高三數(shù)學(xué)教學(xué)研究：“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”

專題講座

高中數(shù)學(xué)”三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”教學(xué)研究

一、整體把握“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的教學(xué)內(nèi)容

（-）教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)框架

（.）教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與作用

由上述知識(shí)框架可知：我們將以“任意角與弧度制”、“任意角的三角函數(shù)”、

“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為基本知識(shí)結(jié)構(gòu)展開各重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

三角函數(shù)作為高中學(xué)習(xí)的第二類基本初等函數(shù)，必然將充分體現(xiàn)其作為“函數(shù)”而

言的一般性與特殊性。三角函數(shù)也是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)與方法（如三角變換、向量、解

析幾何、高等數(shù)學(xué)等等）的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，在諸多其他學(xué)科與實(shí)際生活中亦有相當(dāng)廣泛的

應(yīng)用。

（三）教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

從教學(xué)內(nèi)容來看，主要的重點(diǎn)是：

任意角與弧度制的概念、任意角的三角函數(shù)概念和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、其重要

程度，從前至后，逐個(gè)遞增：任意角與弧度制的概念，是任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)；兩

者皆為引出三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)服務(wù)；而圍繞三角函數(shù)圖象與性質(zhì)展開的教學(xué)內(nèi)容

（如：三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)圖象、五點(diǎn)法作圖、函數(shù)圖象的伸縮變換、正弦型

函數(shù)圖象等等），幾乎無一例外，都兼有應(yīng)用廣泛的知識(shí)性和可推廣的方法性或思想性，

同時(shí)，對(duì)學(xué)生而言，通過對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，也將使他們對(duì)前期學(xué)習(xí)的三

角內(nèi)容乃至函數(shù)內(nèi)容有更為深入與全面的理解與掌握。

在學(xué)習(xí)過程中的主要的教學(xué)難點(diǎn)是：

1.直角坐標(biāo)系中的任意角：“終邊相同的角”與直角坐標(biāo)系中角的終邊所在的射

線是數(shù)與形“多對(duì)一”的關(guān)系，但學(xué)生往往因?yàn)槌踔谐Ｓ媒歉拍畹呢?fù)遷移作用，對(duì)此對(duì)

應(yīng)關(guān)系理解不深、使用不準(zhǔn)。教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)、幫助學(xué)生自覺克服思維定式，準(zhǔn)確理解

與應(yīng)用“新”概念。

2.弧度制的概念：學(xué)生往往會(huì)因?yàn)閷?duì)在三角函數(shù)的研究中引入弧度制的必要性認(rèn)

識(shí)不夠明晰，在學(xué)習(xí)初期，盡量使用自己比較熟悉的角度制而回避弧度制，在學(xué)習(xí)后

期，則僅僅限于“記住”一些常用角的表示，卻完全遺忘了弧度制的概念。在教學(xué)中，

教師可根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過程，使學(xué)生理解引入弧度制的必要性，

早用、多用弧度制，切實(shí)落實(shí)常用特殊角角度制與弧度制的互化。

3.三角函數(shù)線之正切線：一般來說，學(xué)生比較容易理解與掌握正弦線與余弦線，

但理解與掌握正切線有一定的難度。而突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵在于幫助學(xué)生充分理解

“有向線段的數(shù)量”及相關(guān)概念。

4.誘導(dǎo)公式：因公式繁多，學(xué)生往往視對(duì)其的記憶為畏途，在使用時(shí)亦易混用或

亂用。教學(xué)中應(yīng)注意幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并落實(shí)準(zhǔn)確記憶誘導(dǎo)公式的方法。

5.函數(shù)的周期性：“函數(shù)的周期性”的表述結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，給學(xué)生準(zhǔn)確、深入地

理解概念帶來不小的困難。但因?yàn)椤爸芷谛浴钡膱D象特征明顯且易把握，所以，只要適

當(dāng)把握與“周期性”有關(guān)問題的難度，則對(duì)概念理解把握不夠深入透徹也不會(huì)過于影響

學(xué)生對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)。

6.函數(shù)圖象的伸縮變換：對(duì)學(xué)生而言，“伸縮變換”本身，不是很難理解，但當(dāng)

“伸縮變換”與其他變換相結(jié)合構(gòu)成復(fù)合變換時(shí)，則易暴露出學(xué)生對(duì)“伸縮變換”的理

解不準(zhǔn)確、不到位。教學(xué)中，可強(qiáng)化函數(shù)圖象復(fù)合變換的一般方法的教學(xué)，來幫助學(xué)生

克服這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

二、”三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的教學(xué)策略

(-)關(guān)注“任意角”承上啟下的功能

我們可以從下述幾個(gè)方面來看“任意角”的承上啟下功能。

1.初、高中角的兩種常用概念的異同

初中高中

平面內(nèi)具有公共頂點(diǎn)的兩平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置

概念

條射線形成的圖形。旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。

圖形靜態(tài)動(dòng)態(tài)

角度值算數(shù)量代數(shù)量

取值范(CD360"R

圍

由上面的對(duì)比可見，高中階段角的概念是初中階段常用角的概念自然的推廣。高中

階段角的概念與初中階段相比，角的形成過程由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、角的范圍由有限擴(kuò)展至全

體實(shí)數(shù)，這是后一階段學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)與三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)。

在教學(xué)過程中，因特別注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注初、高中角的概念的不同，避免初中學(xué)習(xí)

內(nèi)容的負(fù)遷移。

2.任意角的表示

任意角的幾何或代數(shù)表示，發(fā)展性地應(yīng)用了前期學(xué)習(xí)的一些知識(shí)和方法。對(duì)這部

分學(xué)習(xí)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解，將有助于學(xué)生更為準(zhǔn)確、深入地掌握后繼的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

(1)坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示：

直角坐標(biāo)系這?數(shù)形結(jié)合的工具，在初中和高中函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已

經(jīng)多有運(yùn)用，但前期學(xué)習(xí)過程中，通常都是“一對(duì)一”的-----組坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一

個(gè)函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)一個(gè)圖象等等。坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示，則是“多對(duì)一”一

“多”組數(shù)對(duì)應(yīng)“一”條終邊。

在教學(xué)中，我們可以通過多媒體演示或制作一些小課件模型來幫助學(xué)生了解與體會(huì)

“任意角”所在的直角坐標(biāo)系平面，是無限多“層”相聯(lián)相“疊合”而成的，每一個(gè)具

體的角度值，都將唯一的對(duì)應(yīng)著某一“層”中的一條終邊。

(2)任意角的集合表示:

A'-"2fa計(jì)字結(jié)合

我們可以用集合的形式來表示終邊相同的角，如:

以前學(xué)過的集合確定性、無序性、互異性的知識(shí)，可以更好地了解集合A各種等價(jià)的表

達(dá)形式。

我們也經(jīng)常用無數(shù)個(gè)集合的并集來表示終邊落在直角坐標(biāo)系中某一區(qū)域內(nèi)的角。

（2fapt--,21X+4Lkd

如，終邊在第二象限的角，可以表示為2,強(qiáng)調(diào)這是一種“并集”

的表達(dá)形式，往往可以幫助學(xué)生更好地把握終邊在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角數(shù)與形“多對(duì)一”的

含義，也更有利于在今后的學(xué)習(xí)過程中更準(zhǔn)確地處理單調(diào)區(qū)間、解三角方程或（簡單的）

不等式等相關(guān)問題。

（~）適度解讀弧度制的意義

在學(xué)習(xí)了角度制以后，為什么還要引進(jìn)弧度制？一種常見的“理由”是認(rèn)為角度制

為六十進(jìn)制，弧度制是十進(jìn)制的實(shí)數(shù)，這樣的解釋，不甚妥當(dāng)，因?yàn)槲覀兒苋菀滓远龋ǎ?/p>

為單位，將任何一個(gè)角度值用十進(jìn)制表示，如：a="Mf=305"。

事實(shí)上，引進(jìn)弧度制的根本原因，是角度制所表示的角度值，是一個(gè)帶量綱的數(shù)

量，而弧度制表示的角度值則不帶量綱，如：在弧度制中，的意義非常明確，但在

角度制中“?=1顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的表示方式，必須表達(dá)為“或“E

等等。

數(shù)學(xué)，更為關(guān)心數(shù)量之間的關(guān)系，不甚關(guān)心運(yùn)算過程中量綱的變化。特別的，有

不少變量關(guān)系，常常會(huì)通過角度值或角度值與三角函數(shù)值之間的運(yùn)算來表達(dá)（如圓的漸開

線，阿基米德螺線等等），因此，以無量綱的量來表示角的大小就成為必然的要求。但

是，學(xué)生由于知識(shí)和實(shí)際體驗(yàn)有限，有很多能體現(xiàn)這種必要性的具體事例，不方便也不

必要向?qū)W生介紹，因此，可以盡可能利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來向?qū)W生說明引進(jìn)無

量綱的弧度制來度量角的大小的必要性。

這里介紹一個(gè)引入弧度制的教學(xué)案例：

教師請(qǐng)同學(xué)們快速翻閱一下“三角函數(shù)”這一章的內(nèi)容，并提示：我們最終將以角

度為自變量x、因變量為三角函數(shù)y,如，=a工，畫出三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖

象。那么，x軸與y軸上的單位長度的比值如何選定是比較合理的？學(xué)了三角函數(shù)以

后，研究一些常見函數(shù)與三角函數(shù)構(gòu)成的組合函數(shù)也是必要的，那么，如果我們要作

事二工.』工、工的圖象，怎么辦呢？

通過教師的引導(dǎo)與學(xué)生的討論，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角函數(shù)值是無量綱值，如果我們

能用無量綱值來表示角度值，上述問題就比較容易解決了。通過回顧直角

三角形中正弦函數(shù)的定義方法，觀察以a為圓心角的扇形中，如何能類比正弦值的

表示方法來得到角&的（無量綱）表示方法：

進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生了解弧度制的概念：a=r

（三）有效發(fā)揮單位圓的作用

新課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“單位圓”的教學(xué)建議時(shí)說：“單位圓可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)

任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系

式，以及三角函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)。借助單位圓的直觀，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主地探

索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)他們分析問題和解決問題的能力?！庇纱丝梢钥吹剑皢?/p>

位圓”作為重要的數(shù)形結(jié)合工具，在幫助學(xué)生理解、掌握知識(shí)、提高能力方面，都可以

發(fā)揮有效的作用。

我們可以由“函數(shù)及性質(zhì)”的研究為主線，來認(rèn)識(shí)、把握與發(fā)揮“單位圓”在教學(xué)

過程中的主要作用。

1.任意角的三角函數(shù)定義：定義域、解析式與值域是研究函數(shù)的三個(gè)基本要素。

將三角函數(shù)定義與單位圓相結(jié)合，顯然使得這些問題的研究變得更為直觀與簡捷。

2.三角函數(shù)性質(zhì)：單位圓與三角函數(shù)線使得對(duì)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期

性的研究變得直觀且簡單。

3.三角函數(shù)圖象：由于借助三角函數(shù)線我們已經(jīng)對(duì)三角函數(shù)的基本性質(zhì)有了初步

的認(rèn)識(shí)，在利用“單位圓”描點(diǎn)作圖時(shí)?，“點(diǎn)”的選取、“圖”的性質(zhì)也就比較容易確

定了。

4.誘導(dǎo)公式：從函數(shù)的角度看，“誘導(dǎo)公式”即不同自變量的函數(shù)值之間的關(guān)

系。“誘導(dǎo)公式”的教學(xué)過程，我們可以設(shè)計(jì)為兩個(gè)角的終邊具有關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱、關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱和相互垂直關(guān)系時(shí)，利用單位圓，獲得三角函數(shù)值間的關(guān)系的過程；也可以

設(shè)計(jì)為利用“單位圓"這一數(shù)形結(jié)合的工具，尋求最簡單三角函數(shù)方程解的結(jié)果的過

程。無論是前一種由“形”到“數(shù)”的過程，還是后一種由“數(shù)”到“形”的過程，

都可以在幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提高數(shù)形結(jié)合與自主探究的能力，也會(huì)有利于學(xué)生理解

與記憶誘導(dǎo)公式。

當(dāng)然，當(dāng)我們借助單位圓這一數(shù)形結(jié)合的有效工具得到三角函數(shù)圖象以后，上面所

羅列的知識(shí)，幾乎都可以從三角函數(shù)圖象上體現(xiàn)出來，所以，單位圓在教學(xué)過程，不僅

應(yīng)該考慮“有效果”，也應(yīng)與后繼課程的教學(xué)統(tǒng)籌考慮，避免過于拖沓、重復(fù)，力求

“有效率”。

（四）突出“同角三角函數(shù)關(guān)系”中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用

同角三角函數(shù)關(guān)系，學(xué)生已經(jīng)在初中的直角三角形學(xué)習(xí)中有所接觸，學(xué)習(xí)過程中所

遇到的求值、化簡、證明等問題，與后面將要學(xué)習(xí)的三角變換相比，難度也不太大，但

所涉及的方法，卻有很多是類同的。因此，我們?cè)诮虒W(xué)過程中，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注

初高中研究同類方法時(shí)的異同，避免初中知識(shí)的負(fù)遷移，也應(yīng)注意突出數(shù)學(xué)思想方法的

應(yīng)用，為后繼課程的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

我們可以從下列幾個(gè)方面注意突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用：

1.程序化地思考

在一些求值或化簡過程中，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)楹雎粤巳我饨堑娜≈捣秶霈F(xiàn)錯(cuò)誤，

