=㈤=1,怙1+Z2+Z3I=丁,

其中廠是給定實(shí)數(shù)，則包+叁+二的實(shí)數(shù)是___________（用含有/?的式子表示）.

z2z3Z1

33.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+9=10Z+22i,則|z|的值為.

34.[2017年遼寧預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則回一3z-2|的最大值為.

35.[2017年山東預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)與*2滿足怙1+z2l=20,04-zfl=16,則0+z期的最小值為.

36.[2017年四川預(yù)賽】設(shè)aGR,復(fù)數(shù)z1=a+i,z2=2a+21,z3=3a+4i,其中i是虛數(shù)單位.若。|、\z2\,\z3\

成等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值是.

37.(2017年甘肅預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)21=-3-7^,22=8+1,2=7^^0+488$0+2),則2-21|+|2-221

的最小值是.

38.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足答言=3+4i,其中i是虛數(shù)單位，則z的模長|z|=.

39.[2017年湖南預(yù)賽】已知z6C,若關(guān)于x的方程4/一8zx+4i+3=0(i為虛數(shù)單位)有實(shí)數(shù)根,則復(fù)數(shù)z的

模|z|的最小值是.

40.(2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z=3cos。+(2sin0)i,則函數(shù)y=9-argz(0＜。＜的最大值為

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題54復(fù)數(shù)第一講

1.(2021年福建預(yù)賽】若冤1=為虛數(shù)單位)為方程+

1,X2=l-i,X3=l+i(i

ax2+fox+c=0的三個(gè)解，則a+b-c=.

【答案】3

【解析】依題意有：

x3+ax2+bx+c=(x-1)?[x—(1—i)][x—(1+i)]

=(x—l)(x2—2x+2)=x3—3x2+4x—2,

于是。=—3,b=4,c=-2.

所以。+b—c=-3+4—(—2)=3.

2.12021年重慶預(yù)賽】己知復(fù)數(shù)Z1/2滿足=必1-222|,=73(1-i),i為

敘述單位，則用=.

【答案】1-i

【解析】由必1|=pl_2Zz|知|ZI|2=|z/2+4眼產(chǎn)―2(/%+京Z2),

則z2藥=2(Zi互+Z7Z2)=Re(Zi豆)=V3.

所以舁=殖=1-i-

z2Z2Z2

3.[2021年浙江預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)Z=x+yi的實(shí)虛部x,y所形成的點(diǎn)(X,，)在橢圓若+需=1

上。若可1為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z=

Z-I

3JT5,?3V15.,

【答案】當(dāng)F+i或———+1

4

【解析】由*=1一對(duì)』，所以y=l，則霓=±警，

3V15,.3V15,.

所以z=--—F1或z=----------F1.

44

4.(2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】設(shè)m為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)Zi=14-=m+3i(這里i為虛數(shù)單位)，若內(nèi)?

2i,z2

石為純虛數(shù)，則IZ1+Z2I的值為.

【答案】5V2

【解析】由于Zi,石■=(1+2Q(m-3i)=m+6+(2m-3)i為純虛數(shù)，故m=-6.

所以同4-z2|=|-5+5i|=5V2.

5.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)z為復(fù)數(shù).若分為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則|Z+3|的最小值

為.

【答案】店

【解析】解法1：設(shè)z=a+bi(a,beR),由條件知

、、(八

r/Z—2r,(a—2)+bi—a—2)(b-l)+aba+2b—2

/皿有)=所(西可)=-溫+(b二-=西『=°，

故a+2b=2.

從而店|z+3|=J(l2+22)((a+3)2+￡>2)》|(a+3)+2b|=5,

即|z+3]>后當(dāng)a=-2,b=2時(shí)，|z+3|取到最小值J5.

解法2：由*GR及復(fù)數(shù)除法的幾何意義,可知復(fù)平面中z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在2與i所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的連線上a所對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)除外)，故|z+31的最小值即為平面直

角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)(-3,0)到直線工+2y-2=0的距離，即埋出=V5.

Jl2+22

6.【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第oi試)】設(shè)9元集合4={a+bi\a,bG{1,2,3}},i是虛數(shù)單

位.，「?)是4中所有元素的一個(gè)排列，滿足…<憶八則這樣的

a=(ZiZ2Z9|zi|<\z2\<

排列a的個(gè)數(shù)為.

