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平面向量1/59【網(wǎng)絡(luò)體系】2/59【關(guān)鍵速填】1.五種常見(jiàn)向量(1)單位向量:模為_(kāi)_向量.(2)零向量:模為_(kāi)_向量.(3)平行(共線)向量:方向___________向量.(4)相等向量:模相等、方向_____向量(5)相反向量:模相等、方向_____向量10相同或相反相同相反3/592.兩個(gè)主要定理(1)向量共線定理:向量________與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使______.(2)平面向量基本定理:假如e1,e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)___________,那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使____________,其中e1,e2是一組基底.a(a≠0)b=λa不共線向量a=λ1e1+λ2e24/593.兩個(gè)非零向量平行、垂直充要條件若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:(1)a∥b?a=λb(λ≠0)?__________.(2)a⊥b?a·b=0?__________.x1y2-x2y1=0x1x2+y1y2=05/596/595.向量投影(1)向量a在b方向投影為_(kāi)_________________.(2)向量b在a方向投影為_(kāi)_________________.7/596.向量運(yùn)算律(1)交換律:a+b=b+a,a·b=b·a.(2)結(jié)合律:a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).8/59(3)分配律:(λ+μ)a=________,λ(a+b)=________,(a+b)·c=a·c+b·c.(4)主要公式:(a+b)·(a-b)=_____,(a±b)2=____________.λa+μaλa+λba2-b2a2±2a·b+b29/59【易錯(cuò)提醒】1.相關(guān)向量注意點(diǎn)(1)零向量方向是任意.(2)平行向量無(wú)傳遞性,即a∥b,b∥c時(shí),a與c不一定是平行向量.(3)注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不再是一個(gè)向量.10/592.向量運(yùn)算律中注意點(diǎn)(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似地方也有區(qū)分:對(duì)于一個(gè)向量等式,能夠移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù),兩邊同時(shí)取模,兩邊同乘以一個(gè)向量,但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能約去一個(gè)向量,切記兩向量不能相除(相約).(2)向量“乘法”不滿足結(jié)合律,即(a·b)c≠a(b·c).11/59類型一平面向量線性運(yùn)算及應(yīng)用【典例1】(1)化簡(jiǎn):
(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).
①求3a+b-3c;②求滿足a=mb+nc實(shí)數(shù)m,n.12/59【解析】(1)選D.
(2)由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).①3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).②因?yàn)閙b+nc=(-6m+n,-3m+8n),a=mb+nc,所以解得13/59【方法技巧】向量線性運(yùn)算基本標(biāo)準(zhǔn)和求解策略(1)基本標(biāo)準(zhǔn):向量加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算結(jié)果仍是一個(gè)向量,所以,對(duì)它們運(yùn)算法則、運(yùn)算律了解和利用要注意向量大小和方向兩個(gè)方面.14/59(2)求解策略:①向量是一個(gè)有“形”幾何量,所以在進(jìn)行向量線性運(yùn)算時(shí),一定要結(jié)合圖形,這是研究平面向量主要方法與技巧.②字符表示下線性運(yùn)算慣用技巧首尾相接用加法三角形法則,如共起點(diǎn)兩個(gè)向量作差用減法幾何意義,如③平行向量(共線向量)、相等與相反向量、單位向量等,了解向量相關(guān)概念并進(jìn)行恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用.④注意常見(jiàn)結(jié)論應(yīng)用.如△ABC中,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),則15/59【變式訓(xùn)練】(·秦皇島高一檢測(cè))已知向量a=(6,4),b=(0,2),=a+λb,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)C在函數(shù)圖象上,則實(shí)數(shù)λ值為_(kāi)_______.16/59【解析】由題意得=(6,4)+λ(0,2)=(6,4+2λ),故點(diǎn)C坐標(biāo)為(6,4+2λ),依據(jù)條件得4+2λ=sin
=1,解得.答案:
17/59【賠償訓(xùn)練】(·廣元高一檢測(cè))如圖,已知用,表示,則等于(
)【解析】選C.