我們可以將這類問題的解決過程分解為兩步程序：

（1）確定“絕對(duì)值”，

（2）確定“符號(hào)”。

如：已知—工一■,求

解題過程可以分解為：

（1）確定

(2)據(jù)x所在象限或半軸，確定出?工、"?的符號(hào)，得出正確結(jié)果。

2.轉(zhuǎn)化或化歸的方法

在求值與證明問題時(shí)，我們常常會(huì)用“化弦”的辦法解決問題，在遇到一工,。■工

齊次問題時(shí).，我們常常可將齊次關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于一工的一元關(guān)系，這樣的轉(zhuǎn)化，即是

消元思想的應(yīng)用。

在處理證明問題時(shí)，我們可以用比較法，這本質(zhì)上是將變形問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的

化簡問題。

3.方程思想

同角三角函數(shù)關(guān)系可以視為是關(guān)于"X、

口《、一工這三個(gè)變?cè)膬蓚€(gè)方程，所以，知其一，必可求余二。

在教學(xué)過程中，不斷明確指出這些思想方法的作用，既可以幫助學(xué)生較好地完成當(dāng)

下的學(xué)習(xí)任務(wù)，也會(huì)對(duì)學(xué)生更好地理解與掌握這些方法有幫助，進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用這

些思想方法的自覺性。

4.綜合應(yīng)用的一個(gè)例子

門小MZ-1

/C0=L__.

例(08重慶10)函數(shù)-2一工(的值域是

(B)。

(A)[-T-°]

(B)[-1,0]

(c)[-五。]

(D)[--AO]

/W=-1<--

分析：顯然，當(dāng)&x=。時(shí)，2,可排除A選項(xiàng)。于是問題轉(zhuǎn)

化為分母應(yīng)與1-*工比大小，由6T?AZOMAJQ—-可知

應(yīng)選Bo

在此題中，同角三角函數(shù)關(guān)系起到了至關(guān)重要的作用，此公式

中，“常數(shù)”與三角函數(shù)的平方項(xiàng)實(shí)現(xiàn)互相替換，是解決三角函數(shù)問題比較常用的方法

之一。一般來說，選擇有關(guān)三角函數(shù)的綜合性試題時(shí)，應(yīng)注意：題面可以比較新穎、

解題過程綜合性可以比較強(qiáng)，但解決問題的思路、策略，應(yīng)該能體現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)思想方

法，有利于提高學(xué)生靈活使用基本知識(shí)方法的能力。

（五）全面把握正弦函數(shù)作為“函數(shù)”的一般性與特殊性

三角函數(shù)作為一種應(yīng)用廣泛的“函數(shù)”而言，既具有函數(shù)的“通性”，亦具有（與

以前學(xué)生接觸過的函數(shù)相比）自身的“特性”。我們可以用下列表格來表示在對(duì)三角函數(shù)

的探究與應(yīng)用時(shí)?，我們?cè)趯?duì)函數(shù)的探究、應(yīng)用中通常都會(huì)關(guān)心的主要問題，即所謂“一

般性”，與對(duì)三角函數(shù)特別關(guān)心的問題，即“特殊性”。

一般性特殊性備注

三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)

定義系：

由象限角引

域，解析

入的比值函數(shù)

式、值域“（無窮）多”對(duì)

“—■，，

函數(shù)性

質(zhì)

周期性存在性命題

（單調(diào)

性，奇偶性

等）

作利用三角函

函數(shù)形結(jié)合

圖數(shù)線作圖

數(shù)圖

象

圖與X軸交注意：

象點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)、

性對(duì)稱軸周期

質(zhì)性出現(xiàn)。

1的應(yīng)

用。

限制定義域后，

反函數(shù)已知三角函

*數(shù)值求角。

才可有反函數(shù)。

“值域”與

關(guān)注基本模型，

組合或“換元法”，

函數(shù)的周期

復(fù)合函數(shù)

性……難度適可而止。

關(guān)于上述表格的補(bǔ)充說明：

1.關(guān)于定義域、解析式、值域

由象限角引入的正弦函數(shù)，使我們面臨兩個(gè)直角坐標(biāo)系——象限角所在的直角坐標(biāo)

系與7的圖象所在的直角坐標(biāo)系，這兩個(gè)“系”中，此x非彼x,此y彼y,此

“象限”也非彼“象限”，在教學(xué)之初，應(yīng)明確指出期間的聯(lián)系與差別，以避免學(xué)生混

用。

多對(duì)一的（函數(shù)）對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生并不是第一次接觸，他們最為熟悉的“多對(duì)一”

函數(shù)模型，是二次函數(shù)，但二次函數(shù)之“多”，最多為兩個(gè)，與正弦函數(shù)之“無窮多”

還是不能同日而語。所以，在最初教師做正弦函數(shù)圖象時(shí)，要多畫幾個(gè)周期，以幫助

學(xué)生較好的建立“無窮多對(duì)一”的直觀形象記憶。

正弦函數(shù)的值域?yàn)橛邢迏^(qū)間，我們?cè)谔幚砼c值域有關(guān)的問題時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生與

以前常見的值域有限制的函數(shù)（如：反比例函數(shù)、（定義域?yàn)橛邢迏^(qū)間的）二次函數(shù)、指

數(shù)函數(shù)等等）研究同類問題時(shí)的常用方法做比較，以促進(jìn)前期學(xué)習(xí)內(nèi)容的正遷移。

2.關(guān)于函數(shù)性質(zhì)

對(duì)周期性的探究與應(yīng)用，與前期學(xué)習(xí)過的單調(diào)性、奇偶性有不少共同點(diǎn)：

（1）函數(shù)性質(zhì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述，皆為自變量的變化，導(dǎo)致因變量的變化；

（2）關(guān)注由概念而可推知的定義域的特點(diǎn);

（3）函數(shù)性質(zhì)都有明確、明顯的圖象特征。

周期性與單調(diào)性、奇偶性的不同點(diǎn)在于周期性的概念敘述，是“存在性”命題，一

般來說，利用“存在性”來判定給定函數(shù)是否具有滿足命題的特征時(shí)，比較困難。特別

的，對(duì)學(xué)生將要接觸的組合或復(fù)合型函數(shù)，要想利用周期性符號(hào)語言的概念來判定、證

明其是否滿足周期性，是否存在最小正周期，有些問題將相當(dāng)困難。但是，若能通過圖

象變換等方法，做出待判定的函數(shù)圖象，則判斷函數(shù)是否存在周期性、求出函數(shù)的最小

正周期往往就比較容易。

由此可知，我們?cè)凇爸芷谛浴钡慕虒W(xué)過程中，多強(qiáng)調(diào)函數(shù)性質(zhì)研究的共同性、多用

數(shù)形結(jié)合作為探究與應(yīng)用的工具，適度控制應(yīng)用符號(hào)語言解決問題的難度，可能是比較

適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略。

3.關(guān)于函數(shù)圖象

由于前期學(xué)習(xí)，在單位圓背景下學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)的圖象有了初步的認(rèn)識(shí)，所以，與