【答案】8

【解析】由于|1+i|<|2+i|=|1+2i\<\2+2i\<|3+i|=|1+3i|<

|3+2i|=|2+3i|<|3+3i|,

故

Zi=1+i,[z2,z3]={2+i,l+2i},z4=2+2i,{z5,z6}={3+i,l+

3i},{z7,z8}={3+2i,2+3i}.|z9|=3+3i

由乘法原理知，滿足條件的排列a的個(gè)數(shù)為2^=8

7.【2020年福建預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z—1|=|z—i|,若z一1彳為正實(shí)數(shù)，則z=

【答案】2+2i

【解析】由題意，知z的實(shí)部與虛部相等.設(shè)z=x+xi(x6R).則

z---z-—-6=z—1w+5

z-1Z-1

=x+xi—1+5

x+xi-1

=d)+s+誓M

=aT)+瑞曰+1-

i.

z-6

由Z—六為正實(shí)數(shù)知

(%―1)+75(焉1)>0,

''(x-l)2+x2

5x八

且再

解得尤=2.

因此,z=2+2i.

8.【2020年甘肅預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)Z滿足|z|-Z=3-i.則2=.

41.

【答案】-3+1

【解析】Eti|z|-3=z-ieR

=z=a+i=Va2+1—3=a

44,.

=CL=—=z=----FL

33

9.(2020年廣西預(yù)賽】己知復(fù)數(shù)z滿足|z+V3i|+\z-V3i|=4.則|z-i|的最小值為

【答案】

【解析】注意到,Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的曲線方程為：J+冗2=1.

4

記z=cos0+2isin0(0G[0,2TT)).則

z—i=cosO+(2sin0—l)i.

故|z-i|=yjcos20+(2sin0—l)2

=.sin”*]

.c2

當(dāng)且僅當(dāng)sm。=-時(shí)，上式等號(hào)成立.

io.【2020年四川預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bGZ)，滿足z3=2+11i.則a+b=

【答案】3

【解析】由條件知

|z|3=V22+II2=V125

=>|z|=V5=>a2+h2=5

n(a,b)=(2,1),(2T),(-2,T),(-2,-1).

注意到(a+bi)3=(a3-3ab2)+(3a2b—fc3)i.

經(jīng)驗(yàn)證，僅有(a,b)=(2,1)符合條件.

因此a+b=3.

11.【2020年浙江預(yù)賽】已知z為復(fù)數(shù)，且|z|=1.當(dāng)|1+z+3z2+z3+z4|取得最小

值時(shí)，復(fù)數(shù)z=或.

1.Vis.

【答案】一±丁

7441

【解析】注意到，

\1+z+3z2+z3+z41

11

=lm+7+3+z+z2o|

=l(Z+》2+Z+/+1|

=|(z+z)2+z+z+1|

=|4Re2z+2Rez+1|

16-43

此時(shí),Rez=--.

4

1.V15.

故Z=一1±丁1.

44

12.【2020年新疆預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)Z滿足|Z|=1，則憶+LZ+1|的最小值為

【答案】

【解析】解法一:設(shè)z=cos0+isin0，則

|z+iz+1|=7(1+cos0—sin0)2+(cos0+sin0)2=

,3+2V2cos(0+3)

所以Jz+iz+l|mjn=V3-2V2=V2—1

解法二：|z+iz+1|=一(一1一i)|,由復(fù)數(shù)的幾何意義知一(一1一i)|表示復(fù)

數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)(一1,一1)的距離。而各數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，故：|z+iz+l|min=

V2-1,

2020

13.【2019年內(nèi)蒙古預(yù)賽】已知尤+工=-l.KiJX.

【答案】

【解析】顯然元2+冗+1=0,則(x-l)(W+x+l)=0,即-=1.

22

所以％2020=(x+i)-4=-3

即工2020_=+/3i.

1/<k>U

14.【2019年上海預(yù)賽】若復(fù)數(shù)z滿足|z-V3|+|z+V3|=4,則|z+i|的最大值為

【答案】3

【解析】設(shè)z=x+W(尤、yWR),依題意，知X、y滿足竽+y2=1

設(shè)比=2sin0,y=cos0(O<0<2TT).則

\z+i\=|2sin0+(1+cos0)i|=V(2sin0)2+(1+cos0)2

=V—3cos20+2cos0+5=J—3(cos6—：)+y<?，

即|z+iI的最大值為竽.

