專題13 平方根、立方根、實數(shù)壓軸題八種模型全攻略（原卷版）

專題13平方根、立方根、實數(shù)壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用算術平方根的非負性解題】 1【類型二利用數(shù)軸化簡根式】 2【類型三求算術平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】 4【類型四與算術平方根有關的規(guī)律探索題】 5【類型五算術平方根和立方根的綜合應用】 8【類型六實數(shù)的大小比較】 10【類型七程序設計與實數(shù)運算】 11【類型八新定義下的實數(shù)運算】 13【過關檢測】 14【典型例題】【類型一利用算術平方根的非負性解題】例題：（2023秋·北京豐臺·九年級北京豐臺二中?？奸_學考試）若，則．【變式訓練】1．（2023春·山東德州·七年級?？茧A段練習）若a，b為實數(shù)，且，則．2．（2023春·河南·七年級校聯(lián)考階段練習）已知x，y滿足，求的算術平方根．【類型二利用數(shù)軸化簡根式】例題：（2023春·云南曲靖·七年級?？计谥校┮阎cA、B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)a、b、c的位置如圖所示：化簡：．【變式訓練】1．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）已知點在數(shù)軸上表示的數(shù)的位置如圖所示，化簡2．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，化簡：的結果為．【類型三求算術平方根的整數(shù)部分和小數(shù)部分】例題：（2023春·遼寧大連·七年級校考階段練習）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則_________，_________．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）的整數(shù)部分是______．小數(shù)部分是_______．2．（2023春·全國·七年級專題練習）已知a，b分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2a﹣b的值為______．【類型四與算術平方根有關的規(guī)律探索題】例題：（2023春·江西南昌·七年級南昌二中?？计谀┯^察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數(shù)位的規(guī)律，利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數(shù)式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大?。敃r，；當時，；當時，．【變式訓練】1．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）觀察表格回答下列問題：a…0.00010.01110010000……x1y100…(1)表格中，．(2)從表格中探究a與數(shù)位之間的變化規(guī)律，并利用規(guī)律解決下面問題：①已知，則．②已知，若，則a＝．2．（2023春·廣東東莞·七年級東莞市東莞中學?？计谥校?）填空：__________，__________；__________，__________．（2）請按以上規(guī)律計算：①；②．（3）已知，，用含，的式子表示．【類型五算術平方根和立方根的綜合應用】例題：（2023春·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期中）已知的平方根是，的立方根是2，是的整數(shù)部分．(1)求和的值；(2)求的算術平方根．【變式訓練】1．（2023秋·甘肅定西·七年級?？计谀┮阎膬蓚€平方根分別是，的立方根為2．(1)求的平方根；(2)若的算術平方根是3，求的立方根．2．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）已知：的立方根是3，的算術平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求的平方根．(2)若的整數(shù)部分為m，的小數(shù)部分為n，求的值．【類型六實數(shù)的大小比較】例題：（2023春·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期末）比較大小：______，______；【變式訓練】1．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）比較實數(shù)大?。篲_____（填“”、“”或“”）．2．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習）比較大?。篲____．（填寫“”、“”或“”）【類型七程序設計與實數(shù)運算】例題：（2023·陜西咸陽·二模）程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”，根據(jù)如圖的程序進行計算，當輸入的值為64時，輸出的值是__________．【變式訓練】1．（2023秋·七年級單元測試）如圖是小明用計算機設計的計算小程序，當輸入為時，輸出的值是____________2．（2023春·重慶渝北·九年級禮嘉中學校考階段練習）按如圖所示程序計算，若輸入的x為，則輸出結果為___________．【類型八新定義下的實數(shù)運算】例題：（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）規(guī)定一種運算：，其中，為實數(shù)．例如：，則的值為__________．【變式訓練】1．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）定義一種運算：對于任意實數(shù)，都有，則的值為_________．2．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）在正實數(shù)范圍內定義一種運算“”：當時，；當時，．則方程的解是___________．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）已知實數(shù)m，n滿足，則的值為（

）A．3 B．﹣3 C．0 D．12．（2023春·江西南昌·七年級?？计谥校┫铝械仁秸_的是（）A． B． C． D．3．（2023春·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）按一定規(guī)律排列的單項式：，第個單項式是（

）A． B． C． D．5．（2023春·湖北恩施·七年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)，若互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2023春·安徽亳州·七年級?？计谥校┍容^大?。海ㄌ睢?gt;”“<”或“=”）6．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·七年級?？茧A段練習）設a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則，．7．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）有一個數(shù)值轉換器，原理如圖：

當輸入的時，輸出的y等于．8．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶市育才中學?？计谥校崝?shù)，，在數(shù)軸上的對應點如圖所示，已知，化簡．9．（2023春·甘肅定西·七年級統(tǒng)考期中）數(shù)學小組的同學在研究數(shù)的變化規(guī)律時，得到如下的等式：，則第個等式是.10．（2023秋·四川綿陽·八年級統(tǒng)考開學考試）已知：，當，取不同的值時，也有不同的值，當最小時，的算術平方根為．三、解答題11．（2023春·安徽池州·七年級統(tǒng)考期中）已知的立方根是，，是的算術平方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．12．（2023春·河南商丘·七年級統(tǒng)考期中）如圖一只螞蟻從點沿數(shù)軸向右爬了個單位長度到達點，點表示，設點所表示的數(shù)為．(1)求的值；(2)在數(shù)軸上還有、兩點分別表示實數(shù)c和d，且有與為相反數(shù)，求的平方根．13．（2023·浙江·七年級假期作業(yè)）如圖是一個按運算規(guī)則進行的數(shù)值轉換器：(1)若輸入的x為16，則輸出的y值是；(2)若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，則x的值是；(3)若輸出y的值是，請寫出兩個滿足要求的x值．14．（2023秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下列解題過程：；；；……(1)___________，___________；(2)觀察上面的解題過程，求（為自然數(shù)）；(3)計算：．15．（2023春·湖北黃岡·八年級校聯(lián)考期中）觀察下列各式及證明過程：①；②；③．驗證：；．（1）按照上述等式及驗證過程的基本思想，請寫出兩個類似的等式，并選擇其中一個寫出驗證過程；（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，并驗證．16．（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學?？奸_學考試）數(shù)學張老師在課堂上提出一個問題：“通過探究知道：