二次根式99866電子教案

二次根式99866

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第二十一章二次根式

教材內(nèi)容

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次

根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學(xué)完了八年級下冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第

十八章《勾股定理及其應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也

是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解&(a20)是一個非負(fù)數(shù)，(G)2=a(a20),

-a.(a20).

(3)掌握&*y/b=y[ab(a20,b20),4ab-4a?4b;

4a_[a[a_\/a

(a20,b>0)，(a20,b>0).

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加

減.

2.過程與方法

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(1)先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出

概念.?再對概念的內(nèi)涵進行分析，得出幾個重要結(jié)論，并運用這些

重要結(jié)論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘

(除)法規(guī)定，?并運用規(guī)定進行計算.

(3)利用逆向思維，?得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等

式并運用它進行化簡.

(4)通過分析前面的計算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點，?

給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的

二次根式進行合并，達(dá)到對二次根式進行計算和化簡的目的.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

科學(xué)精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，

發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重點

1.二次根式G(a20)的內(nèi)涵.G(a20)是一個非負(fù)數(shù)；

(G)2=a(a20)；77=a(a20)?及其運用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學(xué)難點

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1.對&(a20)是一個非負(fù)數(shù)的理解；對等式(&)2=a(a2

0)及V7=a(a20)的理解及應(yīng)用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

教學(xué)關(guān)鍵

1.潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力，突出重點，突

破難點.

2.培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進行準(zhǔn)確計算的能

力，?培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神.

單元課時劃分

本單元教學(xué)時間約需11課時，具體分配如下：

21.1二次根式3課時

21.2二次根式的乘法3課時

21.3二次根式的加減3課時

教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)2課時

21.1二次根式

第一課時

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運用

教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的概念，并利用G(a20)的意義解答具體題目.

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提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：形如&(a20)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點與關(guān)鍵：利用“&(aNO)”解決具體問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們獨立完成下列三個問題：

問題1：已知反比例函數(shù)y=3,那么它的圖象在第一象限橫、?縱

X

坐標(biāo)相等的點的坐標(biāo)是.

問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,Z

C=90°，那么AB邊的長是.

問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、

8,那么甲這次射擊的方差是S2,那么S=.

老師點評：

問題1：橫、縱坐標(biāo)相等，即*=丫，所以X2=3.因為點在第一

象限，所以X=百，所以所求點的坐標(biāo)(出，石).

問題2：由勾股定理得AB=&6

問題3：由方差的概念得S=、E.

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二、探索新知

很明顯6、M、g都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些

正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般

地，我們把形如G(a20)?的式子叫做二次根式，稱為二

次根號.

(學(xué)生活動)議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎？

2.0的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)a<0,G有意義嗎？

老師點評：(略)

例L下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：虎、

冷、L、G(x〉0)、面、蚯、-0、」一、Jx+y(x20,y?2

xx+y

0).

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“一”；第

二，被開方數(shù)是正數(shù)或0.

解：二次根式有：0、\[x(x>0)、C、-&、yjx+y(xNO,y

20)；不是二次根式的有：5、二、向」一.

xx+y

例2.當(dāng)x是多少時，^/§m在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,

所以3x-120,?J3x-1才能有意義.

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解：由3x-120,得：x2工

3

當(dāng)x2工時，斥1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習(xí)

教材P練習(xí)1、2、3.

四、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時，岳石+二-在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

X+1

分析：要使后有+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足

X+1

與中的20和」一中的X+1W0.

X+1

解：依題意，得12%+3對

%+1w0

由①得：

2

由②得：xW-1

當(dāng)且xW-1時，后石+」—在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4⑴已知+F工+5,求上的值.（答案:2）

y

（2）若&ZT+M萬=0,求a2004+b2004的值.（答案:g）

五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動，老師點評）

本節(jié)課要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“L”稱為二次根

號.

2.要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)

數(shù).