2

15.[2019年上海預(yù)賽】設(shè)a為實(shí)數(shù)，關(guān)于Z的方程傳2—2Z+5)(Z+2?Z+1)=0有四個(gè)互

不相等的根，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)共圓.則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】{一3}“一1,1)

【解析】由

z?—2z+5=0=z12=1+2.

22

由z2+2az+1=0=>(z+a)=a—1.

據(jù)題意，此方程有四個(gè)不相等的根知—

分情況討論

2

⑴若(Ai>0,即?>i或火-1,則Z34=—a±Ja-1.

為了保證這四個(gè)點(diǎn)共圓據(jù)圓暴定理，知只需一

z/|l-Z21=|1-Z3||1-Z4|.

即4=|1—(—a+Va2-1)||1—(—a—Va2—1)|=|(1+a)2—(a2—

胤

解得a=-3(a=l舍去).

2

⑵若足1<(),即一］<“<1,則Z34=—a±Jl—a.

從而Z1，Z2,Z3,Z4四個(gè)點(diǎn)恰構(gòu)成一個(gè)等腰梯形，必然四點(diǎn)共圓.

綜上，實(shí)數(shù)ae{-3}U(-1,1).

16.[2019年浙江預(yù)賽】設(shè)Z1，Z2為復(fù)數(shù)，且滿足R1I=5,1^=2+i(其中i為虛數(shù)單位)，則

|Z1-Zzl取值為.

【答案】/10

【解析】由|zj=5,設(shè)Zi=5(cosa+isina),由留=2+i得z2=(2-i)(cosa+

isina),于是區(qū)】-z2\=|(3+i)(cosa+isina)|=V10

17.[2019年重慶預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)Z2,Z3使得金為純虛數(shù)，|Zi|=必21=1，|Zi+Z2+Z3|=

1,則R3I的最小值是.

【答案】72-1

【解析】設(shè)2=Z1+Z2+z3,則|Z|=1,由已知言+⑶=0.-.Z1Z^+Z2^1=0

zz

|Z1+Z2『=(zt+z2)(zr+z2)=Zxz7+Z2^2+^l2+1^2=2A\Z1+

Z2I=

\z3\=\zr+z2—z\>\z±+z2|—izi=V2—1?當(dāng)zx=l,z2=i,Z3=

與2(1+i)時(shí)，最小值能取到。

18.(2019年福建預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)Z,Z1，Z2(Z1WZ2)滿足城=Z^=—2—2/3八且區(qū)一

zt|=|z—z2\=4,貝u|z|=.

【答案】2V3

【解析】先求復(fù)數(shù)一2一2dgi的平方根

設(shè)(x+yif=-2—2/^i(yyWR),則(7—,)+2冤yi二-2一2萬i.

(X2.y2=_2fX1=l(X2yl

(2xy=-2/3=一萬]丫2=痣

由z彳=Z2=-2—2j3i,Zi工z2-知Zi，Zz為復(fù)數(shù)一2一的兩個(gè)平方根.由對(duì)稱性,

不妨設(shè)Z1=1—y/3i,Z2——1+J37.

于是，|ZLZZI=4,\Z1-Z2\=\z-z1\=\z-z2\=4,復(fù)數(shù)Z,ZLZ?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z,Z「

Z2構(gòu)成邊長為4的正三角形.

乂復(fù)數(shù)Zi,Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z〉Z2關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱,

:.o為二ZZ1Z2的高，故|z|=\0Z\=2A/3.

19.【2018年江蘇預(yù)賽】已知(a+bi)2=3+4i,其中a,b€R,i是虛數(shù)單位，則。2+爐的值為

【答案】5

【解析】

由(a+bi)2=3+4i得|a+bi\2=|3+4i|,即a?4-/)2=5.

故答案為：5

/，X2018Z1S2018

20.【2018年浙江預(yù)賽】已知虛數(shù)z滿足z3+l=0,則(看)+(三)=

【答案】-1

【解析】

z3+1=0=>(z+l)(z2—z+l)=0=>z2—z+1=0,

田-以，zY°18/1\2018_z2018+1_(Z3)672Z2+1_z2+1_

%以+=(Z2)2O18=(Z3)134SZ==一］

21.【2018年廣西預(yù)賽】設(shè)a、b為正整數(shù)，且|(a+i)(2+i)|=|蕓］.則a+b=.

【答案】8.

