圓錐曲線試題

第三章圓錐曲線

3.3.2拋物線的幾何性質(zhì)

一、單選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

1.拋物線f=-2y的準(zhǔn)線方程為（)

,1「1

A.x——B.x=—

22

-11

C.二二D.y二不

22

【答案】D

【解析】拋物線爐=-2y是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向下的拋物線，2P=2,

準(zhǔn)線方程為y=5=g,故選:D.

2.已知A為拋物線C:產(chǎn)2P無（0>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離

為9,貝|p=（）

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為凡由拋物線的定義知|AF|=XA+"|=12,即12=9+5,解

得P=6.故選：C.

3.動(dòng)點(diǎn)P（羽y）到點(diǎn)網(wǎng)3,0）的距離比它到直線x+2=0的距離大1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是

（）.

A.橢圓B.雙曲線

C.雙曲線的一支D.拋物線

【答案】D

【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的距離比它到直線1=-2的距離大1,所以動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(3,0)的

距離等于它到直線x=-3的距離，所以由拋物線的定義知該動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)(3,0)為焦

點(diǎn)，以直線x=—3為準(zhǔn)線的拋物線.故選:D.

4.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為八過點(diǎn)(一2,0)且斜率為|■的直線與C交于N兩點(diǎn),

則可際?麗:=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

22

【解析】根據(jù)題意，過點(diǎn)(-2,0)且斜率為§的直線方程為y=§(犬+2),

y=—(x+2)

與拋物線方程聯(lián)立/3，消元整理得：/―6y+8=0,

J?=4尤

解得M(1,2),N(4,4),又尸(1,0),

所以兩=(0,2),前=(3,4),

從而可以求得閑.筋=0x3+2x4=8，故選：D.

5.已知拋物線C：V=4x和點(diǎn)￡)(2,0),直線了=少-2與拋物線。交于不同兩點(diǎn)A,B,

直線5。與拋物線C交于另一點(diǎn)E.給出以下判斷：

①直線OB與直線OE的斜率乘積為-2；

②A￡7/y軸;

③以班為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.

其中，所有正確判斷的序號(hào)是()

A.①②③B.①②C.①③D.②③

【答案】B

【解析】由題意，可設(shè)直線。石的方程為％=陽+2,

代入拋物線C的方程，有丁—4根＞—8=0.

設(shè)點(diǎn)5,E的坐標(biāo)分別為（石,乂），（%，%），

則%+方=4冽，乂%=—8.

所%/=（^Yi+2）（my2+2）=+2機(jī)（必+%）+4=4.

則直線06與直線0E的斜率乘積為"=-2.所以①正確.

中2

將％=）-2代入拋物線C的方程可得，力為=8,從而，力=一

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，A，E兩點(diǎn)關(guān)于％軸對(duì)稱，

所以直線AE//y軸.所以②正確.

如圖，設(shè)尸為拋物線C的焦點(diǎn)，以線段破為直徑的圓為航，

則圓心M為線段座的中點(diǎn).設(shè)3,E到準(zhǔn)線的距離分別為4,Z，0M的半徑為H，

點(diǎn)舷到準(zhǔn)線的距離為d,顯然3,E,產(chǎn)三點(diǎn)不共線，

則公3="3＞匹=乩所以③不正確.

222

二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分，少選得3分，多選不得分）

6.已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,直線1的斜率為小且經(jīng)過點(diǎn)F,直線I與拋物

線C交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D,若AF=4,則下列結(jié)論

中正確的是（）

A.p=2B.F為AD的中點(diǎn)

C.BD=2BFD.BF=2

【答案】A

如圖，過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)C,E,作AMLx

軸于點(diǎn)M.因?yàn)橹本€1的斜率為小，所以tan/AFM=qi則/AFM昔因?yàn)锳F=4,所以

MF=2,AM=2小，所以點(diǎn)A@+2,2?。?，代入拋物線方程，得p=2,故A正確；由上,

得NF=FM=2,易得△AMF0/XDNF,所以AF=DF,所以F為AD的中點(diǎn)，故B正確；

71

因?yàn)?BDEq,所以BD=2BE=2BF,故C正確；因?yàn)锽D=2BF,BD+BF=DF=AF=4,

4

所以BF=],故D錯(cuò)誤.故選：ABC.

7.拋物線/=4x的焦點(diǎn)尸作直線交拋物線于A，3兩點(diǎn)，舷為線段A3的中點(diǎn)，則下

列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

3

A.以線段A3為直徑圓與直線尤=-一相離B.以線段為直徑的圓與》軸相切

2

C.目的最小值為6D.當(dāng)衣=2方時(shí)，=g

【答案】AD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,點(diǎn)舷到準(zhǔn)線1=—1的距離為削AF|+忸尸|）=于是以線段

3

AB為直徑的圓與直線尤=-1一定相切，進(jìn)而與直線x=—-一定相離：

2

對(duì)于選項(xiàng)B,顯然A5中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與;忸不一定相等，因此命題錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C,D,設(shè)B（x2,y2）,直線A3方程為1=陽+1,聯(lián)立直線與拋物

線方程可得/_4機(jī)＞—4=0,4,石々=1，若設(shè)4（44,4。），則8￡,一上，

于是|AB|=Xi+X2+P=4a2+a!+2,|AB|最小值為4；當(dāng)入戶=2而可得X=-2%,

4。=-2（],所a?=g,|AB|=g.故選:AD.