六、布置作業(yè)

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1.教材P8復(fù)習(xí)鞏固1、綜合應(yīng)用5.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-B.yjlC.y[xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.A/4B.J16C.A/8D.一

x

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.V5C.|D.以上皆不對

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負(fù)數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為lm3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,

按設(shè)計需要，?底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

2.當(dāng)X是多少時，叵互+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

X

3.若萬7+VT^有意義，則尸=.

4.使式子J-（%-有意義的未知數(shù)x有（）個.

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A.0B.1C.2D.無數(shù)

5.已知a、b為實數(shù)，且^/^+2m^■=b+4,求a、b的值.

第一課時作業(yè)設(shè)計答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.8(a20)2.83.沒有

三、1.設(shè)底面邊長為x,則0.2x2=l,解答：x-45.

2x+3>0

2.依題意得:

%wO

.?.當(dāng)x〉N且xWO時，避蟲+x2在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

2x

3.-

3

4.B

5.a=5，b=-4

21.1二次根式⑵

第二課時

教學(xué)內(nèi)容

1.8(a20)是一個非負(fù)數(shù);

2.(6)2=a(a20).

教學(xué)目標(biāo)

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理解&(a20)是一個非負(fù)數(shù)和(G)2=a(a20),并利用它

們進行計算和化簡.

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出G(a20)是

一個非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(G)2=a(a

20);最后運用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：4a(a20)是一個非負(fù)數(shù)；(&)2=a(aNO)及其運

用.

2.難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出&(a^O)是一個非負(fù)

數(shù)；?用探究的方法導(dǎo)出(&)2=a(a20).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時，&叫什么？當(dāng)a<0時，G有意義嗎？

老師點評(略).

二、探究新知

議一議：(學(xué)生分組討論，提問解答)

G(a20)是一個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

?(a—0)是一個非負(fù)數(shù).

做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

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（V4）2=；（V2）2=；（邪）2=；

（6）2=;

（j）2=；（島2=；（"）2=.

老師點評："是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，74

是一個平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此有（/）2=4.

同理可得：（后）2=2,（也）2=9,（山）2=3,呼）2=\

V33

(&)2=a(a20)

例1計算

1.（舟22.（3A/5）23.(口)24.(五)2

V62

分析：我們可以直接利用（6）2=a(a20)的結(jié)論解題.

解：（口）2=3,（36）2=3?

',(75)2-32?5=45,

V22

（P2=3,（直）2=也\)=L

V66222一一“

三、鞏固練習(xí)

計算下列各式的值：

（M）2（舟2（平）2(Vo)2(唱)2

（3班）2—（56）2

四、應(yīng)用拓展

例2計算

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1.(Vx+1)2(xNO)2.(7^)23.(J/+2a+i)2

4.(，4%2—12X+9)2

分析：(1)因為x2O,所以x+l〉O；(2)a2^0；(3)

a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運用(&)2=a(a20)的重要結(jié)論解

題.

解：(1)因為x20,所以x+l〉O

(Vx+1)2=x+l

(2)a2^0,；.(7^)2=a2

(3)*.*a2+2a+l=(a+1)2

又?:(a+1)2,0,.*.a2+2a+1^0,y/a2+2a+l=a2+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x?3+32=(2x-3)2

又,:(2x-3)22。

.?.4X2-12X+9,0,("/-12九+9)Mx2-12x+9

例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)x2-3(2)x4-4(3)2x2-3

分析:(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.4a(a20)是一個非負(fù)數(shù)；

2.(Viz)Ja(a20);反之:a=(6)2(a20).

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六、布置作業(yè)

1.教材P8復(fù)習(xí)鞏固2.(1)、(2)P97.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

第二課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.下列各式中加5、島、揚_1、y/a2+b2>1川+20、V-144,

二次根式的個數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是().

A.a>0B.a20C.a<0D.a=0

二、填空題

1.(~A/3)2-.

