2020-2021學(xué)年天津一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

20202021學(xué)年天津一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（每題3分）

1.（3分）拋物線y=（儲的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=—B.y=-----C.x=-lD.y=-l

1616

2.（3分）已知圓（x-lf+（>+2）2=9的一條直徑通過直線2x+y-4=0被圓所截弦的中點，

則該直徑所在的直線方程為（）

A.x+2y-5=0B.x-2y-5=0C.x-2y+5=0D.x+2y+5=0

3.（3分）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，是數(shù)列｛/｝的前〃項和，S2+a6=9,則的值為

（）

A.10B.15C.30D.3

4.（3分）在等差數(shù)列｛七｝中，首項4>0,公差"*0,前”項和為S”（〃eN*）,且滿足S3=S15,

則S”的最大項為（）

A.57B.C.SgD.SI（）

5.（3分）已知等比數(shù)列他“｝的公比q<0,且%=1,an+2=a?+I+2a?,則｛““｝的前2020

項和等于（）

A.2020B.-1C.1D.0

6.（3分）已知數(shù)列｛〃"｝中，q=l,a?+l=an+n,則數(shù)列｛a“｝的通項公式為（）

7.（3分）已知雙曲線方程為V-y2=4,過點A（3,l）作直線/與該雙曲線交于M,N兩點，

若點A恰好為中點，則直線/的方程為（）

A.y=3x-8B.y=-3x+8C.y=3x—10D.y=—3x+10

22

8.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的二-馬=l（a>0,/?>0）右支與焦點為月的拋

crb

物線d=2py（p>0）交于A,3兩點，若|AF|+|8F|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為

J2

A.y=±-^-xB.y=±>?2xC.y=±-^-xD.y=±\/3x

二.填空題：（每題4分）

9.（4分）已知等差數(shù)列｛可｝的前〃項和為S“，火=5,$5=15,則數(shù)列｛—^｝的前100

《4+1

項和為.

10.（4分）記5“為遞增等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，若工=1,S4=5S2,則4=.

11.（4分）已知直線/:4x-3y+8=0,拋物線C:丁=4x圖象上的一動點到直線/與它到拋

物線準(zhǔn)線距離之和的最小值為一.

o2

12.（4分）設(shè)雙曲線［-4=13>0/>0）的兩條漸近線分別為/「/,,左焦點為尸.若

a~b~

點尸關(guān)于直線4的對稱點p在4上，則雙曲線的離心率為—.

13.（4分）己知數(shù)列｛,｝滿足為=「&一"）"+2">8（〃eN*）,若對于任意〃eN*都有

??>??+1,則實數(shù)a的取值范圍是.

f］n=l

14.（4分）已知數(shù)列滿足=（’>，定義使42為…%（AeN*）為

U°g”+2（"+3），"-2,〃eN

整數(shù)的“叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間［1,2020］內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為.

三.解答題：（共52分）

15.如圖，AE_L平面ABC￡）,CF//AE,AD!IBC,ADLAB,AB=AD^l,AE=BC=2,

?8

CF=—?

7

（1）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

（2）求平面應(yīng)應(yīng)與平面切才'夾角的余弦值.

E

F

B

22

16.已知橢圓C:9+q=l,K，尸2分別為橢圓的左、右焦點，尸為橢圓上任意一點.

（1）若|助1-1尸乙1=1,求△尸石鳥的面積；

（2）是否存在著直線/,使得當(dāng)經(jīng)過橢圓左頂點4且與橢圓相交于點5,點。與點B關(guān)于X

軸對稱，滿足OB-OE>=-次，若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

7

17.已知數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S"，數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列，且4=^=2,

a4+b4=27,s4-b4=10

（1）求數(shù)列｛4｝與｛4｝的通項公式;

（2）設(shè)。=4,么，求數(shù)列@｝的前〃項的和7；.

18.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和S“滿足2S?=a；,+a?-2.

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項公式：

（2）若2=2"（W1）（〃.N*）,求數(shù)列出“）的前正項和7；.

"%

（3）是否存在實數(shù)久使得（+2>/lS,,對neN+恒成立，若存在，求實數(shù)2的取值范圍，若

不存在說明理由.