【解析】

由題意得(2a—I)2+(a+2)2=+(等)=(b+5a)(b-5a)=24.

又因?yàn)閎+5a與匕一5a為奇偶性相同的整數(shù)，所以，?或4+差=?，

Ib-5Q=23-5a=4.

解得Q=1,b=7.

故Q+Z?=8.

22.【2018年安徽預(yù)賽】設(shè)三個(gè)復(fù)數(shù)1、i、z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)共線，且怙|=5,則2=

【答案】4-3i或?3+4i

【解析】

設(shè)z=x-+-yi,由題設(shè)得x+y=1且M+y2=25.

故(x,y)=(4,-3)或(34).所以z=4?3i或-3+4i.

故答案為：4-3i或-3+4i

23.【2018年山東預(yù)賽】若復(fù)數(shù)z滿足|z—l|+|z-3—2i|=2&，則|z|的最小值為

【答案】1

【解析】

設(shè)4(1,0),8(3,2),\AB\=2V2,則點(diǎn)z的軌跡為線段48.

因此Izlmin為原點(diǎn)。到4的距離，即Izlmin=I。川=1.

24.【2018年甘肅預(yù)賽】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z]Z2，Z3對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3.若。|=%|=應(yīng),西?

西=0,IZ1+Z2—Z3I=2,則怙3|的取值范圍是.

【答案】[0,4]

【解析】

因?yàn)樨皘=憶2|=/,西?西=0,所以區(qū)+Zzl==2,

因?yàn)镮Z1+Z2-Z3I=2,所以2=\zx+z2-z3\>IIZ1+Z2I-|z3Hz3|-2|,

從而一2<|Z3|-2<2,0<㈤<4.

25.【2018年河南預(yù)賽】已知i為虛數(shù)單位，則在(國+i)1°的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和是.

【答案】512

【解析】

易知(8+的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和是復(fù)數(shù)的實(shí)部.

又(O+i)10=[(-2i)(-1+yi)]10=(-2i)10(-i+yi)10

=(-1024)x(-^+yi)=512-512后.

故填52.

26.[2018年河北預(yù)賽】若zGC,且|z+2-2i|=1,則|z-2-2i|的最小值為.

【答案】3

【解析】

試題分析：設(shè)2=2+環(huán)(a,bWR),滿足|Z-2-2i|=l的點(diǎn)均在以Ci(2,2)為圓心,1為半徑的圓上，所以

|Z+22|的最小值是C”C2連線的長為4與1的差,即為3.

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)模的幾何意義及數(shù)形結(jié)合的思想方法，

/7\2018z1x2018

27.【2018年浙江預(yù)賽】已知虛數(shù)z滿足z3+1=0,則(六)+(方=.

【答案】-1

【解析】

z34-1=0=>(z4-l)(z2—z+l)=0=>z2-z+l=0,

、2018Z1\2018_2018_(3)6722_2

GrrJ/Zz+122+1z+1

助以(工+(/iJ=.2)2018=.3)1345、=^7"

28.(2018年遼寧預(yù)賽】設(shè)a、b均為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z】=V3a-1+(V3-b)i與z?=2-ga+兒的模長相

等，且Z1石為純虛數(shù)，則a+b=

【答案】V3±l

【解析】

由題設(shè)知忤|=1,且包=z房為純虛數(shù)，故紅=±i.因此(產(chǎn)"1=_上或解得

。122ZzIV3-6=2-V3a.IV3-fe=V3a-2.

a=b=立二或a=b=至上故a+b=V5+l.

22

故答案為：V3土1

29.【2018年福建預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=2,則怙-幻的最大值為.(i為虛數(shù)單位，％為復(fù)數(shù)z的

共筑復(fù)數(shù))

【答案】6

【解析】

設(shè)z=x+yi(%yGR),

則N=x-yi,z—z=(%+yi)~(x-yi)=2yi,\z-z\=2|y|,

由|z—i|=2,知K%+yi)—i|=2,%2+(y-I)2=4.

所以(y-1)2^4,-1<y<3.所以|z-=2|y|W6.

當(dāng)且僅當(dāng)y=3,即z=3i時(shí)，等號(hào)成立.故怙一方的最大值為6.

30.【2018年全國】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,使得關(guān)于x的方程Z^2+2ZX+2=0有實(shí)根，則這樣的復(fù)

數(shù)z的和為.

2

【答案】一百

【解析】設(shè)z=a+bi(小bGR,a2+h2=1).

