高中數學必修二知識點例題知識點

立體幾何知識點一、空間幾何體1.多面體：由若干個多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.2.棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的面叫做底面,其余各面叫做側面.3.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質：各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形；頂點在底面上的射影是底面正多邊形的中心。4.棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺。由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。正棱臺的性質：各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似的正多邊形5.旋轉體：由一個平面圖形繞一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體叫旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸，6.圓柱、圓錐、圓臺：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺。圓柱、圓錐、圓臺的性質：平行于底面的截面都是圓；過軸的截面(軸截面)分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺的側面展開圖問題時，經常用到弧長公式7.球:以半圓的直徑為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球體(簡稱球)8.簡單空間圖形的三視圖：一個投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個平面內的圖形叫做俯視圖。一個投影面放置在正前方，這個投影面叫做直立投影面，投影到這個平面內的圖形叫做主視圖(正視圖)。和直立、水平兩個投影面都垂直的投影面叫做側立投影面，通常把這個平面放在直立投影面的右面，投影到這個平面內的圖形叫做左視圖(側視圖)。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。（1）.三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊正視圖側視圖正視圖側視圖俯視圖1112寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應相等（2）.空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）；側視圖（從左向右的正投影）；俯視圖（從上向下正投影）．例題1.某四棱錐底面為直角梯形，一條側棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，則其體積為．例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，其中棱垂直于底面，它的三視圖正確的是（）（3）.空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法特點：①斜二測坐標系的軸與軸正方向成角；②原來與x軸平行的線段仍然與x平行,長度不變；=3\*GB3③原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半．常用結論：平面圖形面積與其斜二側直觀圖面積之比為：1．例．如果一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()．A．2＋ B． C． D．9.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）：S=10.柱體、錐體、臺體和球的體積公式：V=例題3:已知某幾何體的俯視圖是如圖5所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．例4.已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A．B．C．D．例5．半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為_____.練習：AUTONUM\*Arabic．已知一個幾何體的三視圖及其大小如圖1,這個幾何體的體積()A． B． C． D．側（左）視圖正（主）視圖俯視圖AUTONUM\*Arabic．右圖是一個幾何體的三視圖,根據圖中數據,可得該幾何體的表面積是（）側（左）視圖正（主）視圖俯視圖. ...AUTONUM\*Arabic．某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個半側（左）視圖421俯視圖側（左）視圖421俯視圖2正（主）視圖（第3題圖）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．一個幾何體的三視圖是三個邊長為1的正方形和對角線,如圖所示,則此幾何體的體積為() A． B． C．D．1AUTONUM\*Arabic．一個空間幾何體的三視圖如圖所示,根據圖標出的尺寸,可得這個幾何體的體積為()A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．若一個底面為正三角形、側棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示,則這個棱柱的體積為（） A． B．6C． D．二、立體幾何點線面的位置關系平行關系平面幾何知識平行關系平面幾何知識線線平行線面平行面面平行垂直關系平面幾何知識線線垂直線面垂直面面垂直判定性質判定推論性質判定判定性質判定面面垂直定義.5.平行與垂直關系可互相轉化如圖，在正四棱柱中，E、F分別是的中點，則以下結論中不成立的是()A．B.C.D.例2.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A． B． C． D．練習：1.設直線與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是（）A．在平面內有且只有一條直線與直線垂直B．過直線有且只有一個平面與平面垂直C．與直線垂直的直線不可能與平面平行D．與直線平行的平面不可能與平面垂直2.設為兩條直線,為兩個平面,下列四個命題中，正確的命題是()A．若與所成的角相等，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則3.給出下列四個命題:=1\*GB3①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.=2\*GB3②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.=3\*GB3③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.=4\*GB3④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數是（）(A)1(B)2(C)3(D)44.設為平面，為直線，則的一個充分條件是()(A) (B)(C) (D)5．設、是不同的直線,、、是不同的平面,有以下四個命題:①若則②若,,則③若,則④若,則其中真命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③三、線線平行的判斷：（1）三角形中位線定理；（2）構造平行四邊形，其對邊平行；（3）對應線段成比例，兩直線平行；（4）平行于同一直線的兩直線平行；（平行的傳遞性）（5）如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；（線面平行的性質）（6）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，所得交線平行；（面面平行的性質）（7）垂直于同一平面的兩直線平行；（線面垂直的性質）線面平行的判斷：（1）如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（2）兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。A1ED1C1B1DCBAA1ED1C1B1DCBA證明：連接交于，連接，∵為的中點，為的中點∴為三角形的中位線∴又在平面內，在平面外∴平面。例2、（證明是平行四邊形）已知正方體，是底對角線的交點.求證：C1O∥面；證明：（1）連結，設，連結∵是正方體是平行四邊形∴A1C1∥AC且又分別是的中點，∴O1C1∥AO且是平行四邊形面，面∴C1O∥面3、面面平行的判斷：（1）一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。（2）垂直于同一條直線的兩個平面平行。例4、如圖，在正方體中，、、分別是、、的中點.求證：平面∥平面.證明：∵、分別是、的中點，∥又平面，平面∥平面∵四邊形為平行四邊形，∥又平面，平面∥平面，平面∥平面練習：AFPDCB1、（利用三角形中位線）如圖,已知四棱錐的底面是菱形,平面,點為的中點.求證:平面;