18/59類型二平面向量數(shù)量積運(yùn)算【典例2】(1)△ABC外接圓半徑為1,圓心為O,且則值為(
)
(2)(·湖北高考)已知向量則
=__________.19/59(3)(·北京高一檢測(cè))如圖,正六邊形ABCDEF邊長(zhǎng)為1,M,N分別是BC,DE上動(dòng)點(diǎn),且滿足.①若M,N分別是BC,DE中點(diǎn),求值;②求取值范圍.20/5921/5922/59(3)①如圖,以AB所在直線為x軸,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)槎噙呅蜛BCDEF是邊長(zhǎng)為1正六邊形,且M,N分別是BC,DE中點(diǎn),所以所以23/5924/59【延伸探究】在典例(1)中,若則∠BAC大小是多少?【解析】由已知可得
由向量加法平行四邊形法則可知,四邊形OACB是四條邊均為1平行四邊形,故△OAC為等邊三角形,∠OAC=2∠BAC=60°,所以∠BAC=30°.25/59【方法技巧】向量數(shù)量積求解策略(1)利用數(shù)量積定義、運(yùn)算律求解:在數(shù)量積運(yùn)算律中,有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)完全平方和(差)公式在解題中應(yīng)用較為廣泛,即(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a-b)2=a2-2a·b+b2,上述兩公式以及(a+b)·(a-b)=a2-b2這一類似于實(shí)數(shù)平方差公式在解題過(guò)程中能夠直接應(yīng)用.26/59(2)借助零向量:即借助“圍成一個(gè)封閉圖形且首尾相接向量和為零向量”,再合理使用向量移項(xiàng)以及平方等變形,求解數(shù)量積.(3)借助平行向量與垂直向量:即借助向量拆分,將待求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直條件關(guān)系或平行向量關(guān)系向量數(shù)量積,借助a⊥b,則a·b=0等處理問(wèn)題.(4)建立坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積.27/59【變式訓(xùn)練】如圖所表示,P為△AOB所在平面內(nèi)一點(diǎn),向量且P在線段AB垂直平分線上,向量若|a|=3,|b|=2,則c·(a-b)值為(
)A.5
B.3
C.
D.28/59【解析】選C.設(shè)AB中點(diǎn)為D,29/59【賠償訓(xùn)練】如圖所表示,在Rt△ABC中,已知BC=a,若長(zhǎng)為2a線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn),問(wèn):夾角θ取何值時(shí),值最大?并求出這個(gè)最大值.30/59【解題指南】解答本題關(guān)鍵是要結(jié)合圖形,利用向量三角形法則找出向量之間關(guān)系;或建立適當(dāng)坐標(biāo)系,利用向量坐標(biāo)形式來(lái)解答.31/59【解析】以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)B(b,0),C(0,c),所以b2+c2=a2.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-x,-y),且x2+y2=a2,則=(x-b,y),=(-x,-y-c).
32/59又而所以所以當(dāng)cosθ=1時(shí),有最大值0,即當(dāng)θ=0°(即方向相同)時(shí),最大,最大值為0.33/59類型三平面向量平行與垂直問(wèn)題【典例3】(1)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實(shí)數(shù),(a+λb)∥c,則λ=(
)A.
B.