20202021學(xué)年天津一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（每題3分）

1.（3分）拋物線y=的準(zhǔn)線方程是（）

A.x=—B.y=C.x=—1D.y=—1

1616-

【解答】解：由題得：d=4y,

所以：2〃=4,即p=2

所：，e=i

2

故準(zhǔn)線方程為：y=-l.

故選：D.

2.（3分）已知圓（x-l）2+（y+2>=9的一條直徑通過直線2x+y-4=0被圓所截弦的中點,

則該直徑所在的直線方程為（）

A.x+2y-5=0B.x-2y-5=0C.x-2y+5=0D.x+2y+5=0

【解答】解：由圓（x-l）2+（y+2）2=9的方程可得圓心坐標(biāo)為（1,-2）,

y=-2x+4

聯(lián)立直線2x+y-4=0與圓(*-1)2+(>+2)2=9可得：

(x-l)2+(y+2)2=9

整理可得：5x2-26x4-28=0,所以內(nèi)十9二行，X+必=-2（玉+9）+8=--—,

所以弦的中點坐標(biāo)為：（”,

"+2

由題意可得該直徑所在的方程為：y+2=-^—（x-i），

5

整理可得：x-2y-5=0.

故選：B.

3.（3分）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，S,是數(shù)列｛%｝的前〃項和，§2+4=9,則其的值為

（）

A.10B.15C.30D.3

【解答】解:設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,S?+4=9，/.34+6d=9,化為：q+2d=3=%，

則S5==5%=15.

故選：B.

4.（3分）在等差數(shù)列｛/｝中，首項q>0,公差4H0,前〃項和為，5￡“），且滿足53=品，

則S〃的最大項為（）

品）

A.57C.S.D.

【解答】解：等差數(shù)列｛%｝中，且滿足S3=S|5,

：,6+%+...+《5=0,

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，/+4。=0,

首項q>0,公差dwO,

/.t/<0?

tz9>0,4o<0,

則S”的最大項為Sy

故選：c.

5.（3分）已知等比數(shù)列｛4｝的公比夕<。，且g=1，4+2%+2%,則｛〃〃｝的前2020

項和等于（）

A.2020B.一1C.1D.0

2

【解答】解：由4+2an+l+2an,?.an(q-q)=2alt,化為/一^一2二0,q<0,

解得<7=-1，

又〃2=1=4x(—l),解得4=—1.

貝IJ｛an｝的前2020項和==0,

故選：D.

6.（3分）已知數(shù)列｛〃〃｝中，q=1,（+]=〃〃+〃，則數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為（）

2

n+〃-rr-n〃2—〃+22,

A?a?=——B?%=丁一C.an=--------D.%=〃~一〃+1

222

【解答】解：數(shù)列｛%｝中，A=1,?！?1=4+鹿，

當(dāng)幾.2時，an-an_}=n-l,

4?4=1，

利用疊加法，整理得q,-4=1+2+…+〃一1=（〃T）（,+l）=勺1,

所以q='「一;+2（首項符合通項），

〃〃

則imi4,二—--一+2?

故選：C.

7.（3分）已知雙曲線方程為*2-V=4,過點A（3,1）作直線/與該雙曲線交于M,N兩點,

若點A恰好為MN中點，則直線/的方程為（）

A.y=3x-8B.y=-3x+8C.y=3x-10D.y=-3x+10

【解答】解：由雙曲線方程為f-y2=4為等軸雙曲線，焦點在x軸上，

過點A（3,l）作直線/與該雙曲線交于M,N兩點，M（N，%）,N（X2,%）,

9—丫2=4

\；，兩式相減可得：（石一天）（石+冬）一（乂+%）（乂一切）=0，

M-y”4

4為MN的中點，

二.%+%=2x3=6,x+必=2x1=2,

.?.6（%—五2）-2（,一p）=0,

則乂二&=g=3,

Xj-^22

直線MN的斜率為％=AZA=3.

%一9

由直線的點斜式方程可知：y-l=3（x-3）,整理得：y=3x-8,

故選：A.