2.已知后有意義，那么是一個數(shù).

三、綜合提高題

1.計算

(1)(囪)2(2)-(6)2(3)d#)2(4)(-

2

(5)(273+372)(273-3A/2)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式:

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x，0)

3.已知Jx-y+l+V7M=0,求xy的值.

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4.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:

(1)X2-2(2)x4-93x2-5

第二課時作業(yè)設(shè)計答案:

、I.B2.C

、1.32.非負(fù)數(shù)

三、1.(1)(@2=9⑵-(6)2=3⑶（依

2」X6=3

42

…3舟2=9x2=6(5)-6

3

2.(1)5-(百)2(2)3.4=(734)2

(3)L(2⑷x=(五)2(x20)

6

%-J+1=0V—3

3.y=34=8i

x—3=0y=4x

4.(1)X2—2=(x+逝)(x-0)

(2)X4~9-(X2+3)(X2-3)=(x2+3)(x+V3)(x-石)

⑶略

21.1二次根式⑶

第三課時

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教學(xué)內(nèi)容

7^=a(a20)

教學(xué)目標(biāo)

理解"=a(a20)并利用它進行計算和化簡.

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究V7=a(a20),并利用這個結(jié)論解

決具體問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：7?=a(a20).

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時，J戶=2才成立.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；

1.形如G(a20)的式子叫做二次根式；

2.&(a20)是一個非負(fù)數(shù)；

3.(G)2=a(a20).

那么，我們猜想當(dāng)a20時，，/=2是否也成立呢？下面我們就來

探究這個問題.

二、探究新知

(學(xué)生活動)填空：

E=；Vo.oi2=；1Gy=；

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(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到：

V?=2；Vo.oi2=0.01；J(：)2；J(|y=|"；To^-0；

仔j

因此，一般地：4^=a(a20)

例1化簡

(1)V9(2)J(-4)2(3)y/25(4)J(-3『

分析：因為(1)9--32,(2)(-4)2-42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可運用77=a(a20)?去化簡.

解：(1)也=后=3(2)J(-4『=E=4

(3)425-4^-5(4)J(-3)2=7^=3

三、鞏固練習(xí)

教材P7練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時，行=；當(dāng)a<0時，77=,

并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題.

(1)若J/=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若病一a,則a可以是什么數(shù)？

(3)必〉a,則a可以是什么數(shù)？

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分析：???J/=a(a20),.?.要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)

論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因

為，當(dāng)aWO時，值=后"，那么—NO.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思

想；⑶根據(jù)(1)、(2)可知"=|a|,而|a|要大于a,只

有什么時候才能保證呢？a<0.

解：(1)因為療=a,所以a20；

(2)因為正=-a,所以aWO；

(3)因為當(dāng)a20時J/=a,要使J戶>a,即使a>a所以a不存

在；當(dāng)a〈0時，J?=-a,要使，戶〉a,即使-a〉a,a〈0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡例x--J(l-2x)2.

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：J/=a(aNO)及其運用，同時理解當(dāng)a<0時，

=一a的應(yīng)用拓展.

六、布置作業(yè)

1.教材P8習(xí)題21.13、4、6、8.

2.選作課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

第三課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.J(2；)2+J(—2；)2的值是().

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A.0B.-C.4-D.以上都不對

33

2.a20時，笳、后存、-亞，比較它們的結(jié)果，下面四個

選項中正確的是().

A.=J(-a)2V?"B.V?)“-a,

C.<^/(-tz)2D.-7?>4^={(-a)。

二、填空題

1.-70.0004=.

2.若麗是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當(dāng)a=9時，求a+，l-2°+日的值,甲乙兩人的

解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l-a)2=a+(『a)=1；

乙的解答為：原式=a+?-a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是

2.若|1995-a|+，a-2000=a,求aT995?的值.

