高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用6省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)新名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

關(guān)鍵點(diǎn)梳理1.函數(shù)單調(diào)性在（a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f′(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.f′(x)≥0

f(x)為

；f′(x)≤0

f(x)為

.導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用增函數(shù)減函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1/282.函數(shù)極值（1）判斷f(x0)是極值方法普通地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，①假如在x0附近左側(cè)

，右側(cè)

，那么f(x0)是極大值；②假如在x0附近左側(cè)

，右側(cè)

，那么f(x0)是極小值.(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值步驟①求f′(x);②求方程

根；③檢驗(yàn)f′(x)在方程

根左右值符號(hào).假如左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得

；假如左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得

.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0f′(x)=0f′(x)=0極大值極小值2/283.函數(shù)最值（1）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)函數(shù)f(x)在［a,b］上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞增，則

為函數(shù)最小值，

為函數(shù)最大值；若函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)遞減，則

為函數(shù)最大值，

為函數(shù)最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在［a,b］上最大值和最小值步驟以下：①求f(x)在（a,b)內(nèi)

；②將f(x)各極值與

比較，其中最大一個(gè)是最大值，最小一個(gè)是最小值.f(b)f(a)f(b)極值f(a),f(b)f(a)3/28基礎(chǔ)自測(cè)1.函數(shù)y=x3-3x單調(diào)遞減區(qū)間是_________.

解析∵y′=3x2-3,∴由3x2-3＜0,得-1＜x＜1.（-1，1）

4/282.函數(shù)f(x)=x3+ax-2在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________ 解析∵f(x)=x3+ax-2在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴f′(x)=3x2+a≥0在（1，+∞）上恒成立.即a≥-3x2在（1，+∞）上恒成立.又∵在（1，+∞）上-3x2＜-3,∴a≥-3.［-3，+∞)5/283.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上最大值，最小值分別是_________

解析∵y′=6x2-6x-12=0，得x=-1（舍去）或2,故函數(shù)y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在［0，3］上最值可能是x取0，2，3時(shí)函數(shù)值，而f（0）=5，f（2）=-15，f（3）=-4,故最大值為5，最小值為-15.5,-156/284.函數(shù)f（x）定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f′(x)在（a，b）內(nèi)圖象如圖所表示,則函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)有極小值點(diǎn) ____個(gè)

解析

f′(x)＞0時(shí),f(x)單調(diào)遞增，f′(x)＜0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.極小值點(diǎn)應(yīng)在先減后增特殊點(diǎn)，即f′(x)＜0→f′(x)=0→f′(x)＞0.由圖象可知只有1個(gè)極小值點(diǎn).17/285.若函數(shù)f(x)=在x=1處取極值，則a=

.

解析因?yàn)閒(x)在x=1處取極值，所以1是f′(x)=0根，將x=1代入得a=3.38/28題型一函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立→a范圍.思維啟迪題型分類深度剖析9/28解（1）由已知f′(x)=3x2-a.∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立.即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只要a≤0.又∵a=0時(shí)，f′(x)=3x2≥0，∴f（x）=x3-1在R上是增函數(shù)，∴a≤0.（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立.∴a≥3x2在x∈（-1，1）上恒成立.又∵-1＜x＜1,∴3x2＜3,只需a≥3.當(dāng)a=3時(shí)，f′(x)=3(x2-1)在x∈(-1,1)上，

f′(x)

＜0,即f(x)在（-1，1）上為減函數(shù)，∴a≥3.故存在實(shí)數(shù)a≥3,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減.10/28

探究提升

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性定義要方便，但應(yīng)注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）充分條件，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在（a,b)上遞增（或遞減）充要條件應(yīng)是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在（a,b）任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0，這就是說(shuō)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f′(x0)=0,甚至能夠在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處f′（x0）=0,只要這么點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間任何一個(gè)子區(qū)間，11/28所以，在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)取值范圍時(shí)，應(yīng)令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出參數(shù)取值范圍（普通可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗(yàn)參數(shù)取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)這個(gè)值應(yīng)舍去，若f′(x)不恒為0，則由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出參數(shù)取值范圍確定.12/28知能遷移1已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)單調(diào)增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a取值范圍；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上單調(diào)遞減，在［0，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求出a值；若不存在，說(shuō)明理由.