22

8.（3分）在平面直角坐標(biāo)系xO），中，雙曲線的與-2=1（〃>0力>0）右支與焦點為f的拋

ab

物線d=2py（p>0）交于A,8兩點，若|A用+|3b|=4|O尸I，則該雙曲線的漸近線方程為

)

亞x/3

A.y=±-^-xB.y=±\/2xC.y=±—xD.y=±y/3x

22

【解答】解：把丁=2期5>0)代入雙曲線「一斗=l(4>0力>0),

ab

可得：a2y2-2pb2y+a2b2=0,

2pb2

\AF\+\BF\=4\OF\,:.yA+yB+2x-^=4x^,

.2pb1

.?——-p,

a

b72

...—=.

a2

該雙曲線的漸近線方程為：y=±*.

故選：A.

二.填空題：（每題4分）

9.（4分）已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S“，a5=5,S5=15,則數(shù)列｛—！—｝的前100

a

,fln+\

項ETn和小為——WO

一10L

【解答】解:等差數(shù)列｛4｝中,

=5,S,=15,

4+4d=5

???、4x5」

5。［H--------u=1i5r

12

解得％=1,d=\

:.an=1+(〃-1)=〃，

11---_11

..---------------------,

4￡用〃(〃+1)nn+1

...數(shù)列｛_!_｝的前l(fā)ooi^aisiao=(i-----)=1.

100

anan+i22334100101101101

故答案為：—.

101

10.(4分)記S?為遞增等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，若，=1,54=5S2,則氏=_2"T

【解答】解：S“為遞增等比數(shù)列｛4｝的前〃項和，百=1,S4=552,

4=5=1

二,4(1-爐)4(1-/)，且“0,

_3X

1-q1-q

解得q=1,q=2,

故答案為：2"二

11.(4分)已知直線/:4x-3y+8=0,拋物線C:丁=4x圖象上的一動點到直線/與它到拋

物線準(zhǔn)線距離之和的最小值為-.

一5-

【解答】解：動點P在拋物線C：V=4x上，

.?.設(shè)點尸的坐標(biāo)為(/,2a),可得P到y(tǒng)軸的距離&=/.

|46q2

P到直線/:4x-3y+8=0的距離4=f~t^l=l|4a-6a+8|,

V42+(-3)25

4a2-6a+8=4(a--)2+—>0,

44

cl^=—(4。"—6a+8),

可得動點P到直線l與y軸的距離之和為：

,.22N。、9268

4+d2=4+1(4〃-6a4-8)=—+—?

由此可得當(dāng)a=g時，4+4的最小值為￡，

動點P到直線/與y軸的距離一之和的最小值為1三7.

故答案為：

5

29

12.（4分）設(shè)雙曲線0-馬=l（a>0/>0）的兩條漸近線分別為4,4,左焦點為F.若

ab

點尸關(guān)于直線人的對稱點P在4上，則雙曲線的離心率為2.

【解答】解：由題意知，雙曲線的漸近線方程為丫=土2%,點R_c,0）,

a

不妨取直線《為y=_?x,直線/，為

aa

設(shè)點P的坐標(biāo)為（見2機），則線段爐的中點坐標(biāo)為（絲1￡,_L⑼，

a22a

點尸關(guān)于直線4的對稱點尸在，2上，

2

—mm_a~

a

x(——)=-1m+「b?,：b=6a,

m-(-c)/，即

c

b/b、m-c

—"?=(——)-----

故答案為：2.

13.（4分）已知數(shù)列｛叫滿足/=￡一"）"+2">3"*）,若對于任意“cN*都有

.優(yōu)一",8

%>all+t,則實數(shù)a的取值范圍是—（；,1.

【解答】解：對于任意的〃eN*都有a“>all+t,

,數(shù)列｛《,｝單調(diào)遞減，可知0<"1.

①當(dāng)g<a<l時，〃>8,a“=（：-a）〃+2單調(diào)遞減，

而為=4"-7（4,8）單調(diào)遞減，

.,.g-a）x9+2<“8-7,解得

因此.

2

②當(dāng)0<a<g時，〃>8,q,=（g-“）〃+2單調(diào)遞增，應(yīng)舍去.

綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是（；，1）.

故答案為：（；，1）.

|M—1

14.(4分)已知數(shù)列｛.”｝滿足a“=〈’,定義使q/…4("eN')為

[log“+2(〃+3),〃..2,”€N

整數(shù)的人叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間口，2020]內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為叫49.