(提示：先由a-200020,判斷1995-a?的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù),

去掉絕對值)

3.若-3WxW2時，試化簡|x-2|+J(X+3)2+Jx：-10x+25。

答案：

、1.C2.A

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二、1.-0.022.5

三、L甲甲沒有先判定卜a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)

2.由已知得a-200020,a22000

所以aT995+血-2000=a,血-2000=1995,a-2000=19952,

所以aT9952=2000.

3.10-x

21.2二次根式的乘除

第一課時

教學(xué)內(nèi)容

\fa,s/b=4ab(a20,b20),反之=G,\fb(a20,b2

0)及其運用.

教學(xué)目標(biāo)

理解&,4b=4ab(a20,bNO),4ab-4a?y/b(a20,b，

0),并利用它們進行計算和化簡

由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出行?4b=4ab(a20,b20)并運

用它進行計算；?利用逆向思維，得出，石=6,4b(a20,b20)

并運用它進行解題和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

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重點：4a,4b=4ab(a20,b20),4ab->Ja?s/b(a20,b

20)及它們的運用.

難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出G-4b=4ab(a20,b20).

關(guān)鍵：要講清(a<0,b<0)—y[as[b,如

J(—2)X(—3)=J—(—2)X—(—3)或J(—2)X(—3)==叵X6.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們完成下列各題.

1.填空

(1)口X邪=,,4x9=；

(2)屈X后=,716x25=.

(3)V100X,00義36=.

參考上面的結(jié)果，用“〉、<或="填空.

V4X耶_____74^9,716XV25716x25,^/100X

A/367100x36

2.利用計算器計算填空

(1)V2X73______A/6，(2)V2X75——府,

(3)V5X瓜___—底,(4)V4X75—___而，

(5)V7xVio―___屈.

老師點評（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯誤）

二、探索新知

（學(xué)生活動）讓3、4個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律.

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老師點評：(1)被開方數(shù)都是正數(shù)；

(2)兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，?并且把這兩個二

次根式中的數(shù)相乘，作為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

G?枇=猴.(a20,b20)

反過來：\=??&(a20,b，0)

例L計算

(1)非乂出(2)J*百(3)79XV27(4)木X灰

分析：直接利用6-6=疝(a20,b20)計算即可.

解：(1)75X77=735

(2)￡*8=J；x9=6

(3)79XV27=V9X27=792X3=9A/3

(4)R*娓=/義

例2化簡

(1)79x16(2)716x81(3)>/81x100

(4)^9x2y2(5)V54

分析：利用，拓=&?4b(a20,b20)直接化簡即可.

解：(1)A/9716=A/9X716=3X4=12

(2)716x81=V16X781-4X9=36

(3)781x100=781xTioo=9x10=90

(4),9尤2y2-正XJx2y2=正xV?X=3xy

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(5)\/54=J9x6=V?X76=3V6

三、鞏固練習(xí)

(1)計算(學(xué)生練習(xí)，老師點評)

①屈X氓(2)376X2V10③回?存^

(2)化簡：720;V18；V24；后；J12a&

教材Pu練習(xí)全部

四、應(yīng)用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：

(1)J(T)X(_9)=QX"

(2)X后=4義居X后=4層X后=4厄=8石

解：(1)不正確.

改正：J(T)x(-9)=J4x9=CXy/9-2X3-6

(2)不正確.

改正：X后=、陛X后=j?x25=y/H^=416x7=46

V25V25V25

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：(1)無?&=嵐=(a20,b20),

4ab-4a,4b(a20,b20)及其運用.

六、布置作業(yè)

1.課本P151,4,5,6.(1)(2).

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

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3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為厲cm和屈cm,?那

么此直角三角形斜邊長是（）.

A.372cmB.373cmC.9cmD.27cm

2.化簡的結(jié)果是（）.

Va

A.y/-aB.y[aC.~4~aD.-4a

3.等式Vx+1-JX-1=一1成立的條件是（）

A.x，lB.x^-1C.D.x，l或xW

-1

4.下列各等式成立的是（）.