以往用“描點(diǎn)作圖”的方法做出函數(shù)圖象相同的是：我們會(huì)根據(jù)對(duì)定義域、函數(shù)性質(zhì)的

分析選點(diǎn)作圖；比較特殊的是我們可以利用三角函數(shù)線這一數(shù)形結(jié)合的工具來實(shí)現(xiàn)選

點(diǎn)、描點(diǎn)、連線等步驟。

與前期學(xué)習(xí)一樣，我們會(huì)關(guān)注圖象的幾何特征。特別的，正弦函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱

軸、平衡軸等圖象特征，將在正弦型函數(shù)圖象研究中再次起到關(guān)鍵作用，所以，我們可

以在研究正弦函數(shù)圖象性質(zhì)時(shí)為后期的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

4.關(guān)于反函數(shù)*

在函數(shù)研究中，特別是學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)后，關(guān)注反函數(shù)的存在與否，是

很自然的。特別的，在后期利用空間向量計(jì)算立體兒何中的成角問題，也可以不回避

等符號(hào)的使用。

但是，為了更好地突出知識(shí)方法的主線，新課標(biāo)在三角函數(shù)這部分，刪去了關(guān)于反

三角函數(shù)、反三角函數(shù)值與已知三角函數(shù)值求角等知識(shí)方法的要求。因此，我們可以

根據(jù)學(xué)生的情況，對(duì)此部分做不同的教學(xué)要求。

最低層次：因?yàn)檎液瘮?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為“多對(duì)一”，所以，不存在反函數(shù)。

中等層次：介紹符號(hào)?4工，指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器與誘導(dǎo)公式或正弦函數(shù)圖象解

決“知三角函數(shù)值求角”問題。

較高層次：介紹一2工的反函數(shù)事=?』胃足『14,對(duì)此函數(shù)

的圖象、性質(zhì)等等進(jìn)行探究，也可以結(jié)合研究性學(xué)習(xí)等學(xué)生的探究活動(dòng)，組織有興趣的

學(xué)生，自行探究反三角函數(shù)。

5.關(guān)于組合或復(fù)合函數(shù)

關(guān)于三角函數(shù)的組合或復(fù)合函數(shù)的問題繁多，有些問題難度較大，在處理這部分問

題時(shí)，可從下列幾點(diǎn)考慮篩選問題：

1.提出問題要自然：所謂“自然”，就是可將前期學(xué)習(xí)過程中曾經(jīng)遇到過的問

題，與正弦函數(shù)或其他三角函數(shù)的知識(shí)相結(jié)合，提出當(dāng)下探究的新問題。

2.重點(diǎn)模型要落實(shí)：所謂“重點(diǎn)模型”，主要是指前期、當(dāng)下、后繼的學(xué)習(xí)過程

中都可能研究的問題。

3.問題難度要適當(dāng)：有些很“自然”的問題，解決起來未必很容易，則可以“提

而不做”指出研究的“難度”，鼓勵(lì)有興趣的學(xué)生進(jìn)一步探究，但不要求全體學(xué)生皆理

解、落實(shí)解決問題的途徑與方法。如：要求學(xué)生研究函數(shù)門0=2=‘工+三工-3的

值域，是比較適當(dāng)?shù)膯栴}，但要求全體學(xué)生研究該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就不甚適當(dāng)。再

如：要求學(xué)生判斷事=立國是否周期函數(shù)，是比較適當(dāng)?shù)膯栴}，但要求全體學(xué)生掌握證

明其不是周期函數(shù)的方法，就不甚適當(dāng)。

對(duì)于余弦函數(shù)、正切函數(shù)的教學(xué)策略，我們?nèi)匀豢梢耘c正弦函數(shù)類同，以“函數(shù)”

研究作為主線展開；同時(shí)，我們也應(yīng)關(guān)注這兩個(gè)基本三角函數(shù)研究與應(yīng)用中與正弦函數(shù)

的關(guān)聯(lián)和不盡相同的特點(diǎn)。對(duì)這些“同”與“不同”之處的處理，可以進(jìn)一步體現(xiàn)研

究函數(shù)問題的一般思路和特殊的解決辦法。

（六）適當(dāng)選擇、使用兩種數(shù)形結(jié)合的工具探究正弦型函數(shù)

我們通常會(huì)用兩個(gè)工具來描繪正弦型函數(shù)/的圖象，并探究其

函數(shù)性質(zhì)與圖象性質(zhì)。

1.五點(diǎn)法作圖

五點(diǎn)法作圖，從本質(zhì)上看，是用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)結(jié)合換元法（令N=H+.）來解

決作圖問題，于是，在數(shù)學(xué)必修-學(xué)習(xí)的關(guān)于復(fù)合函數(shù)與換元法的思想皆可在這個(gè)工具

下有所體現(xiàn)。進(jìn)一步，我們也可以利用換元法的思想來考慮函數(shù)圖象的幾何特點(diǎn)。

儂9?如zgpg),且2

在區(qū)間1丁豆!有最小值，無最大值，則,二可。

■?■■■■,■?-r1t

分析：令多，則r63r33,于是“在區(qū)間

有最小值，無最大值”這一條件可等價(jià)為“網(wǎng)刀=看》在區(qū)間/眼有最小值無

乂工+房）=咎?IfajkeZ

最大值”，則有①：22，②：———<*?■,可據(jù)此解得

M

不。此題目也可以根據(jù)“五點(diǎn)法作圖”大致描出》"◎的圖像，再根據(jù)題目

條件推理判斷出條件①、②，最后解決問題。

2.伸縮變換

圖象的伸縮變換，也可以用來解決正弦型函數(shù)的作圖與性質(zhì)討論等問題。但是，

在學(xué)習(xí)過程中，可能有兩個(gè)難點(diǎn)：

（1）由坐標(biāo)變換的觀點(diǎn)看.”?'等參數(shù)對(duì)圖象形狀的影響，一般來說，可

以用多媒體輔助教學(xué)等方法幫助學(xué)生了解這些參數(shù)的作用，比較有效地利用幾何直觀幫

助學(xué)生記憶結(jié)論；

（2）伸縮變換與以前學(xué)過的其他變換（如平移、對(duì)稱等等）結(jié)合，構(gòu)成復(fù)合變換

時(shí)，學(xué)生比較容易出錯(cuò)。一般來講，可以用逐步分解、規(guī)范表達(dá)復(fù)合過程的方法來幫

助學(xué)生正確處理復(fù)合變換問題。

例（08全國一（理）8）為得到函數(shù)I3,的圖像，只需將函數(shù)