8.泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻

沒有交會(huì)的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會(huì)，卻在轉(zhuǎn)瞬

間無處尋覓.已知點(diǎn)聞。,0）,直線/：尤=—2,若某直線上存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸到點(diǎn)M的

距離比到直線/的距離小1,則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.點(diǎn)P的軌跡曲線是一條線段

B.點(diǎn)P的軌跡與直線/'：X=-1是沒有交會(huì)的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒有交點(diǎn)）

C.y=2x+6不是“最遠(yuǎn)距離直線”

D.y=gx+l是“最遠(yuǎn)距離直線”

【答案】BCD

【解析】由題意可得，點(diǎn)P到點(diǎn)加的距離比到直線/的距離小1,

即等價(jià)于“點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離等于到直線〃：x=-l的距離”

故P點(diǎn)軌跡是以4（1,0）為焦點(diǎn)，直線/'：x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,

其方程是＞2=4%,故A錯(cuò)誤；

點(diǎn)P的軌跡方程是拋物線4x,它與直線/‘沒交點(diǎn),

即兩者是沒有交會(huì)的軌跡，故B正確;

要滿足“最遠(yuǎn)距離直線”則必須滿足與上述拋物線V=4x有交點(diǎn)，

把y=2x+6代入拋物線V=4%,

消去y并整理得爐+5%+9=0

因?yàn)锳=5?—4x1x9=—11<0，無解，

所以y=2x+6不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確；

1,

把y=/X+l代入拋物線y=4x,

消去y并整理得％2_12X+4=0，

因?yàn)锳=(—12)2—4xlx4=128>0,有解，

所以y=gx+l是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正確.故選：BCD.

三、填空題(共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分)

2

9.已知拋物線C:y=x焦點(diǎn)為F,A(x0,%)是C上一點(diǎn)，|AF|=|-x0,則x0=

【答案】1

1n1

【解析】由拋物線。：丁2=%可得"=萬，5=工，

準(zhǔn)線方程x=-

4

,.,AOo，%)是C上一點(diǎn)，AF=-|x0,x0>0.

解得飛=1.故答案為：1

10.已知點(diǎn)尸是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸到點(diǎn)(0,6)的距離與尸到y(tǒng)軸的距離

之和的最小值為.

【答案】1

如圖所示，設(shè)此拋物線的焦點(diǎn)為P(1,O),準(zhǔn)線/:%=-1.

過點(diǎn)P作尸“垂足為

則|PM|=|PF\,尸至y軸的距離IPMI-1與尸用-1,

則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,⑹的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和為闿I+電T

設(shè)。(0,6)，因此當(dāng)尸、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，IPFI+IPQI取得最小值.

2

：.(]PF\+\PQ|)m,HQF|=J6+1=2.

即I尸河|+|尸。|的最小值為2,

所以則點(diǎn)尸到點(diǎn)(0,退)的距離與P到y(tǒng)軸的距離之和為IPQI+IP用T=L故答案為：1

11.拋物線C：V=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是；經(jīng)過點(diǎn)P(4,l)的直線/與拋物線。相交

于A,3兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，貝葉珂+|麗卜.

【答案】(1).pOj⑵.9

【解析】拋物線C：V=2x的焦點(diǎn)

過A作AM，準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于M，過3作準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于N,過P作PKL準(zhǔn)線交準(zhǔn)

線于K,

則由拋物線的定義可得|40|+忸N|=MN+忸耳.

再根據(jù)尸為線段A5的中點(diǎn)，

119

-(\AM\+\BN\)=\PK\=4+-=-,

222

.-.|AF|+|BF|=9,

故答案為：焦點(diǎn)坐標(biāo)是|胡|+|旃1=9.

四、解答題：(本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

12.(1)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，且通徑的長為8的拋物線方程，并寫出它的焦點(diǎn)

坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)已知拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過點(diǎn)M($,—2回求其標(biāo)準(zhǔn)方程.

亞

【答案】(1)y2=-8x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),準(zhǔn)線方程為x=2；(2)x2=-2y

【解析】（1）當(dāng)焦點(diǎn)在X軸正半軸上時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2=2px（p>0）,由題意，得2P=8,

所以y2=8x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,準(zhǔn)線方程為x=一2；當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)拋物線

方程為y2=—2px（p>0）,由題意，得2P=8,所以y2=—8x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,0）,準(zhǔn)線方

程為x=2.

（2）由題意可設(shè)該拋物線的方程為x2=—2py,p>0.將點(diǎn)—2?。┐敕匠?，得3=4小

P，解得p=坐，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=一半y.

13.已知拋物線C：丁=2PM0>0）上的點(diǎn)〃（5,m）到焦點(diǎn)F的距離為6.

（1）求P，加的值；

（2）過點(diǎn)P（2,l）作直線/交拋物線C于兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段A3的中點(diǎn)，求直線/方

程.

【答案】（1）P=2,加=±2若；（2）2x—y—3=0.

【解析】（1）由拋物線焦半徑公式知：=5+:=6,解得：p=2,

■-C\y~—4x,=5x4=20,解得：m=+2A/5-

y；=4X]

（2）設(shè)3（程％），則<，兩式作差得：（x+y2）（%—%）=4（%-），

y\=4%2

..左_%一%—4

?.?。（2,1）為48的中點(diǎn)，，%+%