A.475X2V5=875B.58X40=20百

C.473X3V2=7T5D.5A/3X4V2=20V6

二、填空題

1.J1014=.

2.自由落體的公式為S=；gt2（g為重力加速度，它的值為

10m/s2）,若物體下落的高度為720m,則下落的時間是

三、綜合提高題

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1.一個底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，?現(xiàn)將一

部分水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水

時，容器中的水面下降了20cm,鐵桶的底面邊長是多少厘米?

2.探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

+3

驗證：3忐

3(32-1)+3f3(32-l),3

32-132-132-1

同理可得：4

5

5

24

通過上述探究你能猜測出：a(a>0)，并驗證你的

結(jié)論.

答案:

一、1.B2.C3.A4.D

二、1.13762.12s

三、1.設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為X,

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則x?X10=30X30X20,x2=30X30X2,

x=j30x30X72=3072.

21.2二次根式的乘除

第二課時

教學(xué)內(nèi)容

*=甘（a20,b>0）,反過來有（a20,b>0）及利用它

們進行計算和化簡.

教學(xué)目標(biāo)

理解率=口（a，0,b>0）和（a，0,b>0）及禾U用它們

y[b\b4b

進行運算.

利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)

定，并用逆向思維寫出逆向等式及利用它們進行計算和化簡.

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教學(xué)重難點關(guān)鍵

4a_a同=*(a20,b>0)及

1.重點：理解(a20,b>0)，

訪一收b4b

利用它們進行計算和化簡.

2.難點關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題:

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

邪9

(1)

V1616

(2)16

V36-36

(3)旃=5

736_36

(4)

V81-81

代叵.亙

規(guī)律：＞

16'病36，V165

叵36

A/8181

3.利用計算器計算填空:

(1)￡=

⑵*(3)

V4'

V2_（4）*

忑一

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規(guī)律：若B72[2V2

h耳

且a

?8-------V8

每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運算結(jié)果.

(老師點評)

二、探索新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)

大家的練習(xí)和回答，我們可以得到:

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

而4a_寸（a20,b>0）,

反過來,巨=*（a》0,b>0）

b4b

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

分析：上面4小題利用亨=聆

(aNO,b>0)便可直接得出答

案.

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(4)

例2.化簡:

⑷J彘

分析：直接利用。=事

(a20,b>0)就可以達(dá)到化簡之目的.

解:

三、鞏固練習(xí)

教材P14練習(xí)1.

四、應(yīng)用拓展

例工已知小言=巖’且x為偶數(shù)，求。+x)"丁+4的

值.

分析：式子「=1，只有a20,b〉0時才能成立.

因此得到9-xNO且x-6>0,即6〈xW9,又因為x為偶數(shù)，所以

x=8.

19-壯0,即,x<9

解：由題意得

%-6>0x>6

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?\6<xW9

???x為偶數(shù)

.?.x=8

[(x-4)(x-1)

；?原式=(1+x)

\(x+l)(x-l)

x-4

=(1+x)

x+1

=(1+x)-?+%)(%—4)

J(x+1)

當(dāng)x=8時，原式的值=J4x9-6.

五、歸納小結(jié)

同=里(a20,b>0)及

本節(jié)課要掌握'I(a20,b>0)和

b4b

其運用.

六、布置作業(yè)

1.教材P15習(xí)題21.22、7、8、9.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

第二課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.計算jq-jg/g的結(jié)果是().

A.-V5B.-C.0D.正

777

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2.閱讀下列運算過程:

1_73_732_2A/5_2A/5

A/36義6375A/5x755

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那

么，化簡京的結(jié)果是（）.