將原方程改為(〃+bi)f+2(a-bi)x+2=0,分離實(shí)部與虛部后等價(jià)于:

ax2+2ax+2=0①

bx2—2bx=0②

若b=o,則〃=i,但當(dāng)。=i時(shí)，①無實(shí)數(shù)解，從而a=-1,此時(shí)存在實(shí)數(shù)工=-1±V滿足①、

②，故z=-l滿足條件。

1J

若厚o,則由②知工￡{0,2),但顯然戶o不滿足①，故只能是x=2,代入①解得a=一二，進(jìn)而b=

,V15-l±V15i

±-—,相應(yīng)有Z——-—.

44

y,-1+V15i,-1-V15i3

綜上，滿足條件的所有復(fù)數(shù)之和為一1+--一+---=--

442

31.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)復(fù)數(shù)滿足|z|=l,使得關(guān)于x的方程2尤2+2ZX+2=

0有實(shí)根，則這樣的復(fù)數(shù)Z的和為.

3

【答案】一］

【解析】

設(shè)=。+砥。，t>wR,a2+￡>2=1).

將原方程改為(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0,分離實(shí)部與虛部后等價(jià)于

ax2+2ax+2=0①

bx2—2bx=0②

b—0f則ci~=1,但當(dāng)ci—1時(shí)，①無數(shù)解，從而ci=1,此時(shí)存在實(shí)數(shù)冗=-1±V滿足①、

②，故Z=-1滿足條件.

若厚0,則由②知文￡{0,2},但顯然廣0不滿足①，故只能是x=2,

1,,V15-l±V15f

代入①解得a=進(jìn)而b=±,相應(yīng)有z=—二;——.

444

Y-l+-15i—1—V15i3

綜上，滿足條件的所有復(fù)數(shù)Z之和為一1+---+—--=--

442

32.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】已知復(fù)數(shù)Zi，Z2，Z3滿足|Zj=億2〔=IZ3I=

其中r是給定實(shí)數(shù)，則留+用+含的實(shí)數(shù)是(用含有r的式子

l,\Z1+Z2+Z3\=r,

表示)

2_

【答案】二r產(chǎn)3

【解析】記W=—+—+々.由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可知百=；，無=；，藥=

Z3Z1AZ1z2Z3

Z2

因此W=Z1藥+Z2Z3+Z3Z1

于是京+互+藥)=區(qū)2區(qū)

M=(Zi+Z2+23)(15+|Z2|+35+w+W=3+

2Rew,

r2-3

解得Rew=——.

33.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足Z+9=1OZ+221,則|z|的值為

【答案】店

【解析】設(shè)a,由條件得(a+9)+bi=10a+(—10ft+22)i.

比較兩邊實(shí)虛部可得｛二七號(hào)帚：g2，

解得a=l,b-2,故z=l+2i,進(jìn)而|z|=

34.(2017年遼寧預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則h一3z-2|的最大值為.

【答案】36

32

【解析】提示：設(shè)2=。+兒,則。2+產(chǎn)=1.因?yàn)椋簗Z-3Z-2|=|(Z+1)(Z-2)|=

||(Z+1)|2|(Z-2)||,

原式=2(a+1)=2(a+1)V5-4a=J(2a+2)(2a+2)(5-4a)<

3V3,

1,.V2

當(dāng)a=3,b=±〒時(shí)等號(hào)成立.

35.[2017年山東預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)Zi,Z2滿足|zi+z2\=20,0+z和=16,則|z1+z邦的最小值為________.

【答案】3520

2

【解析】提示：由解+zfI=|Z1+z2\-\zl-Z1Z2+Z2I=20x||(zf+z分-](Z1+Z2)|220x|||zf+

2

Z2|~||zi+z2l1=3520,

=

而當(dāng)za+zf16,Z]+z2=20,即Z[=10+2V23i,z2=10—2V^i時(shí)，等號(hào)成立,

所以0+z列的最小值為3520.

36.(2017年四川預(yù)賽】設(shè)aGR,復(fù)數(shù)z1=a+i,z2=2a+2i,z3=3a+4i,其中i是虛數(shù)單位.若區(qū)|、\z2\,\z3\

成等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值是.

【答案】0

【解析】提示:由條件知|Z]條|z3|=區(qū)匕注意到=2%],則有Z3l=4%

即V9a2+16=4，a2+1,解得a=0.