「==工的圖像（A）。

A.向左平移近個(gè)長度單位

&E

B.向右平移五個(gè)長度單位

5K

C.向左平移?■個(gè)長度單位

如

D.向右平移~6個(gè)長度單位

分析：這類問題，可以程序化地分解為如下程序：

(1)據(jù)誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；

(2)用平移變換的代數(shù)表達(dá)XT*一?寫出變換后解析式;

(3)再求出平移參數(shù)爭應(yīng)滿足的方程；

(4)最后確定正確選項(xiàng)。

例如，例5的解題過程為：

-2r="

(3)列方程：據(jù)(1)、(2)可,知6(*)；

(4)得結(jié)論：據(jù)(*)式與選項(xiàng)，知應(yīng)選A,

對(duì)具體題目而言，比較規(guī)范的解題程序，不一定是最“好”的解題辦法，但因?yàn)槊?/p>

一步都易理解、好操作，且皆回歸最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)方法，所以往往是比較“保險(xiǎn)”的

方法。

3.例說兩種方法的使用與比較

我們用一個(gè)例子來說明兩種方法的使用與比較:

----7

例：求，的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸。

由“五點(diǎn)法作圖”的方法來看：

令3,則事是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，特別地，因?yàn)?/p>

內(nèi)層函數(shù)為減函數(shù)，所以，必當(dāng)外層函數(shù)，=五刀為遞增區(qū)間時(shí)，是

尸=加0期關(guān)于X的單減區(qū)間。

由于，=力4當(dāng)y取最值的時(shí)候，函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上，所以，令

--2x=fcr+-.*eZ

32,可解得圖象對(duì)稱軸方程。

由“圖象（復(fù)合）變換”的方法來看：

我們可以通過逐次變換的方法，先作圖，后從圖上讀出結(jié)論。

可以以下列方式表達(dá)作圖過程中的變換：

y=aaz—?jr=癡g）■—j=12K.手一、事=

也可以以另一種順序變換作圖：

如果我們要求學(xué)生在做復(fù)合變換題目時(shí)，都能如上逐步寫出符號(hào)表達(dá)，并逐步畫出

對(duì)應(yīng)的變換前后圖象，就有可能有效減少學(xué)生在做此類題目時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。特別地，

這種方法，對(duì)解決各類復(fù)合變換作圖問題，皆可使用。

由上兩種處理問題的方法可知，“五點(diǎn)法作圖”所用的復(fù)合函數(shù)與換元法思想，比

較簡捷，在解決函數(shù)問題時(shí)，也更具有一般性和廣泛性。

三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測(cè)

（-）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對(duì)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的要求

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的要求可分為三個(gè)層次，其中：

1.層次A（了解）：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有初步的認(rèn)識(shí)，會(huì)在有關(guān)問題中進(jìn)行識(shí)別與直

接應(yīng)用。

2.層次B（理解）：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有理性的認(rèn)識(shí)，能夠解釋、舉例或變形、推

斷，并能利用所列的知識(shí)解決簡單問題。

3.層次C（掌握）：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識(shí)，形成技能，并能利用所

列知識(shí)解決有關(guān)問題。

其中高一級(jí)的知識(shí)要求包含低一級(jí)的要求。

我們可以從下表來看各知識(shí)內(nèi)容的要求：

要求層次

知識(shí)內(nèi)容

ABC

1任意角的概念與弧度制J

2弧度與角度互化V

3任意角的正弦、余弦、正切的定義V

4用單位圓中的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)V

5誘導(dǎo)公式V

6同角三角函數(shù)基本關(guān)系7

7周期函數(shù)定義、三角函數(shù)的周期性

8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

9正弦型函數(shù)的圖象7

10用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題V

在高考中，對(duì)3、6、7、9等知識(shí)內(nèi)容皆可能提出更高一級(jí)的要求。7、

8、9等知識(shí)內(nèi)容也可能在綜合性較強(qiáng)的題目中有所應(yīng)用。

(-)典型題目的檢測(cè)分析

在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，我們可以選用一些典型的題目來測(cè)驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的掌握

程度。我們可以以隨堂測(cè)試、階段性練習(xí)、模塊考試等等不同形式的筆試方法對(duì)學(xué)生

進(jìn)行形成性檢測(cè)，主要了解教學(xué)內(nèi)容中知識(shí)與技能是否為學(xué)生所掌握；我們也可以通過

課上提問或課下輔導(dǎo)、課后探究性作業(yè)等等方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行過程性檢測(cè)，在檢測(cè)中盡可

能使學(xué)生暴露思維過程，同時(shí)通過有針對(duì)性的師生、生生等交流形式幫助教師與學(xué)生調(diào)

整教與學(xué)的方式，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，有效提高學(xué)習(xí)能力。

在形成性測(cè)試時(shí)，同類題目，我們可以根據(jù)不同的學(xué)習(xí)階段或?qū)W生學(xué)習(xí)水平，選擇

不同的問題，以便更準(zhǔn)確地了解學(xué)生不同的認(rèn)知層次。

我們可以通過下面幾個(gè)問題，例說題目的選擇與檢測(cè)分析。

例1已知■是第二象限角，

(1)圖示角左的終邊所在區(qū)域M；

(2)圖示角2。的終邊所在區(qū)域N；終邊在區(qū)域N中的角的范圍與角二。的取

值范圍一樣嗎？為什么？；

(3)你能表達(dá)圖示7"”的終邊所在區(qū)域的一般規(guī)律嗎？

簡答：

(1)

(2)圖如右示；不一樣，終邊在區(qū)域N中的角的范圍為

角2“的取值范圍是g+，＜fa+2?7wX；

0

(3)均勻分布的n個(gè)區(qū)域(答案不唯一)。

例1中的第(1)問，在形成性檢測(cè)或過程性檢測(cè)時(shí)皆可用，在形成性檢驗(yàn)中，

學(xué)生的常見錯(cuò)誤是：

(a)只畫了第一象限的部分。導(dǎo)致這樣錯(cuò)誤的可能性很多，但大多數(shù)學(xué)生的錯(cuò)

誤原因可能是：誤將“。是第二象限角”與“S'"”等價(jià)，得到亍蛇日?會(huì)的

錯(cuò)誤結(jié)論，這主要是不能很好理解任意角與終邊的“多對(duì)一”關(guān)系所致；或者先將第二

象限角作出，將其所在區(qū)域或“邊界”“折半”，這往往是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合方法使用不當(dāng)

造成的。這些錯(cuò)誤都可以通過要求學(xué)生理解、落實(shí)規(guī)范的解決問題程序加以矯正。

即要求學(xué)生：

i)用不等式或區(qū)間形式準(zhǔn)確表達(dá)。的取值范圍，特別應(yīng)注意邊界值的多對(duì)一關(guān)