A.2B.6C.-V6D.R

3

二、填空題

1.分母有理化:⑴力:--------。)卡=——；◎)

2^5~----------,

2.已知x=3,y=4,z-5,那么正的最后結(jié)果是

三、綜合提高題

1.有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為

右：1,?現(xiàn)用直徑為3厲cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那

么加工后的房染的最大截面積是多少？

2.計算

(1)工三?(」、H)(m>0,n>0)

mV2m'm\mV2m

(2)—3師-3〃2.(』J")Xp—(a>0)

Y2a22\a2\m-n

答案：

一、1.A2.C

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叵⑵立.⑶屈_也義小二叵

6'6''2卮2后—2

三、1.設(shè)：矩形房梁的寬為x(cm),則長為出xcm,依題

忌，

得：(逐X)2+x2=(3V15)2,

4x2=9X15,x=-V15(cm)，

2

73x?X=A/3x2=^-V3(cm2).

4

2.(1)原式=一J、匹+、匹三五

-八八2\1C.八八5\1G,“13-2\15

(2)原式=-2p(m+")^2x上x二=-2叵=-&a

\2crm+nm—nV2

21.2二次根式的乘除(3)

第三課時

教學(xué)內(nèi)容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式

的化簡運算.

教學(xué)目標(biāo)

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理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化

成最簡二次根式.

通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)

它的特點來檢驗最后結(jié)果是否滿足最簡二次根式的要求.

重難點關(guān)鍵

1.重點：最簡二次根式的運用.

2.難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題（請三位同學(xué)上臺板書）

1.計算（1）回，（2）婆，（3）上

V5V27V2a

老師點評：電叵,矍二色器;如

y55J273a

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別

是hikm,h2km,那么它們的傳播半徑的比是.

它們的比是

yj2Rh2

二、探索新知

觀察上面計算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根

式有如下兩個特點：

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

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那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化

成最簡二次根式.

學(xué)生分組討論，推薦3?4個人到黑板上板書.

老師點評：不是.

)2取V2^一包一4，

例L(1)3后；(2)G7K^；(3)標(biāo)了

例2.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,

求AB的長.

解：因為AB2=AC?+BC2

所以AB=J2S+62我)2+36=秒=嚕=+6.5(cm)

因此AB的長為6.5cm.

三、鞏固練習(xí)

教材兒練習(xí)2、3

四、應(yīng)用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的

化成最簡二次根式：

1_lx(V2-l)V2-l_后7

-

訪(A/2+1)(V2-1)TT"'

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1_lx(V3-V2)_V3-V2_

(G+4(G-揚―丁二

]

同理可得:—yfi-,\/3

■\/4+sfi

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

(-^―+廣1廠+/廠+...I——1]_=)(V2002+1)的

A/2+1V3+V2V4+V3V2002+J2001

值.

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因

此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡的目的.

角軍：原式二(A/2-1+V3-V2+V4-V3+...+V2002-72001)X

(V2002+1)

=(V2002-1)(V2002+1)

=2002-1=2001

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念及其運用.

六、布置作業(yè)

1.教材P15習(xí)題21.23、7、10.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

第三課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

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1.如果戊（y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是

（）.

A.4（y>0）B.而（y>0）C.叵（y>0）

D.以上都不對

2.把（aT）、匚工中根號外的（aT）移入根號內(nèi)得（）.

Va-1

A.y]ci—1B.Jl—aC.-yjci—1D.-Jl—a

3.在下列各式中，化簡正確的是（）

A.#=3而B.Q=土；0

C.而4二尷\fbD.Jr3=xJx-i

4.化簡挈的結(jié)果是（）

V27

A.-巫B.-二C.--D.-V2

3733

二、填空題

1.化簡Jx4+Jy2=.（x20）

2.2、5軍化簡二次根式號后的結(jié)果是_______.