37.(2017年甘肅預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)Z]=-3-V5i,Z2=8+i,z=gsinO+i(V^cos。+2),則z-z/+|z-Z2I

的最小值是.

【答案】2+2V3

【解析】提示：點(diǎn)Z】(-3,—75)4(居1),動(dòng)點(diǎn)2:婷+。-2)2=3.

如圖所示,易知點(diǎn)Zi，Zz在圓外.直線Z/2的方程為x-V3y=0.

且直線ZE與圓相切于點(diǎn)7停,》

即z=當(dāng)+1使Iz-z1\+\z-z2I取得最小值2+2V3.

38.[2017年安徽預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2°i7z左=3+4。其中i是虛數(shù)單位，則z的模長|z|=___________.

Z-2017

【答案】5

一記

【解析】提示:設(shè)w=3+4i,則z=2017W-2520171V-WW2017w,故|z|=|w|=5.

W-2017w-20172017-W

39.(2017年湖南預(yù)賽】已知zGC,若關(guān)于x的方程4/-8zx+4i+3=0(i為虛數(shù)單位)有實(shí)數(shù)根,則復(fù)數(shù)z的

模|z|的最小值是.

【答案】1

【解析】提示：設(shè)z=a+bi(a,beR),x=x()是方程4/-8zx+4i+3=0的實(shí)數(shù)根.

Axl-8ax0+3=0

則4詔-8(a+bi)x0+41+3=0,進(jìn)一步得

-8bx0+4=0

由方程組中的第2個(gè)方程，得霓0=/，

代入第1個(gè)方程得4-—7—8a-—+3=0,

4爐2b

即3b2—4ab+1=0,得a=3b

4b

所以憶產(chǎn)2222

=a+b=+b=^b+^+1>|+1=1,

?,V5

當(dāng)且僅當(dāng)b=±三時(shí)等號(hào)成立.

所以z的模|z|的最小值是1.

40.[2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z=3cos6+(2sin6)i,則函數(shù)y=6-argz(0<0<的最大值為

【答案】arctan

ZsecW-

[解析】提示：因?yàn)閠an(argZ)="an。,所以y=0-arctantan0),y,=1-產(chǎn)三一=1--?■—]——?

3\3/-tanz04-l-sm0+cosz0

99

令y'=0,解得6=arctan系

當(dāng)0V6Varctan一時(shí),y'>0;

當(dāng)arcta吟<8<(V<0.

所以當(dāng)8=arctan當(dāng)時(shí),y最大，且%1ax=arctany-arctany,

而tanymax=誓，所以Wax=arctan

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題55復(fù)數(shù)第二講

1.【2016年福建預(yù)賽】已知zGC.若關(guān)于x的方程“2-22%+：+1=0?為虛數(shù)單位)有實(shí)數(shù)

4

根，則|z|的最小值為.

2.[2016年安徽預(yù)賽】化簡(i+1)2016+(i-1)2016=.

3.【2016年全國】設(shè)復(fù)z、w滿足|z|=3,(z+而)(z—T)=7+4i,其中，i為虛數(shù)單位，

2、W分別表示z、w的共軌復(fù)數(shù).則(z+2而(z-2而的模為.

4.[2016年上海預(yù)賽】復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,w=3z2-捻在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的動(dòng)點(diǎn)W所表示

曲線的普通方程為.

5.【2016年江蘇預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)Z]、Z2滿足出+Z2I=20,|z1+z卻=16.則|z：+z刃的最

小值為?

6.12016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)復(fù)數(shù)z、w滿足|z|=3,(z+W)(N—w)=7+4i,

其中i是虛數(shù)單位，2,刃分別表示z、w的共物復(fù)數(shù)，則(2+2W)(2—2卬)的模為

7.【2015年全國】已知復(fù)數(shù)數(shù)列｛zn｝滿足zj=l,z"+i=^+l+ni(n=1,2,…)，其中，i為

虛數(shù)單位，私表示Zn的共輾復(fù)數(shù).則Z2015的值為.

8.【2015年天津預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)2=8$景+回吟.則|備+名+總|的值為(用

數(shù)學(xué)作答).

9.【2015年四川預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)2=衿。則|z[=?

10.【2015年安徽預(yù)賽】設(shè)2=》+必(x、yeR,i為虛數(shù)單位)，z的虛部與三的實(shí)部均

非負(fù).則滿足條件的復(fù)平面上的點(diǎn)集(x,y)所構(gòu)成區(qū)域的面積為.

