專題13 平方根、立方根、實(shí)數(shù)壓軸題八種模型全攻略（原卷版）

專題13平方根、立方根、實(shí)數(shù)壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】 1【類型二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)根式】 2【類型三求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】 4【類型四與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】 5【類型五算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】 8【類型六實(shí)數(shù)的大小比較】 10【類型七程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算】 11【類型八新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】 13【過關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【類型一利用算術(shù)平方根的非負(fù)性解題】例題：（2023秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)北京豐臺(tái)二中?？奸_學(xué)考試）若，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東德州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若a，b為實(shí)數(shù)，且，則．2．（2023春·河南·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x，y滿足，求的算術(shù)平方根．【類型二利用數(shù)軸化簡(jiǎn)根式】例題：（2023春·云南曲靖·七年級(jí)校考期中）已知點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)a、b、c的位置如圖所示：化簡(jiǎn)：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：的結(jié)果為．【類型三求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】例題：（2023春·遼寧大連·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則_________，_________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）的整數(shù)部分是______．小數(shù)部分是_______．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a﹣b的值為______．【類型四與算術(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索題】例題：（2023春·江西南昌·七年級(jí)南昌二中?？计谀┯^察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大?。?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察表格回答下列問題：a…0.00010.01110010000……x1y100…(1)表格中，．(2)從表格中探究a與數(shù)位之間的變化規(guī)律，并利用規(guī)律解決下面問題：①已知，則．②已知，若，則a＝．2．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)東莞市東莞中學(xué)校考期中）（1）填空：__________，__________；__________，__________．（2）請(qǐng)按以上規(guī)律計(jì)算：①；②．（3）已知，，用含，的式子表示．【類型五算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用】例題：（2023春·湖北孝感·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整數(shù)部分．(1)求和的值；(2)求的算術(shù)平方根．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·甘肅定西·七年級(jí)?？计谀┮阎膬蓚€(gè)平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術(shù)平方根是3，求的立方根．2．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）已知：的立方根是3，的算術(shù)平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整數(shù)部分為m，的小數(shù)部分為n，求的值．【類型六實(shí)數(shù)的大小比較】例題：（2023春·廣東惠州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大小：______，______；【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）比較實(shí)數(shù)大小：______（填“”、“”或“”）．2．（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）比較大小：_____．（填寫“”、“”或“”）【類型七程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算】例題：（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，根據(jù)如圖的程序進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)輸入的值為64時(shí)，輸出的值是__________．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖是小明用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)的計(jì)算小程序，當(dāng)輸入為時(shí)，輸出的值是____________2．（2023春·重慶渝北·九年級(jí)禮嘉中學(xué)校考階段練習(xí)）按如圖所示程序計(jì)算，若輸入的x為，則輸出結(jié)果為___________．【類型八新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】例題：（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）規(guī)定一種運(yùn)算：，其中，為實(shí)數(shù)．例如：，則的值為__________．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）定義一種運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為_________．2．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則方程的解是___________．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則的值為（

）A．3 B．﹣3 C．0 D．12．（2023春·江西南昌·七年級(jí)?？计谥校┫铝械仁秸_的是（）A． B． C． D．3．（2023春·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖北恩施·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)，若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023春·安徽亳州·七年級(jí)?？计谥校┍容^大?。海ㄌ睢?gt;”“<”或“=”）6．（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)校考階段練習(xí)）設(shè)a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則，．7．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖：

當(dāng)輸入的時(shí)，輸出的y等于．8．（2023春·重慶九龍坡·七年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谥校?shí)數(shù)，，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，已知，化簡(jiǎn)．9．（2023春·甘肅定西·七年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)小組的同學(xué)在研究數(shù)的變化規(guī)律時(shí)，得到如下的等式：，則第個(gè)等式是.10．（2023秋·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）已知：，當(dāng)，取不同的值時(shí)，也有不同的值，當(dāng)最小時(shí)，的算術(shù)平方根為．三、解答題11．（2023春·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知的立方根是，，是的算術(shù)平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．12．（2023春·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖一只螞蟻從點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右爬了個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)表示，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為．(1)求的值；(2)在數(shù)軸上還有、兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有與為相反數(shù)，求的平方根．13．（2023·浙江·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一個(gè)按運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行的數(shù)值轉(zhuǎn)換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，則x的值是；(3)若輸出y的值是，請(qǐng)寫出兩個(gè)滿足要求的x值．14．（2023秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列解題過程：；；；……(1)___________，___________；(2)觀察上面的解題過程，求（為自然數(shù)）；(3)計(jì)算：．15．（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)校聯(lián)考期中）觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗(yàn)證：；．（1）按照上述等式及驗(yàn)證過程的基本思想，請(qǐng)寫出兩個(gè)類似的等式，并選擇其中一個(gè)寫出驗(yàn)證過程；（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，并驗(yàn)證．16．（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)滕州育才中學(xué)校考開學(xué)考試）數(shù)學(xué)張老師在課堂上提出一個(gè)問題：“通過探究知道：