系；

ii)通過計(jì)算得到左的取值范圍，特別注意應(yīng)對(duì)邊界值中的“亦進(jìn)行相應(yīng)

的運(yùn)算；

iii)畫出卷的終邊所在區(qū)域，特別注意，可以結(jié)合試K的取值得到所有滿足條件

的區(qū)域。

(b)區(qū)域邊界為實(shí)線。這些學(xué)生，基本掌握了解決問題的方法，但因注意更為準(zhǔn)

確地將“不等號(hào)”中是否包涵“相等”關(guān)系與“邊界”的虛實(shí)建立正確對(duì)應(yīng)關(guān)系。在過

程性檢測(cè)時(shí).，將更為側(cè)重學(xué)生是否會(huì)有意識(shí)地先解決角I“數(shù)”的表達(dá)形式，再將

上計(jì)3上"

242轉(zhuǎn)化為“形”的表達(dá)，觀察學(xué)生的做題過程，我們可以比較清

晰地了解，學(xué)生是否有使用數(shù)形結(jié)合方法的意識(shí)，使用過程是否準(zhǔn)確，學(xué)生是否了解任

意角與終邊的“多對(duì)一”的關(guān)系，等等。

第（2）問的第一小問難度不大，但第二小問常常會(huì)導(dǎo)致一些學(xué)生的困惑。這道題

比較適合在過程性檢驗(yàn)中使用，能更好地幫助教師了解學(xué)生對(duì)任意角與終邊“多對(duì)一”

關(guān)系的各層含義的了解程度。

第（3）問，不僅需要學(xué)生對(duì)任意角與終邊“多對(duì)一”關(guān)系有比較準(zhǔn)確的理解，也

需要學(xué)生對(duì)“周期性”的概念有一定的體悟，同時(shí)具備一定的歸納能力，因此，比較適

合作為課后探究類的題目請(qǐng)學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)意愿與能力自主完成，教師可據(jù)其完成

時(shí)探究的主動(dòng)性與完成的質(zhì)量檢測(cè)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平與學(xué)習(xí)能力。

?2o.-Giein

例1中的（1）、（2）、（3）皆可加“寫出G（或■”等）的

取值范圍”這一要求，這樣可以更準(zhǔn)確地診斷學(xué)生出錯(cuò)的原因，但加這一問，有可能會(huì)

降低題目的難度，所以教師可以根據(jù)測(cè)試的目標(biāo)與學(xué)生的狀況選擇設(shè)問方式。

已知函數(shù)出=嫉《事》。

例22K+

(1)求&的值域;

(2)當(dāng)時(shí)，求出的值域。

簡答:

工一三對(duì)

1)■

(2)

例2第（1）問主要檢測(cè)學(xué)生是否能注意到通過令。=事工可以將函數(shù)表示為關(guān)

于新元的二次函數(shù)在有限域［T衛(wèi)上求值域問題，從而可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)“換元法求函數(shù)

值域”和“正弦函數(shù)的值域”等知識(shí)方法的掌握情況。如：有些學(xué)生將值域錯(cuò)求為

[-1圓，這通常是因?yàn)閷W(xué)生沒有“換元”的意識(shí)，而是僅僅將,‘工，工的值域簡單疊

加而成；有些學(xué)生將值域錯(cuò)求為這些學(xué)生基本掌握了“換元法求值域”的想

法，但未意識(shí)到正弦函數(shù)的值域?qū)π伦冊(cè)x域的影響。第（2）問除兼有第（2）

問檢測(cè)的內(nèi)容外，還可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)單調(diào)性的理解程度。如，有些學(xué)生將值域

錯(cuò)解為血之未注意當(dāng)e凄"時(shí)是非單調(diào)函數(shù)。

例2中的兩問，作為過程性檢測(cè)或形成性檢測(cè)題目皆比較適宜。

上述兩道例題，分別是在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，“學(xué)習(xí)新知”與“新舊結(jié)合”類

檢測(cè)題目的示例，教師們可以根據(jù)我們教學(xué)的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，選擇、改編、開

發(fā)出更多有助于我們了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況、幫助我們落實(shí)教學(xué)要求、幫助學(xué)生矯正、深化

對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知的題目。

【話題】

1.如何指導(dǎo)學(xué)生更快更準(zhǔn)地記住三角函數(shù)部分的概念與公式？

2.單位圓與三角函數(shù)圖象，哪個(gè)更重要？

3.五點(diǎn)法作圖與伸縮變換，哪個(gè)更重要？

4.談?wù)労瘮?shù)的周期性。

5.如何在教學(xué)過程中滲透函數(shù)思想？

【案例評(píng)析】

與以往的數(shù)學(xué)要求相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念更為強(qiáng)調(diào)學(xué)生為提供更為開闊的思

維空間和發(fā)展空間，這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中給予學(xué)生適度的思考時(shí)間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)

容與思維過程的機(jī)會(huì)，而課程的設(shè)置，往往會(huì)使得教師們感到教學(xué)進(jìn)度比以往“緊”了

不少，如何在具體的教學(xué)過程中克服這一矛盾，是新課程實(shí)施過程中每個(gè)教師都必須認(rèn)

真對(duì)待的課題。程國紅老師在這節(jié)課上比較好的展現(xiàn)了她對(duì)這個(gè)問題的解決方法與途

徑：突出表現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的基本思想與方法，從而使得教學(xué)過程重點(diǎn)突出，簡約流

暢。

在教學(xué)過程中，程國紅老師有幾個(gè)地方處理得很好：

1.探究的途徑突出、鮮明：程老師牢牢把握了利用單位圓將三角函數(shù)“簡約”為

“一個(gè)變量”的想法，進(jìn)而順利實(shí)現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來“統(tǒng)一”

表達(dá)三角函數(shù)這一主線，其中“最簡化”、“統(tǒng)一”的要求，在教學(xué)過程中被反復(fù)強(qiáng)調(diào)

著，而這樣的理念或思想，既能體現(xiàn)本節(jié)課數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，也在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中

占據(jù)著重要的地位，具有普適性。

2.探究的過程有一定的層次性：可以看到，在探究過程中，“引入單位圓”、

“確定正弦函數(shù)線”、“確定正切函數(shù)線”這三個(gè)環(huán)節(jié)中各有各的難點(diǎn)，程老師在處理

這些難點(diǎn)時(shí)也各有不同：引入單位圓，學(xué)生比較難以想到解決問題的方法，程老師更多

的是通過自己的講解，將引進(jìn)“單位圓”的目的、作用清晰準(zhǔn)確表述出來；對(duì)正弦函數(shù)