11.【2015年山東預(yù)賽】復(fù)數(shù)z滿足|z|=5,且(3+4i)z為純虛數(shù).則z=.

12.[2015年遼寧預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)2=。+(。€/?)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,且

|z(l+i)l>2.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

13.[2015年江蘇預(yù)賽】關(guān)于x的方程“2-2ax+a2-4a=0有模為3的虛數(shù)根.則實(shí)數(shù)a

的值為.

14.【2015年湖南預(yù)賽】滿足使/=?+點(diǎn)。”為純虛數(shù)的最小正整數(shù)n=.

15.[2015年福建預(yù)賽】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi、Z2、Z3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為Zi、Z2>Z3.若%|=

|z2|=V2,OZr-OZ2=0,怙1+Z2—Z3I=1,則的取值范圍是.

16.[2015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】已知復(fù)數(shù)數(shù)列｛z“｝滿足Zi=l,zn+1=zn+l+

ni(n=l,2,…)，其中i為虛數(shù)單位，2n表示z“的共軌復(fù)數(shù)，則Z2?！钡闹禐?

17.[2020年吉林預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z1,Z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B,且田=4,42取-

2Z1Z2+Z/=0,。為坐標(biāo)原點(diǎn).則AO/IB的面積為（）

A.8V3B.4V3C.6V3D.12V3

18.【2019年吉林預(yù)賽】若復(fù)數(shù)z滿足團(tuán)<1且,+1=|,則|z|=（）

A.-B.-C.-D.-

5423

19.【2018年天津預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,i是虛數(shù)單位，則乂2+1）+乂7-2）|的值不

可能是（）.

A.4V2B.4V3C.5V2D.5V3

20.[2017年天津預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-|z+1||=|z+|z-1||,則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）

（A）z可能為純虛數(shù)

（B）z可能為實(shí)數(shù)

（C）z的實(shí)部小于2

（D）z的輻角可能為g

4

21.【2017年黑龍江預(yù)賽】復(fù)數(shù)z=W（i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

1—1

）

（A）第一象限（B）第二彖限（C）第三象限（D）第四象限

22.【2016年四川預(yù)賽】若復(fù)數(shù)z=*+?,則z2。*（）

A.-1B.-iC.iD.1

23.【2016年遼寧預(yù)賽】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足憶|=l則甲+3z+2i|的最大值為（）

A.4V2B.3V3C.2V5D.4依

24.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】已知復(fù)數(shù)%滿足Zi=y,zn+1=亞（1+zni）（n=

1,2，…）其中i為虛數(shù)單位.求Z2021的值.

25.（2019年全國】稱一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列｛z"為“有趣的"，若㈤=1,且對(duì)任意正整數(shù)",均有4z^+i+

2ZnZn+i+z￡=0.求最大的常數(shù)C,使得對(duì)一切有趣的數(shù)列｛Zn｝及任意正整數(shù)m,均有

%+Z24-----Fzm\>C.

26.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】稱一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列⑵｝為“有趣的"，若㈤=1,且

對(duì)任意正整數(shù)n,均有4zMi+2znzn+1+z^=0.求最大的常數(shù)C,使得對(duì)一切有趣的數(shù)列

｛z“｝及任意正整數(shù)m,均有0+z2-I------Fzm\>C.

27.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列｛z“｝滿足=1,且對(duì)任意正整數(shù)

n,均有4z￡+]+22nzlt+1+=0.

證明:對(duì)任意正整數(shù)m,均有|Z[+Z2+???+zm\<拳

28.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)復(fù)數(shù)Zi，Z2滿足Re(Zi)>0,Re(Z2)>0,且

Re(zf)=Re(z/)=2(其中Re⑵表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部)

(1)求Re(z1Z2)的最小值；

(2)求。+2|+|五+2|-瓦一Z2I的最小值.

29.【2016年新疆預(yù)賽】已知復(fù)數(shù)z滿足|z=1|.求a=怙2-3%+2|的最大值.

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題55復(fù)數(shù)第二講

1.【2016年福建預(yù)賽】已知zCC.若關(guān)于x的方程/-22尤+：+1=0?為虛數(shù)單位)有實(shí)數(shù)根，則同的最

小值為.

【答案】1.

【解析】

設(shè)z=