Va

三、綜合提高題

1.已知a為實數(shù)，化簡："-a、口，閱讀下面的解答過

Va

程，請判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答過程:

—J—〃=(cL~1)J-a

a

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2.若X、y為實數(shù)，且y=&4++1,求Jx+y的

人I乙

答案:

、1.C2.D3.C4.C

二、1.xJx2+.22.-y/-a-l

三、L不正確，正確解答：

-tz3>0

因為1，所以a〈0,

——>0

、a

aN—a+J—a=(1-a)J—a

r2-4>01

2.V-.*.x-4=o,.*.x=±2,但?.?x+2W0,，x=2,y=-

4-x2>0

164

21.3二次根式的加減(1)

第一課時

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)

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理解和掌握二次根式加減的方法.

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行

加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡.

重難點關(guān)鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：計算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2x2-3x2+5x2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-

2a2+a3

教師點評：上面題目的結(jié)果，實際上是我們以前所學(xué)的同類項

合并.同類項合并就是字母不變，系數(shù)相加減.

二、探索新知

學(xué)生活動：計算下列各式.

(1)20+30(2)278-3^/8+578

(3)幣+2幣+3際i(4)3V3-2V3+V2

老師點評：

(1)如果我們把應(yīng)當(dāng)成x,不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？

20+30=(2+3)0=50

(2)把我當(dāng)成y；

2瓜-3瓜+5瓜=(2-3+5)瓜=4瓜=86

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(3)把S當(dāng)成z；

+2S+也#i

=2^/7+2^/7+3V7=(1+2+3)V7=677

(4)也看為x,夜看為y.

3V3-2V3+V2

=(3-2)百+0

=V3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2虎與掂表

面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的.

(板書)372+78=372+272=572

3月+后=3有+3省=66

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根

式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.

例1.計算

(1)V8+A/18(2)7167+7647

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；

第二步，將相同的最簡二次根式進行合并.

解：(1)^+718=272+372=(2+3)V2=572

(2)J16x+，64x=4Vx+8y/x=(4+8)A/X=12s[x

例2.計算

(1)3748-9^1+3A/12

(2)(V48+^)+(V12-A/5)

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解：(1)3M—9J+3a二126一3石+6班=(12-3+6)

y/3=15-^3

(2)(748+^20)+(712-75)=/+而+疵-百

=4月+2有+2省-石=6百+君

三、鞏固練習(xí)

教材P19練習(xí)1、2.

四、應(yīng)用拓展

例3.已知4x?+y2-4x-6y+10=0,求(.|x79x+y2^^-)-

(xz[-5XR)的值.

分析：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，

2

得(2x-l)+(y-3)2=0,即x=Ly=3.其次，根據(jù)二次根式的加

2

減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，最后

代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+10=0

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

(2x-l)2+(y-3)2=0

x=-,y=3

2

原式專反+丫213.+5*@

=2xVx+yjxy_xVx+5^xy

=xVx

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當(dāng)X=-,y=3時，

2

原式3X?6啟『3n

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根

式；（2）相同的最簡二次根式進行合并.

六、布置作業(yè)

1.教材P21習(xí)題21.31、2、3、5.

2.選作課時作業(yè)設(shè)計.

3.課后作業(yè)：《同步訓(xùn)練》

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.以下二次根式：①也；②后；③島④后中，與g是

同類二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①36+3=6百；②二幣二1；③

7

V2+V6=A/8=2V2；④華=20,其中錯誤的有（）.

A.3個B.2個C.1個D.0個

二、填空題

1.在次、-V75a>2瓦、V125>26/、3^/02>-2、口中，

33a\8

與后是同類二次根式的有.

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2.計算二次根式5&-3酩-76+96的最后結(jié)果是

三、綜合提高題

1.已知君72.236,求（胸—仁）-（舊+［痛）的

值.（結(jié)果精確到0.01）

2.先化簡，再求值.

（6xp+3jxy3）-（4x『+'36町）,其中x=-1,y=27.

答案：

一、1.C2.A

二、1.—y/15a2J3/2.64b_24a

3a

三、1.M^=4V5A/575-yA/5=1A/5X2.236^0.