線，學(xué)生可以有幾何的直觀感受，但可能很難表述一些諸如“有向線段”、“有向線段

的數(shù)量”等等比較數(shù)學(xué)化的概念，程老師就隨時(shí)補(bǔ)充這些概念的說法，同時(shí)將學(xué)生的注

意力主要集中到關(guān)注“圖形”與“數(shù)量”的對(duì)應(yīng)關(guān)系上來，自然而然地突出了探究與確

定“三角函數(shù)線”的形成過程與基本方法，在這個(gè)階段，程老師給學(xué)生提供了更為開闊

一些的空間；到研究“正切函數(shù)線”時(shí)，學(xué)生則自覺或不自覺地在用探究''正弦函數(shù)

線”的方法，解決新的問題，程老師只是在關(guān)鍵之處略加提醒、點(diǎn)撥，而且“點(diǎn)撥”的

重點(diǎn)，也僅僅是突出基本思想方法，重申“最簡”與“統(tǒng)一”的原則而已。

3.探究過程中，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)比較得當(dāng)、適度：教師在課堂上對(duì)學(xué)生探究過程評(píng)

價(jià)，往往直接影響到學(xué)生參與探究的熱情與質(zhì)量。程國紅老師比較注意挖掘與肯定學(xué)生

在回答問題的過程中比較有價(jià)值的地方，適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生越過障礙搭橋墊碗，使得課堂氣

氛活而不散，熱而不亂，也保證了課堂的師生對(duì)話、交流能順暢地進(jìn)行。

在本節(jié)課教學(xué)過程中，也有一些遺憾。比如，在最開始提出能否“用一個(gè)量來刻畫

正弦值”，問題本身不夠明確，當(dāng)一位學(xué)生按他的理解，試圖以函數(shù)思想來解決問題（盡

管似乎此路不通）時(shí)，程老師可能對(duì)學(xué)生的想法也不甚明白，只得先予以否定。這一師生

溝通不夠順暢的片斷，實(shí)際上正是反應(yīng)了我們?cè)谡n堂上經(jīng)常會(huì)遇到的問題：如何提高一

個(gè)問題的“引導(dǎo)性”價(jià)值，盡可能降低“誤導(dǎo)性”或“誤解性”？在與學(xué)生交流的時(shí)

候，教師由于對(duì)所教的知識(shí)方法很熟練，很明確，所以往往會(huì)自覺不自覺地以是否接近

教師所期待的答案來評(píng)價(jià)學(xué)生回答問題的方向或價(jià)值，而那些“正確”與“謬誤”混雜

的、比較出乎意料的答案，往往比較容易因我們對(duì)學(xué)生的想法不能明了而受到一定的忽

視或否定。因此，這也向我們提出了一個(gè)值得教師們關(guān)注與深入探究的問題：在實(shí)施新

課標(biāo)課程的過程中，教師應(yīng)如何不斷提高自己與學(xué)生在課堂上即時(shí)溝通的能力，以進(jìn)一

步提高課堂教學(xué)的效益。

思考與活動(dòng)

1.思考“周期性”這一概念，與單調(diào)性、奇偶性概念的異同，與同校的物理老師

交流，周期性在物理學(xué)科中的應(yīng)用與教學(xué)過程。

2.思考或在教學(xué)實(shí)踐中觀察整理，下述問題的解題過程中，學(xué)生比較容易想到的

解題方法是哪些？容易出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤？如何強(qiáng)化有效的解題策略，矯正思維錯(cuò)誤？

已知：2%'工+』'，=』/則占2=+*^，的取值范圍是。

參考答案：皿?

3.任選教材中一節(jié)，搜集整理十個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因，擬定矯正策略，

并在教學(xué)中實(shí)施，以考察或各別談話的方式了解矯正策略的作用。

參考資料

【相關(guān)資源】

1.三角函數(shù)線教學(xué)課堂實(shí)錄

2.初等函數(shù)（2）教材分析

3.以交流電為模型學(xué)習(xí)正弦函數(shù)

4.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)探討.pdf

5.”任意角的三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì).pdf

6.單位圓與三角函數(shù)線在教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用.pdf

7.巧設(shè)問題情境_凸現(xiàn)人文數(shù)學(xué)“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”的課例與評(píng)析.pdf

【參考文獻(xiàn)】

1.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2009年1-2（中旬）期：《由一道作業(yè)題的訂正引發(fā)的探

索與反思》；

2.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2008年6（上半月）期：《數(shù)學(xué)講評(píng)課應(yīng)如何設(shè)計(jì)更科學(xué)合

理》；

課題：三角函數(shù)線

教材版本：人教版B教材必修4

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

本節(jié)課在整個(gè)三角函數(shù)一章中，起著一個(gè)貫穿始終的作用。課標(biāo)明確提出利用單

位圓這種幾何直觀去認(rèn)識(shí)三角函數(shù)。對(duì)四中這樣一個(gè)較為理想的學(xué)生群體來說，若能通

過這節(jié)課充分挖掘其價(jià)值，對(duì)后續(xù)內(nèi)容如三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)將會(huì)產(chǎn)生較大的

影響。一是研究問題的思路和工具有了很好的拓展；二是體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在整章的

貫穿；三是能更好地提高課堂效益。

在本節(jié)課的設(shè)計(jì)過程中，力圖遵循并突出新課標(biāo)的理念，具體來說，在以下幾個(gè)方

面作了一些考慮：

（1）從任意角三角函數(shù)的概念引入，進(jìn)一步尋找表示三角函數(shù)線的最簡潔方式，

在尋找中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，突出數(shù)學(xué)的最簡化思想。

（2）考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，對(duì)三角函數(shù)線概念的形成，不要求一步到位。由

M=r,通過令F=1,得施?■，，由代數(shù)表示再過渡到幾何表示——有向線段

動(dòng)，再規(guī)定其數(shù)量一步步完善。

（3）通過展示三角函數(shù)線隨角變化的規(guī)律，從兒何直觀的角度為后繼的三角函數(shù)

圖象和性質(zhì)做鋪墊，力圖體現(xiàn)整章知識(shí)的一體化：也希望在課時(shí)緊張的情況下，提高課

堂效益。

(4)充分利用從特殊到一般、由猜想到推證、類比等認(rèn)知特點(diǎn)，給學(xué)生設(shè)計(jì)有梯

度的問題，使學(xué)生能夠由正弦線的分析去探究余弦線和正切線；注意同時(shí)在不同階段探

索中對(duì)學(xué)生要求的層次性不同。

(5)在教學(xué)手段上，除板書之外，輔助以兒何畫板，能很好地展現(xiàn)三角函數(shù)線的

動(dòng)態(tài)變化。在教學(xué)方法上，采用啟發(fā)講授與自主探究相結(jié)合的方式。

【教學(xué)實(shí)錄】

(-)復(fù)習(xí)

(老師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了上次課所學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義，

作為這節(jié)課的出發(fā)點(diǎn)，從而引出這節(jié)課要解決的問題。畫圖1T)