解

f′(x)=ex-a.(1)若a≤0，f′(x)=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a＞

0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+∞).13/28（2）∵f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，∴f′(x)≥0在R上恒成立.∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.∴a≤（ex）min，又∵ex＞0，∴a≤0.（3）方法一由題意知ex-a≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a≥ex在（-∞，0］上恒成立.∵ex在（-∞，0］上為增函數(shù).∴x=0時(shí)，ex最大為1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a≤ex在［0，+∞）上恒成立.∴a≤1，∴a=1.方法二由題意知，x=0為f(x)極小值點(diǎn).∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.14/28題型二函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)【例2】設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x兩個(gè)極值點(diǎn).（1）試確定常數(shù)a和b值；（2）試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說(shuō)明理由.

（1）函數(shù)導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處函數(shù)值為0，列方程組求解.（2）極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)判斷應(yīng)依據(jù)極值點(diǎn)定義判斷.思維啟迪15/28解（1）f′(x)=+2bx+1,16/28函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），列表x(0,1)1(1，2)2(2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減∴x=1是f（x）極小值點(diǎn)，x=2是f（x）極大值點(diǎn).

此題屬于逆向思維，但仍可依據(jù)函數(shù)極值步驟求解，但要注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系，利用這一關(guān)系（f′(x)=0）建立字母系數(shù)方程，經(jīng)過(guò)解方程（組）確定字母系數(shù)，從而處理問(wèn)題.探究提升17/28題型三函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)【例3】已知a為實(shí)數(shù)，且函數(shù)f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求導(dǎo)函數(shù)f′(x);(2)若f′(-1)=0，求函數(shù)f(x)在［-2，2］上最大值、最小值.

先求函數(shù)極值，然后再與端點(diǎn)值進(jìn)行比較、確定最值.

解（1）f(x)=x3-ax2-4x+4a,得f′(x)=3x2-2ax-4.思維啟迪18/28（2）因?yàn)閒′(-1)=0,所以a=,有f(x)=x3-x2-4x+2,所以f′(x)=3x2-x-4.又f′(x)=0,所以x=或x=-1.又f=,f(-1)=,f(-2)=0,f(2)=0,所以f(x)在［-2，2］上最大值、最小值分別為、.19/28

探究提升

在處理類似問(wèn)題時(shí)，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值區(qū)分.求解函數(shù)最值時(shí)，要先求函數(shù)y=f（x）在［a，b］內(nèi)全部使f′（x）=0點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y=f（x）在區(qū)間內(nèi)全部使f′（x）=0點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值，最終比較即得.20/28知能遷移2已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.（1）討論f(1）和f(-1)是函數(shù)f(x)極大值還是極小值；（2）過(guò)點(diǎn)A（0，16）作曲線y=f(x)切線，求此切線方程.

解（1）f′(x)=3ax2+2bx-3,依題意，3a+2b-3=03a-2b-3=0f′(1)=f′(-1)=0,即,21/28解得a=1,b=0.∴f（x）=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f′(x)=0,得x=-1,x=1.若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)，則f′(x)＞0,故f(x)在（-∞,-1)上是增函數(shù)，f(x)在（1,+∞)上是增函數(shù).若x∈(-1,1)，則f′(x)＜0,故f(x)在（-1，1）上是減函數(shù).所以f(-1)=2是極大值，f(1)=-2是極小值.22/28（2）曲線方程為y=x3-3x,點(diǎn)A（0，16）不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M坐標(biāo)滿足y0=

-3x0.因f′(x0)=3(

-1),故切線方程為y-y0=3(

-1)(x-x0),注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有16-(x-3x0)=3(x-1)(0-x0),化簡(jiǎn)得x=-8,解得x0=-2.所以，切點(diǎn)為M（-2，-2），切線方程為9x-y+16=0.23/28知能遷移3已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0，求函數(shù)y=f(x)在[，1]上最大值和最小值.

解∵f′(x)=3x2+2ax+1,又f′(-1)=0，∴3-2a+1=0，即a=2.