C.1
D.2(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知若∠ABO=90°,則實(shí)數(shù)t值為_(kāi)_______.34/59(3)已知平面內(nèi)A,B,C三點(diǎn)共線,O為原點(diǎn),且求實(shí)數(shù)m,n值.35/59【解析】(1)選B.因?yàn)橄蛄縜=(1,2),b=(1,0),可得a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c得(1+λ)×4-3×2=0,所以λ=
.(2)因?yàn)椤螦BO=90°,易知所以即3×2+2(2-t)=0,所以t=5.答案:536/59(3)因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以
37/59【延伸探究】在典例(1)條件下,是否存在非零常數(shù)λ,使a+λb與a-λc平行,若平行,是同向還是反向?【解析】因?yàn)閍+λb=(1+λ,2),a-λc=(1-3λ,2-4λ),若a+λb與a-λc平行,則(1+λ)(2-4λ)-2(1-3λ)=0.解得λ=1.所以a+λb=(2,2),a-λc=(-2,-2),a+λb與a-λc反向.即存在λ=1使a+λb與a-λc平行且反向.38/59【方法技巧】1.證實(shí)共線問(wèn)題慣用方法(1)向量a,b(a≠0)共線?存在唯一實(shí)數(shù)λ,使b=λa.(2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線?x1y2-x2y1=0.(3)向量a與b共線?|a·b|=|a||b|.(4)向量a與b共線?存在不全為零實(shí)數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0.39/592.證實(shí)平面向量垂直問(wèn)題慣用方法a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).40/59【變式訓(xùn)練】(1)已知向量a=(1,-1),b=(1,2),向量c滿足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,則c等于(
)A.(2,1) B.(1,0) C.
D.(0,-1)【解析】選A.設(shè)c=(x,y),由(c+b)⊥a,(c-a)∥b可得解得所以c=(2,1).41/59(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),則等于________.【解析】ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1).由(ma+nb)∥(a-2b)?-(2m-n)=4(3m+2n),整理得14m=-7n,則=-
.答案:-42/59【賠償訓(xùn)練】已知向量a,b不共線,c=ka+b,d=a-b.(1)若c∥d,求k值,并判斷c,d是否同向.(2)若|a|=|b|,a與b夾角為60°,當(dāng)k為何值時(shí),c⊥d?43/59【解析】(1)c∥d,故c=λd,即ka+b=λ(a-b).又a,b不共線,所以得即c=-d,故c與d反向.(2)c·d=(ka+b)·(a-b)=ka2-ka·b+a·b-b2=(k-1)a2+(1-k)|a|2·cos60°,又c⊥d,故(k-1)a2+
a2=0.即(k-1)+
=0.解得k=1.44/59類型四平面向量模與夾角【典例4】(1)向量a,b滿足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,則a,b夾角等于________.(2)已知|a|=4,|b|=8,a與b夾角是120°.①計(jì)算|a+b|,|4a-2b|;②當(dāng)k為何值時(shí),(a+2b)⊥(ka-b)?45/59【解析】(1)設(shè)a與b夾角為θ,因?yàn)閨a|=2,|b|=4,由(a-b)·(2a+b)=-4得,2|a|2-a·b-|b|2=-4,即a·b=-4,所以cosθ
所以θ=120°.答案:120°46/59(2)由已知,①因?yàn)閨a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,所以|a+b|=4
.因?yàn)閨4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162,所以|4a-2b|=16
.②若(a+2b)⊥(ka-b),則(a+2b)·(ka-b)=0,所以ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,所以k=-7.47/59【方法技巧】1.處理向量模問(wèn)題慣用策略(1)應(yīng)用公式:|a|=
(其中a=(x,y)).(2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則.(3)應(yīng)用向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(4)研究模平方|a±b|2=(a±b)2.48/592.求向量夾角設(shè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),兩向量夾角θ(0≤θ≤π)余弦49/59【變式訓(xùn)練】平面向量a與b夾角為60°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|等于(
)A.2
B.2
C.4
D.【解析】選B.由已知得|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12,所以|a+2b|=2
.50/59【賠償訓(xùn)練】(·安陽(yáng)高一檢測(cè))已知非零向量a,b滿足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=
.(1)求|b|.(2)當(dāng)a·b=時(shí),求向量a與b夾角θ值.51/59【解析】(1)因?yàn)?a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,所以|b|2=|a|2-
=1-
=,故|b|=
.(2)因?yàn)橛?°≤θ≤180°,所以θ=45°.52/59類型五平面向量在解析幾何和物理方面應(yīng)用【典例5】(1)已知O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線三個(gè)動(dòng)點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC(
)A.外心 B.內(nèi)心 C.
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