師：我們知道通過任意角三角函數(shù)的定義，就可以判斷不同象限角的三角函數(shù)值的

符號(hào)，都是什么？怎么把這個(gè)結(jié)論記下來呢？六種三角函數(shù)值，四個(gè)象限，你們看，非

常公平，第一象限全為正，第二象限兩個(gè)為正，第三、第四象限都是兩個(gè)為正。再看，

第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限正割為正。剩下的

根據(jù)倒數(shù)關(guān)系，是不是就可以判斷了？數(shù)學(xué)當(dāng)中到處存在著這種均衡的美，是吧？

(部分學(xué)生臉上有驚嘆的表情，顯然沒深入考慮這里的規(guī)律性。挖掘數(shù)學(xué)中的美，

不僅是數(shù)學(xué)教育的一部分，也有很好的實(shí)用性。)

(-)探究新問題

1.單位圓

師：一些特殊的軸上角的三角函數(shù)值，又分別是什么？有沒有一種辦法，能夠讓我

們把這些東西非常直觀地表示出來呢？一眼就能看出，它是正是負(fù)，甚至能看出是多

少。我們現(xiàn)在用點(diǎn)的縱坐標(biāo)來除以,——「表示終邊上我們?nèi)〉狞c(diǎn)到原點(diǎn)的距離——的

比值來刻劃正弦，能不能只用一個(gè)量就能來刻劃正弦呢？

生B：用自變量工來代替這兩個(gè)值，代表,和事。

師：工能代表事和F嗎？

生B：因?yàn)橐粋€(gè)角的終邊相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)圖象，肯定有一個(gè)函數(shù)解析式滿足這個(gè)

圖象。

師：哪個(gè)解析式？

生B：可以用出來代替，就是角的終邊所在的直線。

師：用角的終邊所在的直線，這么一個(gè)圖形去刻劃正弦值是嗎？

生B：我覺得是，我是這么想的。

（當(dāng)時(shí)我對(duì)該生的回答有理解上的偏差：我認(rèn)為他是要用射線的不同位置來表示不

同角的正弦，因此沒有讓他繼續(xù)回答。其實(shí)他的想法是用射線方程「=看和

匕

r=Jd來表示正弦好+標(biāo)，他能想到利用函數(shù)思想來

轉(zhuǎn)化很值得肯定，但由于上工是兩個(gè)變量，顯然不能滿足要求。如果我能當(dāng)場(chǎng)讓他暴露

自己思維中不夠準(zhǔn)確的地方，就更好了。）

師：好，請(qǐng)坐。一旦一個(gè)角給定了，這個(gè)角的終邊是不是就確定了，角的正弦值也

就確定了？拿終邊這么一個(gè)圖形，去刻劃正弦行不行？行。那余弦怎么刻劃呢？還拿射

線這個(gè)圖形嗎？我們找的這個(gè)量不僅要能刻劃出角的正弦，同時(shí)還應(yīng)該能夠區(qū)別于余弦

和正切。因?yàn)橐粋€(gè)角的終邊位置是確定的，一個(gè)角的正余弦、正余切通常是不相等的，

對(duì)嗎？大家再考慮考慮。

（等待了約有半分鐘，學(xué)生在交頭接耳，莫衷一是，看來這個(gè)問題還是有難度，我

想可能是“一個(gè)量”的說法他們并不理解。這里提出的問題應(yīng)該指向性更明確一些，如

“能否用一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)來刻劃”。）

師：大家可能覺得這個(gè)問題比較困難。我們現(xiàn)在是拿兩個(gè)量的比值去刻劃正弦值，

那我們能不能把兩個(gè)量優(yōu)化為一個(gè)量呢？如果分母為1的話，會(huì)有什么結(jié)果？既然點(diǎn)是

在終邊上任取，我們完全可以讓這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是1,在這種情況下，那角的正弦

值是不是就等于事？那么，我們就可以拿這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)去刻劃正弦，對(duì)嗎？那我們可

以得出一個(gè)什么結(jié)論？

生：角的正弦可以拿終邊上到原點(diǎn)距離為1的那個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)來表示。

（由于學(xué)生對(duì)正弦線完全未知，這時(shí)的探究起點(diǎn)設(shè)計(jì)要放低，一定要引導(dǎo)到位。必

要的情況下，需要推學(xué)生一把。學(xué)生在這里的回答最開始有點(diǎn)斷斷續(xù)續(xù)，不夠準(zhǔn)確和完

整，在教師的一步步設(shè)問下，越來越清晰和肯定。）

師：那如果是不同的角呢？我們都讓它到原點(diǎn)的距離為1,行嗎？為了方便起

見，咱們干脆畫「,個(gè)圓，什么樣的圓？

（引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)識(shí)由特殊過渡到一般。）

生：半徑為1的圓。

師:好。

（板書單位圓定義，畫圖1-2）

師：畫一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。那么我們?nèi)我饨o出一個(gè)角，角的終邊就

和這個(gè)單位圓有一個(gè)交點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，必然是1。就是我們定義當(dāng)中的

r,對(duì)吧？它的縱坐標(biāo)y,就能表示這個(gè)角的正弦了。

師：余弦呢？

生：橫坐標(biāo)。

2.正弦函數(shù)線

師：非常好，我們可以拿交點(diǎn)的橫坐標(biāo)去表示一個(gè)角的余弦了。按照數(shù)學(xué)的最簡化

思想，我們就可以分別拿一個(gè)量去表示一個(gè)角的正弦和余弦。那接下來我們?cè)倏纯?，現(xiàn)

在圖中，畫了一個(gè)第二象限角，縱坐標(biāo)在圖當(dāng)中怎么去體現(xiàn)呢？是指這個(gè)線段的長嗎？

（這里之所以直接過渡到了正弦線，而沒有延續(xù)過去的用坐標(biāo)來表示正切，是希望

將正弦的研究貫穿到底，再留給學(xué)生探究的空間類比正弦考慮余弦和正切。這樣課堂的

容量能大一些，效率能高一些。）

生：不是。

師：為什么不是？這個(gè)長度是正的，是吧？但是我們這個(gè)縱坐標(biāo)，在第二象限也是

正的，沒問題。但是角要換到第三象限呢？行嗎？如果給一個(gè)第三象限角，終邊上有一

點(diǎn)第,。我們看看如果照樣做一條垂線的話，這個(gè)長度能表示縱坐標(biāo)嗎？

生：不行，這個(gè)時(shí)候縱坐標(biāo)是負(fù)的。

（從坐標(biāo)過渡到有向線段，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)。這時(shí)教師提出的問題要引發(fā)學(xué)

生認(rèn)知上的沖突，使學(xué)生通過觀察和探索，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程。）

師：就是說，我們發(fā)現(xiàn)了這條線段和縱坐標(biāo)是有密切關(guān)系的。至少二