(1n=1

【解答】解：由于數(shù)列｛”,｝滿足

[log?+2(n+3),?..2,ne/V

當(dāng)〃=1時，(=4=1,

當(dāng)〃..2時，Tn=lxlog,5xlog6<...xlo%,4+分乂xx…x、("*"="名〃(+:.

/g4Ig5Ig(n+2)

又〃=1時，1=log44,成立.

所以(=log4G?+3)wZ,(啜｝i2020),

設(shè)log4(??+3)=meZ,

所以"+3=4“e[4,2023),

由于45=2io=io24,46=2°=4096>2023,

所以啜如5,共5個數(shù)，

所以(4-3)+(甲-3)+…+(4$-3)=2苗二12-3x5=1349.

4-1

故答案為：1349.

三.解答題：(共52分)

15.如圖，AE_L平面ABC￡),CF//AE,AD!IBC,ADLAB,AB=AD^l,AE=BC=2,

?8

CF=—?

7

(1)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(2)求平面BZ汨與平面助萬夾角的余弦值.

E\

F

B

【解答】解：AE_L平面A8C￡>,ADYAB,

.?.以A為坐標(biāo)原點，分別以四，AD,/場所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

Q

又CF/1AE,AB=AD=\,AE=BC=2,CF=-

7

Q

/.B(1,0,0),0(0,1,0),C(l,2,0),E(0,0,2),F(1,2,,

BD=(-\,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,2,2),

Q

BF=(0,2,-).

(1)設(shè)平面應(yīng))E的一個法向量為機=(x,y,z),

由卜.BO=—+y=0,取可得〃,=(2,2,1),

m-BE=-x+2z=0

設(shè)直線CE與平面加區(qū)所成角為e,

_2+4+24

則sin0=\cos<CE,m>|=|-------------1=—，

3x39

即直線CE與平面所成角的正弦值為±；

9

(2)設(shè)平面BDF的一個法向量為〃=(x,,y,馬)，

Q

n-BF=2y+-z=0

則l7l1,取4=—7,得〃=(4,4,一7),

n-BD=-x,+y,=0

設(shè)平面BDE與平面BDF的夾角為cp,

Im,n8+8—71

則mcos=----------=-----------=一,

|m|-|??|3x93

由圖可知，平面與平面8/邛的夾角為銳角,

故平面BDE與平面或方夾角的余弦值為-.

3

16.已知橢圓C:3+(=l,可，尸2分別為橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意一點.

(1)若|P用-|P工|=1,求鳥的面積；

(2)是否存在著直線/，使得當(dāng)經(jīng)過橢圓左頂點A且與橢圓相交于點B,點。與點5關(guān)于X

軸對稱，滿足OB-OE>=-2,若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

\PF\+\PF1=4

【解答】解：(I由題意可知X2

IPFt\~\PF21=1

解得：Ia"=|，3

1^1=2>

又I桃1=2,

2『+|耳瑪『，即

IPF,|=|PF2PFXLF.F2,

133

?.,△尸朋的面積為-X片］.

(2)由題意可知A(-2,0),

直線/的斜率顯然存在，設(shè)直線/的方程為：y=k(x+2),

y=k(x+2)

聯(lián)立方程2,消去y得：(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

--F--=1

43

c16k2-126-8k2

-2X=------，/.x=------，

RB3+4k2BR4k2+3

皿霖，瑞)

OBOD=——，

7

2

z6-8k\2-144k20

(--3-----)H-------;--------=------,

4k2+3(4k?+3)27

整理得：16k4-25k2+9=0,

解得：k=±l或k=±—,

4

3

.,.^=±。+2)或丫=土一(x+2)，

4

即存在直線/滿足題意，直線/的方程為：x—y+2=0或x+y+2=0或3x—4y+6=0或

3x+4y+6=0.

17.已知數(shù)列｛〃,,｝是等差數(shù)列，其前"項和為S"，數(shù)列出”｝是等比數(shù)列，且4=a=2,

a4+b4=21,s4-Z>4=10

（1）求數(shù)列｛%｝與｛4｝的通項公式;

（2）設(shè)勿，求數(shù)列｛0｝的前"項的和7；.

【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列｛4｝的公比為q.

由4=a=2,得4=2+3d,i>4=27,S4=8+6d.