AFPDCBDBCEB1C1AA12、（構造平行四邊形）如圖,在三棱柱中,每個側面均為正方形,為底邊的中點,為側棱的中點，DBCEB1C1AA13、（線面平行的性質）如圖，四面體A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一個矩形.CABEHFCABEHFGD（1）證明：∵截面EFGH是一個矩形，∴EF∥GH，又GH平面BCD.∴EF∥面BCD，而EF面ACD，面ACD∩面BCD=CD.∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.4．（對應線段成比例，兩直線平行，面面平行得到線面平行）如下圖，設P為長方形ABCD所在平面外一點，M、N分別為AB、PD上的點，且=，求證：直線MN∥平面PBC。分析：要證直線MN∥平面PBC，只需證明MN∥平面PBC內的一條直線或MN所在的某個平面∥平面PBC證法一：過N作NR∥DC交PC于點R，連結RB，依題意得====NR=MB∵NR∥DC∥AB，∴四邊形MNRB是平行四邊形∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直線MN∥平面PBC證法二：過N作NQ∥AD交PA于點Q，連結QM，∵==，∴QM∥PB又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC∴直線MN∥平面PBC（第1題圖）5、（中位線定理、平行四邊形）如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面PCE；（第1題圖）分析：取PC的中點G，連EG.，FG，則易證AEGF是平行四邊形6、（平行的傳遞性）已知正方體ABCD-A`B`C`D`中，E，F分別是A`B`，B`C`的中點。求證：EF∥面AD`C。AABCDA`B`C`D`EF四、立體幾何垂直總結1、線線垂直的判斷： 線面垂直的定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。2、線面垂直的判斷：（1）如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。（4）如果兩個平面垂直，那么在—個平面內垂直于交線的直線必垂直于另—個平面。3、面面垂直的判斷：一個平面經過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。證明線線垂直的常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三線合一）如圖，已知空間四邊形中，，是的中點。求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。AEDBC證明：（1）同理，又∵∴平面（2）由（1）有平面又∵平面，∴平面平面例2、（菱形的對角線互相垂直、等腰三角形三線合一）已知四棱錐的底面是菱形．，為的中點．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面平面．例3、(線線、線面垂直相互轉化)已知中,面,,求證：面．證明：°又面面又面圖2例4、(直徑所對的圓周角為直角)如圖2所示，已知垂直于圓O在平面，是圓O的直徑，是圓O的圓周上異于、的任意一點，且，點是線段的中點.求證：平面.圖2證明：∵所在平面，是的弦，∴.又∵是的直徑，是直徑所對的圓周角，∴.∵平面，平面.∴平面，平面，∴.∵，點是線段的中點.∴.∵,平面，平面.∴平面.例5、（證明所成角為直角）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.求證：BD⊥平面AED；證明因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如圖7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.例7、（三垂線定理）證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D證明：連結AC∴AC為A1C在平面AC上的射影練習；1、如圖在三棱錐P—ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.證明：AP⊥BC；2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD.證明：DC1⊥BC。3．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求證：AB⊥DE；(2)求三棱錐EABD的側面積．4、在正三棱柱中，若AB=2，，求點A到平面的距離。5、如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點，PA＝AD.求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.五、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(時，；當時，；當時，不存在。②過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程①點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：（）直線兩點，④截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：（A，B不全為0）注意：1各式的適用范圍2特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數）；平行于y軸的直線：（a為常數）；（4）直線系方程：即具有某一共同性質的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（C為常數）（二）過定點的直線系（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過定點；（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數），其中直線不在直線系中。（5）兩直線平行與垂直當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（6）兩條直線的交點相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數解與重合（7）兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，則（8）點到直線距離公式：一點到直線的距離（9）兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。六、圓的方程1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標準方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當時，表示一個點；當時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；（2）設直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標，r表示半徑。(3)過圓上一點的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(課本命題)．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設圓，兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當時兩圓外離，此時有公